如果说有哪位数学家能仅凭几篇论文就可以创造和改变数学，那我想这个人一定是黎曼。黎曼在不足40年的短暂生命里发表过的论文寥寥无几，加起来也只有不厚的一卷，但几乎每一篇论文都产生了革命性的影响。他对现代数学的深刻影响属于最高层面，他用极少数的文章构建了多种数学的框架，后世的数学家很多都是在完善他的数学理论时才取得了重要成果。黎曼是数学史上最具创造力的数学家之一，尽管他一生短暂，但也足以跻身最伟大的数学家之列。同时，黎曼也在物理学上成就卓著，深刻揭示了数学和物理之间的联系。黎曼不仅是数学家，物理学家，他更是一位伟大的科学思想家。
1826年9月17日，黎曼(Riemann,1826~1866)出生于德国汉诺威。黎曼的父亲是当地牧师，母亲则是一名法律顾问的女儿，贫困的一家共有六个孩子，黎曼排行第二。由于长期营养不良，黎曼的兄弟姐妹中很多后来都早逝了，积劳成疾的母亲不久之后也撒手人寰。但一家人天生的乐观与和谐的氛围还算是对黎曼的一丝安慰。由于家庭的不幸，黎曼从小便有一种近乎顽固的胆怯，为了克服这种胆怯，无论做什么事他都要准备得非常充分，生怕出错。
六岁的时候他开始学算术，数学天赋在这时候一下子就显露出来，他不满足于做题，还喜欢出题去考他的父亲，很多时候他的父亲对这些题也无能为力。大约10岁的时候，他又跟随一位名叫舒尔茨的教师学习更高级的算术和几何，但老师很快发现自己的思路已经跟不上这个天赋异禀的学生。后来他又进入中学学习，孤僻的性格使得他成为同学们捉弄的对象。后来黎曼干脆经常往家里跑，尽管来去要花费他好几个小时，而且只能走路，只有在家里他才能感受到温暖。
在学校里，黎曼这样出色的才能是绝不可能被老师们忽视的。希伯来语老师赛菲尔见黎曼如此大费周折地往家里跑，就让他去自己家寄宿，这节约了黎曼很多时间。而中学校长施马尔福斯也十分看中黎曼杰出的数学才能，允许他随意看自己的藏书和不用上数学课。后来校长推荐黎曼把勒让德的800多页巨著《数论》带回家去研究，令人惊讶的是黎曼仅仅六天之后就还了书。就算过了几个月，他还可以对书中的内容娓娓道来。黎曼对素数的兴趣大概就是从此时开始的。由于自己性格中的过分胆怯和近乎病态的谦虚，黎曼并没有意识到自己的数学能力到底有多强。
在中学里，黎曼不仅通过勒让德的著作学到了大量数论知识，还通过欧拉等人的著作学习到了分析学的很多知识。在这个时候黎曼也逐渐形成了自己深刻的哲学观念，他始终认为研究应该注重中心思想而不是好看的形式，而且也应不去追求理论过分的普遍性。这样的思想贯穿了他一生的研究。
受父亲从小的影响，黎曼一直都是一个善良虔诚的基督信徒，去哥廷根大学的时候，他也听从了父亲的建议，选择学习哲学和神学并为之奉献一生。但做这样的选择背后也有现实因素，黎曼需要尽快找到一个有工资的工作来养活贫困的一家人。而到了哥廷根之后，他还是情不自禁去听了斯特恩关于方程和积分，高斯关于最小二乘法的数学讲座，并且很快就深深陷入其中了。不久之后经过深思熟虑，黎曼还是忐忑不安地向父亲写信坦露自己想转学数学的想法。一向宠爱黎曼的父亲最终还是同意了他的决定，对此黎曼一直身怀感激。我想更应感谢老黎曼的应该是我们，否则我们将失去一位伟大的数学家。
在黎曼那个时代，尽管哥廷根有高斯的坐镇，但德国的科研中心仍在柏林。在哥廷根学了一年之后，求知欲旺盛的黎曼转学来到柏林。在这里，他向雅可比学习力学和代数，向狄利克雷学习数论和分析，向施泰纳学习几何。更重要的是他结识了同龄人艾森斯坦，黎曼不仅从他这里学到了椭圆函数的知识，还从亲切的交谈中找到了很多慰藉和自信。也正是在这时和艾森斯坦的讨论中，一个大胆的想法开始在他头脑中形成，他要从最少的假设和公理出发，以最为简洁的方法建立整个复变函数论。这样的想法一直萦绕在他头脑中，等待开花结果的一天。
