03.20 麥克斯韋方程和規範理論的概念起源

譯者按：著名物理學家楊振寧先生最近在《今日物理》（Physics Today）發表英文文章，以清晰的思維娓娓道來麥克斯韋的重要研究。麥克斯韋方程被譽為影響世界十大方程之一。它不僅為今天電器化生活奠定理論基礎，而且是理論物理學界至關重要的規範理論之概念的起源。《賽先生》譯為中文發表，以饗我國讀者。

楊振寧(諾貝爾物理學獎得主，清華大學高等研究院名譽院長)

人們通常認為庫侖（Charles Augustin de Coulomb）、高斯（Carl Friedrich Gauss）、安培（André Marie Ampère ）和法拉第（Michael Faraday）分別發現了電學和磁學中最基礎的力學規律，而麥克斯韋（James Clerk Maxwell）做的只是將這些規律的數學表達最終總結成一套具有高度統一性和對稱性的方程——麥克斯韋方程。可是我覺得，麥克斯韋的貢獻遠遠不限於將已有的電磁學規律加以總結。麥克斯韋在方程中對幾何和對稱性的微妙物理直覺不僅推翻了十九世紀“場是超距作用”的錯誤認識，更在二十世紀直接推動產生了具有高度統一性的粒子物理標準化模型。

1十九世紀的物理

人類對電與磁的探索始於十九世紀。1820年，奧斯特（Hans Christian Oersted，1777—1851）發現電流可以導致附近的小磁針運動，這個發現讓整個歐洲為之振奮。最終安培（1775—1836）將之歸結為“超距作用”理論。彼時英格蘭的法拉第（1791—1867）也在同一領域進行研究，但其數學基礎略遜一籌。1822年，法拉第在一封給安培的信中寫道：“我覺得我的數學知識太匱乏，所以我難以理解抽象的推導而只能專注於發現和總結具體的實驗事實”。（參考文獻[1]）

法拉第是一位依賴直覺的實驗物理學家。從1831年到1854年，他將觀測的實驗事實總結成三卷著作，是為《電學的實驗研究》(圖1)。不同尋常的是，三卷本不朽鉅著裡竟然沒有一個公式。法拉第用他超乎尋常的語言能力和幾何直覺，用平實的語言記載了物理規律和數學理論。

圖1 法拉第的《電學的實驗研究》三卷分別發表於1839、1844和1855年。右側為法拉第的手稿，寫於1831年10月17日，那天他發現，在螺線管中移動磁鐵時，螺線管會產生電流。他因此發現了電磁感應現象，這一定律最終成為我們今天製造大大小小發電站的理論依據、並推動人類科技水平長足的進步。

圖2　法拉第畫像。插圖摘自1831年10月17日法拉第發現電磁感應的手稿。

在《電學的實驗研究》一書中，法拉第系統地探索了各種各樣的電磁感應實驗。例如，他嘗試用不同種類的金屬製造螺線管，將螺線管浸泡在不同的介質中，用兩個螺線管來進行電磁感應等等。他痴迷於兩個實驗現象，第一個是他發現磁鐵必須被移動才能在螺線管中產生電流，第二個是感應的方向似乎垂直於磁場的方向。

法拉第感覺自己似乎理解了電磁感應，進而引入兩個幾何概念：磁力線和電緊張態。前者可以通過將鐵屑放在螺線管和磁鐵旁邊被直接觀測到。這些力線在今天的物理課本中通常用H來表示，稱為磁場。而電緊張態 ，卻始終未在《電學的實驗研究》一書中有更清楚直觀的定義。這一概念即使首次出現在第一卷的第60節時也無清楚的定義。在隨後的章節中，電緊張態又被頻繁賦予各種其他的名字，諸如特殊態、強度態、特殊狀態等等。例如在第66節中法拉第稱：“所有的金屬都有特殊狀態。”在第68節中寫道：“這種態是瞬間產生的。”我們在《電學的實驗研究》第1114節還讀到——

“當我們試圖將電與磁認為是統一事物的兩面時，或者當作一種奇特的可以在垂直方向相互作用的物體時，我直觀地覺得這兩種狀態或者物質是可以相互轉化的。”

