例3，已知：C是以AB為直徑的半圓0上的一點，CD⊥AB垂足是D，E是AD上的一點，連結AC、CE，DF⊥CE垂足是G，DF、AB相交於F，

求證： AF/CF=ED/BD

分析1：本題要證明的結論是AF/CF=ED/BD這是線段之間的比例關係，所以，首先應進行描圖，搞清楚比例線段之間的位置關係，

經過描圖，可以發現AF、CF和ED、BD這兩組相比線段分別重疊在一直線上，所以可添加平行線型相似三角形進行證明，

由於現在出現的重疊在一直線上的相比線段有兩組，所以選取從哪一組相比線段出發進行討論，就出現了兩種可能性，

若選取從AF、CF這一組相比線段進行討論，則添加的方法是過端點或內分點作平行線，

於是，首先要選取平行方向線段，由於現在出現的端點是A、C，內分點是F，所以圖形中過端點A的線段是AE，過內分點F的線段是FD，過另一個端點C的線段是CD和CE，共有四種可能性，所以可分別進行討論，

若取AE為平行方向線段，由於平行方向線段過端點A，所以平行線可以過內分點F作，也可以過另一個端點C作，

如首先選取過內分點F作平行線，則過F作FH∥AE交CE於H，

就可得AF/CF=EH/CH，

這樣，問題就轉化為要證EH/CH=ED/BD，

這是一個新的比例關係，那麼首先也進行描圖，搞清楚比例線段之間的位置關係，

經過描圖，可以發現EH、CH和ED、BD這兩組相比線段分別重疊在一直線上，所以可添加平行線型相似三角形進行證明，

又因為這兩組重疊的相比線段有一個公共端點E，所以添加平行線型相似三角形的方法就是將端點和端點、內分點和內分點分別連結，這兩條連線一定平行，

於是，連結DH、BC，問題就成為要證DH∥BC，

由條件AB是半圓0的直徑，所以想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，於是由C是半圓上的一點，可得∠ACB=90°，AC⊥BC，

這樣問題又轉化為要證DH也與AC垂直，

於是，就要根據垂線的定義進行證明，也就是它們應相交成90°角，而現在DH、AC還沒有相交，所以應將它們延長到相交，

也就是延長DH交AC於I，應證DI⊥AC，也就是DI應是△CDF的一條高，而已知CG是△CDF的一條高，所以它們的交點H就應是△CDF的垂心，也就是要證明DH與AC垂直，就成為要證H是△CDF的垂心，

根據三角形垂心的定義，它應該是三角形的兩條高的交點，而DI這條高是要證明的結論，不能用，所以必須要用另外兩條高，其中一條高CG已經給出，所以要找另一條CD邊上的高，但這條高圖形中尚未出現，所以應先將這條高添出，也就是延長FH交CD於J，

由條件CD⊥AB，而已經作出的是FH∥AE，

所以FJ⊥CD，FJ就是△CDF的一條高，H就是△CDF的垂心，DH∥BC就可以證明，分析也就可以完成。

分析2：若平行線過另一個端點C作，則應作到與過內分點F的直線相交，

於是，過C作CH∥BA交DF的延長線於H，

就可得△ADF∽△CHF， AF/CF=AD/CH，

這樣問題就成為要證明AD/CH=ED/BD，

由條件AB是半圓0的直徑，所以想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，現在圖形中是有直徑AB，有半圓上的點C，而沒有圓周角，所以應先將半圓上的圓周角添上，

於是連結BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由於條件還給出CD⊥AB，出現了CD是直角△ABC的斜邊上的高，所以想到要應用直角三角形斜邊上的高或者也就是旋轉型相似三角形的基本圖形進行證明，

於是可得△ACD∽△CBD，CD^2=AD•BD，

而AD•BD就是要證明的性質AD/CH=ED/BD 的外項積，

所以，問題就成為要證明這個比例關係的內項積也等於CD^2，

也就是要證明CD/CH=ED/CD，

這是一個新的比例關係，於是首先也應該進行描圖，搞清楚比例線段之間的位置關係，

經過描圖，可以發現它們兩兩組成三角形，也就是CD、ED可以組成△CED，CH、CD可以組成△HDC，

在這兩個三角形中，已經有∠CDE=∠HCD=90°，

而由條件DF⊥CE，又可得CG是直角△HDC的斜邊上的高，所以∠ECD=∠DHC，所以△CED∽△HDC，分析就可以完成。

分析3：若取FD為平行方向線段，由於平行方向線段過內分點F，所以平行線可以過端點A作，也可以過另一個端點C作，

如首先選取過端點A作平行線，則應作到和過另一個端點C的直線相交，

於是，過A作AH∥FD交CD的延長線於H，

就可得AF/CF=HD/CD，

這樣，問題就轉化為要證HD/CD=ED/BD，

這是一個新的比例關係，那麼首先也進行描圖，搞清楚比例線段之間的位置關係，

經過描圖，可以發現HD、CD和ED、BD這兩組相比線段分別重疊在一直線上，所以可添加平行線型相似三角形進行證明，

又因為這兩組重疊的相比線段在內分點D相交，所以添加平行線型相似三角形的方法就是將兩組端點分別連結，這兩條連線一定平行，

於是，連結EH、BC，

問題就成為要證HE∥BC，

由條件AB是半圓0的直徑，所以想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，於是由C是半圓上的一點，可得∠ACB=90°，AC⊥BC，