最终在博士论文《复变函数一般理论基础》中，黎曼完成了他的构想。他从最简单的柯西-黎曼方程出发，以分析的观点定义解析函数，而不是之前的几何定义。在论文中，黎曼提出了复变函数论中最深刻的定理之一—黎曼映射定理，这不仅是复变函几何理论中最重要最基本的定理，也是几何函数论的出发点。他也与柯西一起成为这个学科的创始人。后来的数学双奖得主，复分析大师阿尔福斯评价这篇论文时说道:“这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路”。
在这篇论文中，黎曼为了处理多值解析函数，提出了黎曼曲面的概念，形象一点来说，就像是把不同的平面结合成一个平面，这样多值函数就成了单值函数，这给研究带来了巨大便利，后来在研究阿贝尔函数时，黎曼进一步完善了黎曼曲面的理论。而对黎曼曲面的研究之后又形成了深刻的理论，直接影响了多复变函数论、复几何、代数几何和代数数论的发展。而且他还提出了非常深刻的黎曼-罗赫定理的雏形，后来由他的学生罗赫所改进完善。毫无疑问，仅凭这篇博士论文，黎曼就足以名载史册。这篇论文使得高斯激动不已，十分挑剔的他对这篇论文也只能赞赏。他评价说:
“黎曼先生提出的论文提供了一个令人信服的证据，作者对所处理的主题的相关方面有透彻深刻的研究，同时证明，黎曼先生有一个创造性的，积极活跃的和真正数学的头脑，并且具有极其丰富首创精神。文章清晰简洁，处处显得十分优美。整个论文是一项实质性的工作，它远远地超过了博士论文的标准”。
这样高度地评价一个学生的成果，在高斯一生中是极其罕见的。而黎曼完成这一创举时才25岁。
在柏林学习两年后，黎曼回到了哥廷根，这时他又深深地爱上了物理。最后三学期，黎曼跟随着韦伯进行实验物理的研究，埋头在实验室观察放电现象和静电效应，研究气体流动和测定热传导系数。黎曼深感牛顿绝对时空观的局限，他觉得应该要有更为深刻的哲学观和宇宙观来指导这些研究，于是他又开始热衷于参加哲学讲座。后来黎曼总结说:“可以建立一套完全而严密的数学理论，它由单个质点的基本出发，发展到我们所知道的现实空间的过程，这里没有引力、电力、磁力和热力的区别”。从那时候起，黎曼就开始思考统一物理定律的数学基础。后来克莱因评价黎曼的工作时说:“黎曼用他的数学才能为自然科学本身开辟新的途径。然后又把自然科学作为形成数学中的新概念的动力”。
我们现在很难想象黎曼为什么在当时会产生如此超前深刻的物理思想，这在当时是十分大胆的，也仅有高斯这样具有远见的大师才能体会其中的合理性。后来的物理发展表明，黎曼的思想是多么深刻而正确。
尽管黎曼是这样出色，但他毕业后不得不面临生存的压力，他期望的正式教职还遥遥无期。为了争取一个非正式教师的资格，黎曼递交了论文《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》，也正是在这篇论文中，黎曼给出了如今的“黎曼积分”理论，深刻改变了当时的积分学面貌。恰巧这时狄利克雷来哥廷根访问，黎曼趁机请他给自己的论文一些建议。尽管黎曼在柏林听过狄利克雷的课，但由于自己的胆怯，当时并没有给狄利克雷留下什么印象，但这次黎曼的天才和谦虚一下子就吸引了狄利克雷。后来狄利克雷给过黎曼许多帮助，特别是改善他研究条件上。
黎曼为了成为一名讲师，他还必须做一次就职演讲。为此他准备了三个题目，前两个是自己拿手的，按惯例委员会会选取第一个，因为大家都会把自己擅长的放在前面，而评审也无意为难。正因如此，黎曼随便选了第三个自己不怎么熟悉的题目—几何基础。而高斯看到这三个题目之后，非常高兴地选了第三个，因为这正是自己思考了几十年的问题，他十分想看看这位数学天才能做出什么新东西来。高斯对这个题目甚是满意，但对黎曼而言却是晴天霹雳，他在准备这个自己不熟悉的题目的同时，还醉心于研究物理，他不得不同时进行这两项极端困难的工作。由于过度的紧张和疲劳，黎曼还是病倒了。