直到1854年法拉第在63歲去世時，他所提出的幾何直觀以及電緊張態都缺乏清晰的定義。

走進麥克斯韋的世界

1854年，麥克斯韋（1831—1879）畢業於著名的三一學院，那時他是一名對物理充滿激情的年輕人。剛剛畢業的麥克斯韋對電磁學有著極大的興趣，並寫信給時任格拉斯哥大學自然哲學系主任的湯姆森（William Thomson）：

“假設一個人有一些對電學的基本認識，但是想進一步瞭解電磁學，他應該以什麼順序和方式研讀安培和法拉第的著作呢？他應該怎樣研讀您在劍橋雜誌上發表的論文呢？”(文獻[2])

湯姆森（1824—1907，後來的開爾文爵士）當時極具影響力。麥克斯韋諮詢他是明智的選擇，因為早在1851年湯姆森就引入了矢勢A的概念來表示磁場H:

方程1。

這個方程對麥克斯韋產生了巨大的影響。

我們無從考證湯姆森如何回覆此信，但僅一年後，麥克斯韋就發表了其改變人類電磁學歷史的三篇著作中之第一篇，其中，麥克斯韋基於方程1給出法拉第所謂電緊張態的數學描述。麥克斯韋的三篇著作於1890年被尼文（William Davidson Niven）整理為兩卷本《麥克斯韋的科學論文》。

麥克斯韋的第一篇論文發表於1856年。它雖然滿含公式但卻比法拉第的《電學的實驗研究》更加易懂。該文的核心是第二部分，名為“法拉第的電緊張態”。第204頁有電緊張態的數學描述，用今天的向量表達可以寫為：

方程2。

這裡Ａ指法拉第的電緊張強度。

在第207頁，麥克斯韋用文字描述了上述公式：

“第六定律－任何導體上的電動力決定於電緊張強度的變化率，這一變化既可以是強度大小又可以是方向。”

在我看來，利用湯姆森的矢勢Ａ的概念對法拉第提出的電緊張態進行數學定義是麥克斯韋科研生涯中第一個概念上的突破。如果對方程2兩邊取旋度，我們可以得到現在廣為人知的法拉第定律之數學表示，

方程3。

或者同一方程的另外一種積分形式：

方程4。

麥克斯韋當時並未將法拉第定律寫成方程3或者方程4的形式，因其主要目的是為法拉第的電緊張態尋找準確的數學定義。而矢勢A的概念卻從此貫穿麥克斯韋一生的思維方式和理論體系。

麥克斯韋很快意識到，與其他物理量不同的是，在方程1—3中，矢勢A可以被任意加上一個散度為零的矢量而不影響最終的計算結果和實驗觀測，《麥克斯韋的科學論文》一書第198頁中的定理五對這一規範自由度進行了討論。那麼麥克斯韋究竟為方程1—3中的A選擇了怎樣的規範呢？他在書中未觸及。我揣摩麥克斯韋暗示存在一種對Ａ規範，使得方程1—3被同時滿足。

麥克斯韋當時也一定意識到用湯姆森的矢勢概念來定義法拉第的電緊張態是很重要的。但為避免湯姆森不必要的誤解，麥克斯韋在第一篇論文的第二部分稱：

“針對當前理論的歷史背景，利用文中的數學函數描述法拉第電緊張態，並以之計算電動勢和電動力，是具有獨創性的。不過，最初關於可用數學表達來描述電磁學現象之理念來自於湯姆森教授的論文。”

麥克斯韋的“渦旋”

在第一篇論文完成五年後，麥克斯韋發表了他三篇著作中的第二篇論文，它分成四部分在1861年—1862年間陸續發表。與第一篇論文相比，這篇論文顯得極為晦澀難懂。麥克斯韋試圖通過引入“渦旋”模型的概念來解釋和統一電與磁。他認為電磁現象是由無數個微小、看不見、又不停旋轉的物質所引起，他稱之為“渦旋”。這些“渦旋”的旋轉方向和外磁場的方向一致（《麥克斯韋的科學論文》第489頁）。

