UP2012
超模君先說一下泰勒公式怎麼來的，再簡單講講它的現實應用。
泰勒公式
根據牛頓逼近法就可以得到從1階一直可以推導到N階：
假設f1(x)=f(x)-f(a)
由牛頓逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2
所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2
同理，假設 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)
- 兩邊求導,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
- 再求不定積分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C,C就是那個高階無窮小(需要證明）
- 所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3
依次類推，最後就有了泰勒公式。
另一種證明過程，先寫出來g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然後從等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示係數了。
泰勒級數展開函數，能做什麼？
對於特定的x取值，可以求它附近的函數。y=xA100展開以後可以求x=1附近的0.9999的100次方等於多少。計算過程和結果不但更直觀，而且可以通過捨棄一些高階項的方法來避免不必要的精度計算，簡化了計算，節省了計算時間(如果是計算機計算複雜數字的話)。
在圖像處理的計算機軟件中，經常要用到開方和冪次計算，而QuakeIII的源代碼中就對於此類的計算做了優化，採用泰勒技術展開和保留基本項的辦法，比純粹的此類運算快了4倍以上。
對於曲線交點的問題，用方程求解的辦法有時候找不到答案，方程太複雜解不出來，那麼用泰勒級數的辦法求這個交點，那麼交點的精度要提高，相當於泰勒級數的保留項要增加，而這個過程對應於牛頓--萊布尼茨的迭代過程，曲線交點的解在精度要求確定的情況下，有了被求出的可能。
泰勒技術用來求解高方程問題，是一種通用的方法，而不是像中學時代那樣一種問題一種解決辦法，高等數學之所以成為"高等"，就是它足夠抽象，抽象到外延無窮大。
超級數學建模
還記得高中的時候，數學老師說：數學是一個追求精確的學科，但是到最後數學也是朝著模糊概念的發展。就像我們在高考時，後面的題，只會解題方式就好了，計算過程，其實我也不會，會了解題方式，答案就是在模糊的概念中猜了。大學時候，高數，大部分都是這樣的，記得自學考試的時候，一門數學是有老師教的，一門沒有。怎麼辦呢，做題啊，會的就算，不會的學習解題方式就好了，大多涉及極限問題的題目，就是隻會解題方式，至於答案，真的是猜的。
表示f(x)的n階導數，等號後的多項式稱為函數f(x)在x0處的泰勒展開式，剩餘的Rn(x)是泰勒公式的餘項，是(x-x0)n的高階無窮小
看到這麼複雜的方式，很多人都蒙了。其實高中的時候，並不多講這個，只知道是一個特別牛的公式。
其實覺得這個在物理方便用的還是比較多，還是就是像這樣的賴人，用來估算數值。。。
子衿Gogirlcherry
小編這問題出的，簡直無話可說，簡單介紹一下泰勒公式：
通俗來講，泰勒展開式就是用多項式去逼近一個函授。
泰勒展開式在高中數學中沒什麼大用，用處最大的地方應該是 組合問題 中的母函數解法，在大學的高等數學裡面用的比較多，主要用於計算。
所以建議看不懂就不要浪費時間了，真正接觸它還是在大學階段。
梅塢茶香
泰勒展開式在高考數學壓軸題中或多或少的出現，例如：
- 15年福建卷理20題
- 14年全國卷新課標I理21題
- 13年全國卷新課標II理21題
- 11年全國卷新課標II文導數題
除此之外還在各地模考題出現過，下面簡單介紹泰勒展開式的應用。泰勒展開主要應用在在證明恆成立問題時將較為複雜函數轉化為簡單函數,下面是幾個常見展開以及由此而來的不等式：
數學滿分堂
一·問題簡述：
泰勒公式得名於英國著名數學家布魯克·泰勒（1685～1731），他在1712年的一封信裡首次敘述了這個公式。
泰勒公式是用一個函數在某點的信息來描述其附近取值的公式，它是用若干項連加來表示一個函數，而這些項是由函數在某點的導數求得的。
泰勒展開式具有廣泛的應用，它猶如一把倚天劍可以縱橫揮灑，一劍封喉。
二·以泰勒公式為背景的相關不等式：
高中階段涉及到的泰勒公式主要是以e為底數的指數函數不等式，以及由此推導出來的對數函數不等式的問題，下面進行簡單演繹。
三·泰勒公式為背景的切線不等式：
用一次函數去替代指數函數或者對數函數，這便是切線不等式得名的原因，這是一種化曲為直，適度放縮的思想。
四·高考中以泰勒公式為背景的試題展示：
高考數學的導數壓軸題中，大多數題均與泰勒公式的背景有關，這是聯繫中等數學與高等數學的紐帶和橋樑，是考查學生綜合能力以及內在潛力的載體，因此掌握這個技能對高考無疑是如虎添翼。
- 高考中常涉及以下三類題型：（1）含參問題中，討論參數的取值範圍；（2）利用切線放縮證明函數不等式；（3）函數、數列求和、不等式三者相結合的證明問題或比較大小問題。
1·求參數的取值範圍：
2·證明函數不等式：
3·比較大問題：
五·腦洞點撥：
值得說明的是，切線不等式是在高中數學教材的習題中出現的，高考命題的原則是“源於教材而高於教材”，因此這成為高考命題的熱點毋庸置疑。另外，切線不等式在高考中不能直接使用，需要進行簡單的證明，而證明的過程並不複雜，詳見前文第三條。
以上。
笛卡爾的叨
別說高中了。大學理工科裡都有一大把人不會展開。在編程方面比如Python必須掌握。
水塔下的柏遼茲
基本用不上， 因為泰勒公式在最後有個無窮小的項。 高中根本用不到。而且泰勒公式本質是把函數拆分成一個個的冪函數的和，對於高中數學題用處不大。高中沒有學習極限的根本含義是很難理解泰勒公式最後那一項的含義的。在大學裡，泰勒公式一般用於算極限，證明函數等式或者不等式。
能記憶的概率
這貌似是大學的高數知識ʘᴗʘ有些知識也記不清了，百度說的貌似也很明白了。
我簡單的說明用法吧，它是函數在某一點處的展開公式，我做過的題一般是求某個函數趨於0點的極限時候用到，比如我求函數f（x）趨向0時候的極限，就可以用到這個工具。
f（x）=f（0）+f(0)′/（1！）×x+f（0）′′/（2！）×（x）²+o（x²）
這是二階展開，還可以展開三階的，根據題目的需要來靈活運用，大概就是這樣。
好好學習吶
東陽小視頻
突然扎心。我是一個文科生😂😂儘管數學還不錯但是真的不懂啊扎心扎心。
