09.08 無窮多個，到底是多少個？

無窮多個

到底是多少個

提到無窮這個概念，你首先想到的什麼呢？是浩瀚的宇宙？滿天的星辰？還是永遠數不到頭的數？

人類對無窮的發明或者叫做發現，是人類認識的一次飛躍，同時也恰恰映襯了人類的渺小。

今天我們就從數學上聊一聊無窮。

相信大家最為熟知的無窮應該就是從簡單的自然數列開始的。

當我們從1開始數2,3,4,5,6…的時候，我們發現我們永遠也數不到頭。

無論數到一個多麼大的數，永遠都會有比之大1或者大更多的數。

以此類推，總有更大的一個數存在。

有了這個最初的無窮印象，接下來我們可以思考一下，我們熟悉的奇數列、偶數列是不是也是無窮的？當然是肯定的！

那麼第一個問題出現了——同樣是無窮大，自然數列1,2,3,4,5…和偶數列2,4,6,8,10…能否比較大小，孰大孰小？

有的人可能覺得當然是自然數列了，畢竟看上去比偶數列明顯多了一個奇數列的數出來，甚至可以猜測自然數列的數量應該是偶數列數量的2倍！！

的確，一切好像都是那麼的合理。

可是！可是！如果我們稍作對應，看看有什麼不同？

把每個自然數乘以2，我們得到2,4,6,8,10…的數列，也就是：

1*2=2；

2*2=4；

3*2=6；

4*2=8；

5*2=10；

….

驚訝的一幕出現了（反正當時筆者在看到此的時候，激動了很長時間），到底發生了什麼？

最左列的自然數與最右側的偶數列是一一對應的，從集合上講，是一個映射。

一一對應的意思是什麼——有一個自然數就有一個偶數與之對應。

從這個角度而言，自然數列與偶數列是一樣的多的！

沒錯！它們的無窮是一樣的！

同樣，通過乘以2再減1，自然數列與奇數列也是一一對應的，它們的無窮也是一樣的！

沒錯！沒有弄錯，自然數列的子集和它自身可以一樣多。

這在有限集合中簡直是不可能的事情，在無限集合的尺度上，竟然就奇蹟的發生了。

至於是為什麼會這樣，只能說明，無窮很神奇，神奇的出乎意料，超出常識！

無窮量級的集合關係，與有限的量級的集合關係有很大差異！

我們邁出了關於無窮大小的第一步！

接下來繼續深入，問題二——小數，或者說是有理數的無窮有多大？

還記得有理數是哪些嗎？

有理數是整數和分數的集合，如果把整數看成是分母為1的分數，那麼可以直接把有理數看成是分數，或者是兩個整數的比值。

為了介紹方便，我們

引入一條直線，或者稱作數軸。

前面的自然數就是一維數軸上原點右側均勻間隔的無窮多點。

有理數是數軸上的哪些點呢？

好像一下子說不上來，但是我們可以肯定的是，有理數是數軸上密密麻麻的佈滿整個數軸的一些點。

而且在臨近的兩個自然數之間有無數多個有理數點存在，任何兩個有理數之間甚至有無數個有理數存在。

雖然有些繞，但是說明的問題就是，有理數是很緊密的，而自然數沒有那麼緊。

貌似，有理數比自然數要多，而且要多很多？

那麼。。。是這樣的嗎？

既然有理數可以看做兩個整數的比值，那麼我們按照如下圖的方式進行構造，就可以把正有理數排列出來，負有理數同樣也可以排列出來。

所以，結論就是，有理數也是可以從1開始一直數下去的。

有理數與自然數的無窮同樣是一樣的。

哇…世界觀有沒有又被刷新了。

那麼，神奇的直線上剩下的數還有什麼呢？

無理數（無限不循環小數）！

不禁要問，無理數有多少呢？

無理數是否也能夠按順序排列出來，就像有理數一樣？

這個問題著實有些困難。

說到這裡，不得不引出一個數學家Georg Cantor。

對於實數總體的無窮級別，Cantor給出了精彩的論述。

大概思路是這樣的：

他按照二進制的方式來表示一個實數。

假設實數是可以排列出來的話，那應該表示成下述的樣子：

s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)

s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1 ,...)

s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)

s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)

...