圖 3“渦旋”模型示意圖，摘自《麥克斯韋的科學論文》第488頁。“渦旋”六邊形周圍的箭頭方向錯了，估計為做圖時筆誤。

麥克斯韋為“渦旋”作了一幅示意圖（圖3），並且在《麥克斯韋的科學論文》中第477頁給出瞭如下的描述：

“在PLATE VIII中，令AB表示從A流向B的電流。在AB上方和下方的空間表示渦旋。令分開渦旋的小圓圈代表表示電流的粒子並且令電流從左向右流動。在AB上方的渦旋gh將會產生逆時針旋轉。我們稱逆時針方向為正，而順時針方向為負。假設渦旋ｋｌ仍處於靜止狀態，那麼這一層上的粒子將會在gh的下方產生作用，而在上方將會靜止。如果它們皆可自由運動，它們將沿負方向旋轉，並同時從右往左移動。所以感應電流的方向與初始電流AB相反。”

麥克斯韋在第二篇論文的第二部分詳細描述了這一模型，發表在1861年4月出版的《哲學雜誌》第21卷。麥克斯韋當時顯然十分投入其“渦旋”理論，用了11頁長篇大論此模型。

1862年發表第二篇論文的第三部分，其標題為：“分子渦旋理論在靜電學的應用”。通過長達七頁的分析，麥克斯韋推導出其命題14：“為了糾正由於介質彈性對電流的影響”（《麥克斯韋的科學論文》第496頁）。一個額外的糾正項（4πj）在安培定律中被加到與位移電流一起。

我曾多次試圖理解麥克斯韋在此論文中所提“空間介質的彈性”的概念，但皆以失敗告終。值得一提的是“位移”的概念在第二篇論文第二部分的最後11頁中僅出現一次，而且是在無關緊要的語境中。不過此概念在第三部分前7頁頻繁出現並且成為麥克斯韋理論的核心。這兩部分發表時間相距僅8個月，似乎在這短短8個月時間裡麥克斯韋找到了“渦旋”模型的新特性，從而產生了“位移”概念。

基於命題14，麥克斯韋很快預言了電磁波的存在。通過推導，麥克斯韋計算出電磁波的速度就是光速。他如此闡述這一結論：“光波所含橫向介質振動是與電磁現象的產生原理相同的。”（《麥克斯韋的科學論文》第500頁，斜體為麥克斯韋本人所加。”）

有趣的是，麥克斯韋乃極為虔誠的教徒，我猜想他在禱告時也許祈求上帝寬恕其發現造物主創造光的秘密。

2場論的誕生

麥克斯韋三篇著作的最後一篇發表於1865年，其中他總結歸納了著名的麥克斯韋方程。雖然如今麥克斯韋方程由四個矢量方程構成，麥克斯韋在最初的論文中用了20個方程描述電磁現象，因為他當時把這些方程寫成分量形式，幷包含了電介質和電流方程。

這一論文的意義遠超過電磁學本身，它同時為以後的場論發展提供了最為重要的理論基礎， 即“世界上的能量儲存於場中”。 麥克斯韋在其論文中寫道：

“談到場的能量，我希望讀者能清楚地理解這一概念。所有的能量和機械能都一樣，不管它以運動、彈性抑或其他的形式存在。電磁現象的能量就是機械能。唯一的問題是，這些能量存在於何處？根據舊的理論，這些能量以不為人知的勢能方式存在於帶電體中。它們可以形成電路、磁鐵等等並可產生超距作用。在我們的理論中，這種能量存在於電磁場中，而這種場存在於帶電體或帶磁體中，也存在於它們周圍空間的電磁場中。這種能量以兩種形式存在，即電極化和磁極化。如果提些很有可能成立的假設，這種能量存在的形式是以太介質運動的應力（《麥克斯韋的科學論文》第５６４頁）。”

可是為了與當時科學主流保持一致，麥克斯韋又寫道：

“我們因此有理由相信，在光和熱的現象之中，必然有一種以太介質無處不在且可以滲透各種物體。這種介質可以運動也可以將自己的運動從一個地方傳遞到另外一個地方，並且將有序的運動以某種形式轉化為熱能。（《麥克斯韋的科學論文》第528頁）。”