這樣問題又轉化為要證HE也與AC垂直，

於是，就要根據垂線的定義進行證明，也就是它們應相交成90°角，而現在HE、AC還沒有相交，所以應將它們延長到相交，

也就是延長HE交AC於I，應證HI⊥AC，也就是HI應是△ACH的一條高，而已知AD是△ACH的一條高，所以它們的交點E就應是△ACH的垂心，也就是要證明HI與AC垂直，就成為要證E是△ACH的垂心，

根據三角形垂心的定義，它應該是三角形的兩條高的交點，而HI這條高是要證明的結論，不能用，所以必須要用另外兩條高，其中一條高AD已經給出，所以要找另一條AH邊上的高，但這條高圖形中尚未出現，所以應先將這條高添出，也就是延長CE交AH於J，

由條件CE⊥DF，而已經作出的是AH∥FD，

所以CJ⊥AH，CJ就是△ACH的一條高，E就是△ACH的垂心，HI∥BC就可以證明，分析也就可以完成。

分析4：若選取過端點C作平行線，則應作到和過另一個端點A的直線相交，

於是，過C作CH∥FD交AB的延長線於H，

就可得AF/CF=AD/HD，

這樣，問題就轉化為要證AD/HD=ED/BD，

由條件AB是半圓0的直徑，所以想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，現在圖形中是有直徑AB，有半圓上的點C，而沒有圓周角，所以應先將半圓上的圓周角添上，

於是連結BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由於條件還給出CD⊥AB，出現了CD是直角△ABC的斜邊上的高，所以想到要應用直角三角形斜邊上的高或者也就是旋轉型相似三角形的基本圖形進行證明，

於是可得△ACD∽△CBD，CD^2=AD•BD，而AD•BD就是要證明的性質AD/HD=ED/BD的外項積，所以，問題就成為要證明這個比例關係的內項積也等於CD^2，也就是要證明CD^2=ED•HD，

由條件CE⊥DF，而已經作出的是CH∥FD，所以∠ECH=90°，從而又出現了CD也是直角△EHC的斜邊上的高，所以又想到要應用直角三角形斜邊上的高或者也就是旋轉型相似三角形的基本圖形進行證明，

於是又可得△ECD∽△CHD，CD^2=ED•HD，分析就可以完成。

分析5：若取CD為平行方向線段，由於平行方向線段過端點C，所以平行線可以過內分點F作，也可以過另一個端點A作，

如首先選取過內分點F作平行線，則應作到和過另一個端點A的直線相交，

於是，過F作FH∥CD交AD於H，

就可得AF/CF=AH/DH，

這樣，問題就轉化為要證AH/DH=ED/BD，由條件AB是半圓0的直徑，所以想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，現在圖形中是有直徑AB，有半圓上的點C，而沒有圓周角，所以應先將半圓上的圓周角添上，

於是連結BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由於條件還給出CD⊥AB，出現了CD是直角△ABC的斜邊上的高，所以想到要應用直角三角形斜邊上的高的基本圖形的性質，可得∠BCD=∠CAB，

這樣，要證明的性質中出現的AH、BD就分別是△AFH和△CBD的一條直角邊，

而在這兩個三角形中，由條件CD⊥AB和FH∥CD，可得∠AHF=∠CDB=90°，

所以△AFH∽△CBD， AH/CD=FH/BD，

比較要證明的性質AH/DH=ED/BD，

可知問題轉化成要證FH/DH=ED/CD，

由條件DF⊥CE垂足是G，DG也是直角△CED的斜邊上的高，所以應用直角三角形斜邊上的高的基本圖形的性質，可得∠EDG=∠ECD，

從而，再由∠FHD=∠EDC=90°，就可以證明△FDH∽△ECD，

所以FH/DH=ED/CD，分析就可以完成。

分析6：如選取過端點A作平行線，則應作到和過內分點F的直線相交，

於是，過A作AH∥DC交DF的延長線於H，

就可得AF/CF=AH/CD，

這樣，問題就轉化為要證AH/CD=ED/BD，

又因為條件給出CD⊥AB垂足是D，DF⊥CE垂足是G，DG就是直角△CED的斜邊上的高，所以應用直角三角形斜邊上的高的基本圖形的性質，可得∠EDG=∠ECD，

又因為AH∥DC，所以∠HAD=∠EDC=90°，

就可推得△HDA∽△ECD， HA/AD=ED/DC，

問題就成為要證CD/AD=BD/DC，CD^2=AD•BD，

由條件AB是半圓0的直徑，所以想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，現在圖形中是有直徑AB，有半圓上的點C，而沒有圓周角，所以應先將半圓上的圓周角添上，