天气好转后，黎曼逐渐康复了，为了赶时间，黎曼一鼓作气，在七个星期内完成了自己的就职演讲。论文的内容还受了很多做物理研究时的启发。但后来高斯又病倒了，演讲的日子不得不延后。最终在1854年6月10日，数学迎来了这个伟大的演讲。黎曼热情洋溢地向大家讲述自己对革新几何学的看法，为了使大家都听得懂，黎曼没有使用太多分析技巧，这也使得他的思想没有被表达得很清楚。但高斯听后仍然激动不已，再一次高度评价了黎曼的工作。直到黎曼逝世后第二年，这次演讲才以《论关于作为几何基础的假设》为题正式出版。一石激起千层浪，各路数学家争先恐后投入到黎曼几何理论研究中，迅速充实了它的内容，黎曼几何一下子就显示出了强大的威力，不仅在描述空间上具有巨大优越性，更为物理几何化的工作提供了坚实基础。
黎曼从研究空间的局部性质入手，抛弃几何直观，改用分析的方法来描述几何。高斯曾提出观点:曲面本身就是一个空间，并发展了三维内蕴几何学。黎曼乘胜追击，直接将高斯的工作推广到任意n维空间上，并且他提出了更一般的空间—流形。他把之前非欧几何的研究做了综合，将它们纳入自己的体系内，并且给出了合理的解释，这些非欧空间是实际存在的，他们适用于不同的对象，例如牛顿力学，宇宙空间和时间，规范场论等，这些空间并不是虚构的东西。黎曼更是借助自己的几何理论明确提出，空间不能脱离物质而存在，而且空间形式会随时间而变化。这一思想彻底打破了的牛顿的绝对时空观，沿着黎曼的思想，思考时间与空间的相对论也就呼之欲出了。
黎曼几何的诞生彻底改变了微分几何学的面貌，也直接影响了数学甚至科学发展的进程。它不仅是一门学问，更是一种理解宇宙的光辉思想。毫无疑问，黎曼几何是如同微积分那样具有划时代意义的伟大成就。
黎曼获得讲师席位后仍然一贫如洗，但他仍然在阿贝尔函数、超几何级数和微分方程上取得了一些列重要成就，而且很多都是开创性的贡献，特别是他利用黎曼曲面研究阿贝尔函数和积分的工作，影响十分巨大。当上副教授后，更大的不幸降临，黎曼的弟弟去世，养活一家人的重担全部落在了他的身上，生活一下子又变得十分艰难。尽管如此，一家人还是互相帮扶，其乐融融。
狄利克雷逝世后，按照他的意愿，黎曼接替他的位置成为哥廷根大学的数学教授，后来当局为了改善他的生活条件又安排他和高斯一样，同时去天文台工作。这一年，黎曼又给出了一篇划时代的论文《论小于某给定值的素数的个数》，其中的黎曼猜想如今已成为数学中最重要的猜想，对它的研究已经催生了大量成果。第二年黎曼前往巴黎访问，又拿出来“巴黎之作”—《论热传导中的一个问题》，而这又是数学物理研究史上的里程碑。而且在此文中，黎曼进一步完善了他的几何理论，特别地是提出了二次微分形式的理论，而这些为其应用于解释物理奠定了基础，特别是后来的相对论。
1862年，黎曼婚后不久，由于长期的贫困和疲劳，黎曼的健康状况每况愈下，不仅得了肋膜炎，之后又感染了肺炎。黎曼不得不放下手中大量未完成的工作和手稿，前往意大利疗养。第二年黎曼的女儿出生，但他最后的妹妹也在这一年因病去世。后来黎曼因为得了黄疸而病情更加严重，特别是在冬天，他不得不再次前往温暖一点的意大利。戴德金这样讲述了他这位伟大朋友生命中最后的日子:
“黎曼的体力很快衰竭下去，他意识到自己的日子已经不多。临终前一天，他在无花果树下工作，环绕着他的是光荣的里程碑。他的心灵充满喜悦。……没有挣扎和痛苦，他的生命之火渐渐熄灭。他好像在饶有兴味地注视着肉体和灵魂的分离，……”。
1866年7月21日，还不满40岁的黎曼就这样永远离开了这个他深怀热爱的世界，尽管这个世界对他而言太过残酷……但他的光辉思想将永远照耀我们这个世界。如果黎曼可以多活10年，也许今天的科学面貌又会不一样。
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