麥克斯韋意識到他在前兩篇論文中提到的位移電流的概念和光的電磁波屬性的概念是極為重要的發現。所以他在第三篇論文再次歸納了這兩個概念的數學描述。可是此時，似乎麥克斯韋本人也意識到“渦旋”概念的不合理，所以在這篇論文中，他再也沒有試圖用“渦旋”來解釋電磁現象。因此我們可以合理地假設，在1865年，麥克斯韋已經不再認為“渦旋”模型是一個必不可少的解釋電磁現象的概念。不過當時他仍然堅持“必須存在一種以太介質，它無處不在並且可以滲透物體。”

1886年，赫茲（(Heinrich Hertz，1857—1894）用實驗證明電磁波的存在，用他設計的電路成功地發射、接受到了電磁波。

在十九世紀80年代，亥賽維（Oliver Heaviside，1890—1925）和赫茲分別發現可以去掉麥克斯韋方程中的磁矢量勢Ａ。這一簡化使麥克斯韋方程更好地展現電與磁的對稱之美。當然我們今天知道，在量子力學的框架中，不能去掉磁矢量勢Ａ，因其可在阿哈羅諾夫—玻姆(Aharonov-Bohm) 效應中被觀測到。

3二十世紀的理論進展

二十世紀場論的發展起源於愛因斯坦於1905年提出的狹義相對論。愛因斯坦從概念上摒棄了困擾理論物理界多年而且並不正確的“以太”，並提出電磁波本身就是一種看得見摸得著的介質。真正的真空指無實體粒子、亦無電磁場的時空。真空概念的提出解決了1887年由邁克耳遜－莫雷實驗（Michelson-Morley）而引出的物理疑團。當時這一實驗的目的是尋找“以太”，但以失敗告終。可是，當今物理學界認為，愛因斯坦之所以提出真空的概念並不是為了解釋邁克耳遜－莫雷實驗，而是為了正確地解釋物理中“同時性”這一基本概念。

從1930年到1932年，隨著實驗物理學家發現質子，科學家廣泛採納狄拉克提出的“真空是由無限負能量的粒子組成”的概念，並最終演變成名為“量子電動力學”的重要理論。20世紀30年代，量子電動力學在低級近似計算中取得成功，但卻由於其中存在對“無窮大”的定義，使得其在高級近似計算中並不成功。

1947年—1950年，隨著一系列理論和實驗物理學的突破，量子電動力學在被進行重整化修正後成為當時最為精確的計算粒子物理電磁性質的理論。最新的報道顯示，利用量子電動力學計算的電子反常磁矩與實驗值的偏差只有十億分之一（(文獻[3]，Quick Study by Gerald Gabrieslse, Physics Today, Dec 2013, p64）。

隨著重整化方法在量子電動力學中的成功，以及眾多新的基本粒子的發現，物理學界開始通過拓展場論的方法來解釋粒子之間的相互作用。雖然那個時代物理界發表了大量的研究成果，但均未能推動根本性地理解粒子間的相互作用。那一時期的熱點包括，帶有矢量相互作用的標量介子理論、帶有贗矢量相互作用的贗標量介子理論等等。當時也有物理學家在場論的範疇之外試圖解釋這些相互作用，但這些努力均未產生突破性的進展。

4回到場論

從20世紀70年代開始，物理學家開始重新對場論感興趣。這其中最為重要的理論當數起源於麥克斯韋方程的“非阿貝爾”規範理論。這裡的“非阿貝爾”指的是，一個群中，不同操作發生的前後順序不能夠被交換（我曾在”Einstein’s impact on theoretical physics”, Physics Today, 1980 p42一文中討論規範理論。如果讀者對更多的技術細節感興趣，可以參閱Physics Today, Mar 1982, p41）。迄今，規範理論被理論物理學界認為是解釋物質結構和相互作用的根基。其現代描述可以追溯到數學家外爾（Hermann Weyl）於1918年至1919年發表的三篇論文。其中可見，外爾深受愛因斯坦對電磁場幾何性的啟發。(文獻[4])。