下面他取所有數字的二進制表示中的一位，按照表中下劃線的規則來取。

然後取所得數字的相反數，得到S = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...)。

S不同於排列出來的任何一個數字。

這樣就與我們的假設矛盾，從而證明實數是不能排列出來的。

由於實數是有理數加上無理數，所以無理數是不可排列的，且與實數的無窮級別是一樣的。

Cantor把自然數以及與自然數相等級別的集合的無窮量級定義為ℵ₀（希伯來字母，讀作阿列夫0），把無理數以及與其等級別的集合的無窮量級定義為ℵ，是一種比ℵ₀更大級別的無窮級別。

Cantor進一步得出結論，實數的無窮量級也是ℵ，並且即使在諸如[0,1]區間上的點的無窮量級也是ℵ。

現在我們有了更清楚的認識，一條直線上的點的無窮量級是ℵ。

也就是說，Cantor認為直線是由點組成的，是一個點集，無窮集合。

集合的無窮量級是ℵ。

著名數學家大衛·希爾伯特1900年8月8日在巴黎第二屆國際數學家大會上，提出了新世紀數學家應當努力解決的23個數學問題。

第一個問題就是關於今天討論的問題。

通俗的解釋是：在無窮量級ℵ₀和無窮量級ℵ之間是否存在其他的量級，史稱連續統假設。

經過多名數學家的論證，得出結論：在ZFC公理體系下，該假設無法證明正確與否。

說了這麼多，你可能要問，我只要知道直線是由無窮多個點組成的，就可以了，管他是什麼量級呢，反正又沒有其他影響。

我相信這是很多讀者都會產生的疑問，甚至這是很多基礎和理論科學麵臨的窘境。

我希望通過下邊的故事，給大家從一個側面做出解釋。

Cantor師從Karl Weierstrass，可能非數學專業的人對Weierstrass不是很熟悉。

Weierstrass被譽為分析學之父，數學分析這門課中大名鼎鼎的ε-δ語言便是由其發明， Weierstrass對微積分賦予了分析學上嚴謹的邏輯結構。

然而，隨著一些學者對微積分研究的日漸深入，傳統的Riemann積分暴露出了一些問題。

Riemann積分應該是我們接觸最多的一種積分方法了。

物理、化學甚至經濟學中都是應用黎曼積分對具體問題進行計算和處理。

比如，給出速度和時間的函數關係計算位移等等。

然而，Riemann積分自身的方法對被積函數的連續性等性質有著較高要求，在遇到一些奇異函數時候就變得無能為力。

比如說，Dirichlet函數（圖2），這引起了包括Weierstrass在內的很多人的關注。

微積分是建立在極限的基礎之上，極限本身就要依賴於實數的性質。

Cantor就是在這樣的背景下著手關於實數性質的研究，也就是我們標題提到的——數一數直線上的點。

回到積分。

積分的意義是曲線圍成的圖形面積，Riemann積分的定義是建立在對區間長度分割的基礎上。

基於Cantor在集合特別是實數連續統方面的研究，Lebesgue把積分概念置於集合測度理論框架中（測度可以通俗理解為點集的長度），引入了新的積分定義，把有界實值函數的值進行分劃（Riemann是對定義域進行分劃），計算每個分劃中定義域點集的測度，然後累加求極限。

Lebesgue對他的積分思想給出過精彩的比喻：一個人要償還一筆錢，如果依次從口袋裡取出不同面值的鈔票，逐一相加計算總額，還給債主，這是Riemann的做法。

另一種做法是把錢全部拿出來把相同面值的鈔票放在一起，然後再求和，這就是勒貝格積分。

通過Lebesgue積分很容易可以得到上邊Dirichlet函數的結果為1。

除此之外，點集測度理論和Lebesgue積分也是整個概率論的理論基礎，有機會再做詳細介紹。

說到現在，我們對直線有了新的認識，也是初步的認識。

簡單總結一下吧！

在科技騰飛的今天，我們可以把宇宙飛船送上遙遠的太空，可以利用核能，可以無線通訊，甚至如今我們的人工智能技術也有了重大發展。

在這些偉大的科技發明面前，我們大多數人感覺到，人類有了高超的本領能夠駕馭當前甚至未來。

但是，僅僅是一條直線，我們從小學就接觸並熟知的直線，都沒能得到徹底解決，沒有明確的答案。

可見，人類的認識仍然有限，數學作為人類理性思維、科學精神的基礎之一，在基礎研究方面仍然有很多問題需要去思考和解決。

我們有理由相信，我們可以通過努力去解決一個又一個問題，去接近真理。

因為，現在的我們就是從過去這樣一步步走過來的!

伊隨，中國科學技術大學，計算機專業博士，主要研究興趣是人工智能和大數據。

“超級數學建模”（微信號supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆瞭解各種思維，做個好玩的理性派。60萬數學精英都在關注！