在人類與傳染病作鬥爭的漫長曆史中，除了在一線救死扶傷的醫生，還有一個特殊的群體為遏制疾病蔓延做出了重要的貢獻，那就是數學家。

在大多數人印象中，數學是抽象而晦澀的，似乎和公共衛生完全搭不上關係。事實上，大家在面對傳染病時遇到的問題，比如為什麼接觸過患病者的人需要被隔離、疫情爆發1個月後有多少人被感染、拐點什麼時候能夠到來，都或多或少可以從數學模型的角度來做出預測和解讀。也正是依靠數學家對於傳染病抽象化的研究，人們對於傳染病的傳播模式和嚴重危害有了更為深刻的認識。

對傳染病建模的歷史

用數學模型研究傳染病的做法，最早可以追溯到18世紀初。那時候天花病毒正在肆虐歐洲，人們發現東方傳入的人痘接種術似乎能夠治癒這種疾病，但接種後仍有很高的死亡率，這引起了大數學家丹尼爾·伯努利（Johann Bernoulli）的注意。伯努利是流體力學的祖師爺，同時也學過一點醫學，聽說了天花接種的療法後，他便開始琢磨怎麼用數學去描述天花的傳播以及接種的功效。

數學家丹尼爾·伯努利 | Wikimedia Commons

受限於時代，伯努利的想法比較樸素，他將人群分成感染者與未感染者，感染者既有可能治癒變成未感染者，也會因病死亡。伯努利的高明之處在於，他考慮了人的年齡也就是時間因素，假定疾病治癒率與研究人群的年齡段相關，以此建立了數學方程。

伯努利的模型類似於後來的SI模型是最為簡單的傳染病模型之一 | 參考資料[3]

經過一番計算研究，伯努利得出結論：儘管有一定風險，人痘接種在統計上仍然能讓人的壽命延長3年左右。

雖然以現在的眼光看，伯努利的研究一點也不嚴謹，得出的結論也是顯而易見的（接種疫苗有助於控制疾病傳播），人痘接種術在牛痘疫苗出現後也幾乎銷聲匿跡，但伯努利是第一個嘗試用數據和方程去分析傳染病傳播趨勢、判斷控制措施有效性的數學家，這種科學思維在那個人類完全被傳染病支配的時代顯得尤為珍貴，直到今天仍然是用數學方法研究傳染病的最基本思想。

牛痘疫苗為人類消滅天花做出了重要貢獻 | The Conversation

100多年後的20世紀初，用數學模型研究傳染病的方法（後來發展為一門叫“數理流行病學”的學科）迎來了飛速發展，這很大程度上要歸功於蘇格蘭軍醫麥肯德里克（Anderson Gray McKendrick）和生物化學家威廉·克馬克（William Kermack）。

提出SIR模型的麥肯德里克和克馬克 | 參考資料[4]

麥肯德里克曾在印度服役，當時印度鼠疫橫行，奪去了數十萬人的生命。然而與大多數醫生鑽研醫術不同，麥肯德里克竟然“不務正業”，把很多心思放在了研究數學方程上，並發現鼠疫的感染人數趨勢和數學的某些函數曲線非常相像。

從印度回國後，他與生物化學家威廉·克馬克（William Kermack）合作，開始對鼠疫爆發的患病人數、患者生存天數等數據進行分析，最終提出了數理流行病學中里程碑式的模型：SIR模型。直到今天，絕大多數從數學角度分析傳染病的研究都或多或少有這個模型的影子。

西班牙流感等傳染病在20世紀初肆虐全球 造成數以億計的傷亡 | Wikimedia Commons

如何用SIR模型描述傳染病？

SIR模型的基本概念並不難，即使完全沒學過數學也能看懂：

S代表Susceptible，易感者，也就是可能被傳染但還沒有感染的人；

I代表Infected，感染者，即已經被傳染但尚未死亡的人；

R代表Removed，移除者，他們有可能被感染後痊癒了，也有可能是因病死亡。

當然還有一個樣本人數不變的假設，也就是易感者+感染者+移除者的人數之和假定不變。

SIR模型示意圖 | Perception Heallth

有了這樣一個數學模型，我們需要研究三個群體隨時間的變化趨勢——比如說，第1天有了3個感染者，到了第10天會有多少人感染？因痊癒或死亡產生的移除者又會有多少個？

為了求出不同人群與時間的關係式，數學家引入了一組微分方程。它看起來很複雜，但這個唬人的玩意兒本質上和解“2+x=4”是一個道理，數學家的任務就是解出這個複雜方程裡的S、I、R與時間t的關係函數。