外爾的理論完全基於他對平行位移重要性的深刻理解。他說：“黎曼幾何的發展如果要符合於自然界的規律，那麼必須基於矢量的無限小位移。”外爾進一步考慮，如果在矢量的無限小位移中它的方向發生改變，那麼為什麼其長度不能發生改變？因此外爾提出了不可積的伸縮因子的概念，並且通過下面的方程成功地與電磁場聯繫起來：

方程5

這裡Ａµ是一個四維矢量勢，而係數γ為實數。外爾將伸縮因子賦予給每個帶電物體在時空中的運動。愛因斯坦批評外爾在三篇論文中的第二篇裡提出的位移的長度改變的概念。當時，外爾並不能合理回答愛因斯坦的批評。

隨著1925年—1926年的量子力學的發展，福克（Vladimir Fock）和倫敦（Fritz London）分別指出在新的量子力學體系中，傳統的(p-eA)應該被改寫成：

方程6

與方程5相比，eAµdxµ/γ被ieAµdxµ/ћ取代，也就是說γ被-iћ取代。

外爾顯然接受了γ應該是虛數的概念。他於1929年發表了一篇重要論文，定義了量子電動力學中的規範變換，並且證明在這種變換下麥克斯韋方程在量子力學中是不變的。

在規範變換下，外爾定義的伸縮因子可以被改寫成：

方程7

很明顯，從方程7我們可以看出，這個因子實際上是一個相位變化因子。這一改變，也讓愛因斯坦早先的批評不辯自破。

1905年—1907年，分別發現洛倫茲不變量的愛因斯坦和明科夫斯基（Herman Minkowski）最早發現蘊含在麥克斯韋方程中的高度對稱性。外爾於1929年發現麥克斯韋方程在規範變換下的不變性，揭示了麥克斯韋方程的另一個重要對稱性。今天，我們意識到麥克斯韋方程中的對稱性正是當代物理學的基石。

外爾的規範變換涉及一種理論界名為U(1)的在複數空間中的幾何轉動 ——這一轉動與之前麥克斯韋所提出的“渦旋”的概念有驚人的相似。從數學上來說，方程7中的相位因子形成了一個名為U(1)的李群，而李群正是外爾最為感興趣的研究方向之一。更進一步，對於那些更為專業的讀者，一種名為“纖維叢”的理論在1929年之前就已經發展成型。然而，外爾當時並沒有意識到電磁現象本身就是一種U(1)束理論，並且本該能夠在1929年將它推廣成非阿貝爾規範理論。

事實上，這一推廣發生在1954年，引發這一推廣的並非數學，而是因為當時粒子物理學界不斷髮現新的粒子，所以他們急需一種理論來解釋不同粒子的相互作用。這種強烈的需求在以下一段發表於1954年的摘要中有清楚的體現：

“電荷是電磁場的起源。這一現象中的重要概念是規範不變量，而規範不變量與以下幾個方面相關（1）描述電磁場運動的方程，（2）電流密度，（3）帶電的場與電磁場之間的相互作用。我們曾試圖通過擴展規範不變量的概念來解釋同位旋守恆。” (文獻[5])

這一推廣產生的非阿貝爾場論在數學上極為完美，但卻多年無法得到物理學家們的認可。這是因為，這一理論要求存在一種不具有質量但卻帶電荷的粒子。

隨後為了給非阿貝爾場論中的無質量粒子賦予質量，理論物理學界於上世紀60年代引入了自發對稱破缺的概念。這一概念最終產生了一系列重要的理論突破，包括利用U(1)xSU(2)xSU(3)規範來統一弱相互作用、電磁相互作用和強相互作用的標準化模型。從1960年開始，國際理論和實驗物理學界逐步對標準化模型進行驗證。其中最為引人注目的當屬2012年在CERN發現的上帝粒子——“希格斯玻色子”。有數千名物理學家參與這一實驗（Physics Today, Sep 2012, p12）。

儘管標準化模型取得了驚人的成就，但它並非最終的理論。首先，這個理論包含眾多人為添加的常數。更重要的是，其基礎——對稱破缺機制僅僅是一種唯象的概念。費米對beta衰減的“四勢相互作用”的解釋從1934年開始主導理論界達40年(文獻[6])，它最終還是被更加深刻的基於U(1)xSU(2)規範的弱電統一理論所取代。