於是連結BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由於條件還給出CD⊥AB，出現了CD是直角△ABC的斜邊上的高，所以想到要應用直角三角形斜邊上的高或者也就是旋轉型相似三角形的基本圖形進行證明，

於是可得△ACD∽△CBD，就可以推得CD^2=AD•BD，分析就可以完成。

分析7：若取CE為平行方向線段，由於平行方向線段過端點C，所以平行線可以過另一個端點A作，並應作到和過內分點F的直線相交，

於是，過A作AH∥EC交DF的延長線於H，

就可得AF/CF=AH/CG，

這樣，問題就轉化為要證AH/CG=ED/BD，

而由AH∥EC，就出現了EG是△DAH內一條邊AH的平行線，所以可應用由三角形內一條邊的平行線得到的平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明，

也就可得AH/EG=AD/ED，AH=(AD•EG)/ED，

問題就成為要證(AD•EG)/ED＝(ED•CG)/BD，由於這個關係式中出現了ED^2，是直角三角形一條直角邊的平方，

所以，由條件CD⊥AB垂足是D，DF⊥CE垂足是G，DG就是直角△CED的斜邊上的高，所以可應用直角三角形斜邊上的高也就是逆平行線型相似三角形的的基本圖形的性質，可得△EDG∽△ECD，ED^2=EG•EC，

問題又轉化為要證明EG•EC•CG＝AD•EG•BD，

就是要證明EC•CG＝AD•BD，

由於DG就是直角△CED的斜邊上的高，所以再應用直角三角形斜邊上的高也就是逆平行線型相似三角形的的基本圖形的性質，可得△CDG∽△CED，CD^2=EC•CG，

所以問題轉化為要證CD^2= AD•BD，

由條件AB是半圓0的直徑，所以想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，現在圖形中是有直徑AB，有半圓上的點C，而沒有圓周角，所以應先將半圓上的圓周角添上，

於是連結BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由於條件還給出CD⊥AB，出現了CD是直角△ABC的斜邊上的高，所以想到要應用直角三角形斜邊上的高或者也就是旋轉型相似三角形的基本圖形進行證明，

於是可得△ACD∽△CBD，就可以推得CD^2=AD•BD，分析就可以完成。

分析8：本題的分析在對比例線段進行描圖時，可以發現AF、CF這一組相比(相等)線段重疊在一直線上，且過兩個端點A、C和內分點F的三直線AD、CD、FD共點於D，

從而可添加平行線型相似三角形的組合圖形進行證明，添加的方法是將過端點和內分點的共點三直線與一組平行線相交，

由於現在圖形中還沒有平行線，所以應先將平行線添上，又因為現在圖形中能夠作AC的平行線而且與條件、結論有聯繫的的點就是點E，所以平行線

就應過點E作，

也就是過E作EH∥AC，分別交CD、FD於H、I，

從而就可得AF/CF=EI/HI，

這樣，問題就轉化為要證EI/HI=ED/BD，這是一個新的比例關係，那麼首先也進行描圖，搞清楚比例線段之間的位置關係，

經過描圖，可以發現EI、HI和ED、BD這兩組相比線段分別重疊在一直線上，所以可添加平行線型相似三角形進行證明，又因為這兩組重疊的相比線段有公共端點E，所以添加平行線型相似三角形的方法就是將端點和端點、內分點和內分點分別連結，這兩條連線一定平行，

於是，連結BH，

問題就成為要證DI∥BH，

由條件CE⊥DF，所以問題就是要證BH也和CE垂直，

根據垂線的定義，它們應相交成90°角，而現在BH、CE還沒有相交，所以應將它們延長到相交，

也就是延長BH交CE於J，應證BJ⊥CE，

由條件AB是半圓0的直徑，所以想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，現在圖形中出現了C是半圓上的一點，而沒有圓周角，所以應將圓周角添上，

也就是連結BC，可得∠ACB=90°，

這樣要證BJ⊥CE，也就是BJ應是△CEB的一條高，而已知CD是△CEB的一條高，所以它們的交點H就應是△CEB的垂心，也就是要證明BJ與CE垂直，就成為要證H是△CEB的垂心，

根據三角形垂心的定義，它應該是三角形的兩條高的交點，而BJ這條高是要證明的結論，不能用，所以必須要用另外兩條高，其中一條高CD已經給出，所以要找另一條BC邊上的高，但這條高圖形中尚未出現，所以應先將這條高添出，也就是延長EH交BC於K，

由於已經作出的是EH∥AC，AC⊥BC，所以EK⊥BC，EK就是△CEB的一條高，H就是△CEB的垂心，BH∥DI就可以證明，分析也就可以完成。