SIR模型的數學方程 | 參考資料[5]

微分方程解出來的結果不一定能用數學式子來表示，一般來說我們更習慣用下面這樣的圖像表示SIR模型的傳染趨勢：橫軸代表時間，縱軸代表群體的人數。你可以很直觀的看到，I代表的感染者數量隨時間迅速增長，S代表的易感者相應變少，最後的結果是大部分被“移除”了（可能是治癒或者是病死），不再存在感染者。

SIR模型給出的傳播趨勢 | 參考資料[5]

SIR模型非常簡潔，計算得出的傳染趨勢也在印度鼠疫的實例中得到了一定程度的印證。然而SIR模型畢竟只是一個基礎模型，它的缺陷也是非常明顯的——許多傳染病存在潛伏期，感染後可能在一段時間內，人體都沒有異常症狀，而把人群劃分為三種類型，沒有考慮群體內部的差異，比如感染者的潛伏期會因人而異；另外，部分感染者（包括疑似感染者）確診後會被隔離，傳染他人的概率比原先降低了很多。

考慮到這些因素，SIR模型衍生出了SEIR、C-SEIR等多個變種模型，從而能更為精確地描述傳染病的傳播趨勢。一般來說，各種傳染病都有對應的模型進行描述，比如說HIV病毒，一旦感染便終身帶有傳染性，類似於當初伯努利提出的SI模型；而像SARS和最近的新型冠狀病毒，用SEIR模型來描述它們的傳播會更準確一些。

SEIR模型圖示 E代表 Exposed 潛伏者 | 參考資料[6]

數學建模的作用

說到底，我們為什麼要想方設法找到準確的數學模型來描述傳染病呢？

在家隔離，是大家近來最熟悉的防疫措施，怎樣用數學模型證明隔離能有效控制疫情傳播呢？不妨假設有一個1000人的群體，其中有一個人不幸感染病毒後開始傳播。在COSMOL等仿真軟件裡輸入SIR模型的數學方程，可以得到下圖的結果：未感染病毒的人數（藍色曲線）不斷下降，疫情在第五天達到頂峰，感染者數量（綠色曲線）達到總人數將近一半。

無隔離措施下，SIR模型對病毒傳播的模擬結果 | 參考資料[7]

然而，如果對80%的感染者採取隔離措施，也就是視為不再感染其他人的移除者（紅色曲線），得到的疫情趨勢圖會發生很明顯的變化——疫情在第六天達到頂峰，感染者的數量只會有不到200人，出現了大幅下降，這也就從數學角度證明了乖乖宅在家裡對於控制傳染病的重要性。[7]

對80%感染者採取隔離措施後，SIR模型得到模擬結果 | 參考資料[7]

數學模型也能對不同的疾病控制措施的效果進行評估。2013年埃博拉疫情在非洲爆發，英國開始對來自高風險國家的入境人員進行篩查。然而有團隊在建立數學模型後發現，只有7%的埃博拉感染者可能在國家邊境被發現，加上病毒潛伏期也比較長，病毒攜帶者初期可能並沒有表現出任何症狀，最有效的措施還是在病毒發源地對感染者（以及疑似感染者）進行隔離來遏制病毒傳播。正是通過這樣的方式，數學模型在遏制傳染病傳播起到了越來越重要的作用。

參考文獻

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_modelling_of_infectious_disease

[2]https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bernoulli,_Daniel

[3]https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-si.html

[4]http://devingaffney.com/when-physicists-talk-about-cat-gifs/

[5]Luz P M , Struchiner C J , Galvani A P , et al. Modeling Transmission Dynamics and Control of Vector-Borne Neglected Tropical Diseases[J]. PLoS Neglected Tropical Diseases, 2010, 4(10):e761.

[6]Audrey M. Dorélien, Ballesteros S , Grenfell B T . Impact of Birth Seasonality on Dynamics of Acute Immunizing Infections in Sub-Saharan Africa[J]. PLOS ONE, 2013, 8.

[7]https://cn.comsol.com/blogs/analyze-the-spread-of-epidemic-diseases-with-simulation/

[8]http://news.sciencenet.cn/dz/dznews_photo.aspx?t=&id=34011

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