規範自由度早在十九世紀50年代就被麥克斯韋和湯姆森所意識到。甚至可能更早法拉第已憑藉自己的物理直覺注意到這一現象。最終，數學家外爾於1929年將麥克斯韋方程中的規範自由度與量子力學統一起來，併為當今規範化模型奠定了基礎。

麥克斯韋方程是線性的。在非阿貝爾規範理論中，方程是非線性的。這種非線性從概念上來說與廣義相對論中的非線性具有相同的來源。關於廣義相對論中的非線性問題，愛因斯坦曾說：

“我們僅僅考慮純引力場的數學表達。

這些方程的奇特性一方面在於其複雜形式，尤其是其場量和微分的非線性。另一方面，這一複雜性又是極為必要的，因為是變換群決定了場論的複雜性。（文獻7，p75）。

因此，真正的理論必然是非線性的（文獻7，p89）。”

二十世紀前半葉，數學家們完全獨立地提出了名為“纖維叢”的理論。這一理論有眾多源頭，包括卡坦（Élie Cartan）的微分形式、豪泰林（Harold Hotelling）的統計學、惠特尼（Hassler Whitney）的拓撲學、陳省身的整體微分幾何、埃爾斯曼（Charles Ehresmann）的聯絡理論。如此多樣的起源表明纖維叢理論是當時數學發展的核心。

在二十世紀70年代，物理學家和數學家驚訝地發現阿貝爾和非阿貝爾規範理論均與纖維叢理論不謀而合（文獻[8])。當然，大家樂於接受這一發現，因為它生動地詮釋了數學與物理的緊密聯繫。這一聯繫曾在二十世紀中葉，由於理論數學的不斷抽象化而被短暫地中斷。

在1975年，在我的數學同事賽蒙斯（James Simons）發現纖維叢理論並非必要時，我拿出一篇狄拉克於1931年發表的討論磁單極子的論文給他看。他驚訝道：“原來狄拉克在數學家之前就發現了平凡和不平凡的纖維叢的概念。”

最後我想以一段麥克斯韋發表於1867年對法拉第去世的悼詞來結束我們的歷史回顧。麥克斯韋寫道：

“法拉第使用假想力線的方法來解釋電磁感應，說明他實際上是一位具有高度智慧的數學家”；

“從歐幾里德的直線到法拉第的力線，這一切說明了動態和幾何的思維不斷推動科學的發展與進步”；

“以今天收集到的科學證據為基礎，也許下一位如法拉第般偉大的哲學家能發展出全新的科學，而我們今天很可能對此一無所知”。

文獻：

1. F. A. J. L. James, ed., The Correspondence of Michael Faraday,Vol. 1, Institution of Electrical Engineers (1991),p. 287.

2. J. Larmor, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32, 695 (1936),p. 697.

3. T. Kinoshita, in Proceedings of the Conference in Honour ofthe 90th Birthday of Freeman Dyson, K. K. Phua et al.,eds., World Scientific (2014), p. 148.

4. For this and the ensuing history, see C. N. Yang, in HermannWeyl, 1885–1985: Centenary Lectures, K. Chandrasekharan,ed., Springer (1986), p. 7; and A. C. T. Wu,C. N. Yang, Int. J. Mod. Phys. A 21,3235 (2006).

5. C. N. Yang, R. Mills, Phys. Rev. 95, 631 (1954).

6. An English translation of Fermi’s original paper isavailable in F. L. Wilson, Am. J. Phys. 36, 1150 (1968).

7. P. A. Schilpp, ed., Albert Einstein: Philosopher-Scientist,Open Court (1949). The two passages are English translationsof Einstein’s autobiographical notes written in1946 when Einstein was 67 years old.

8. T. T. Wu, C. N. Yang, Phys. Rev. D 12, 3845 (1975).

英文版發表於Physics Today（2014年11 月，45—51 頁)，《賽先生》中文版由胡凌志（華盛頓大學理學博士，飛利浦電子北美研發中心分子影像科學家）翻譯。攝影：李曉明。