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作者按：
【大學本科階段，數學類課程是許多學生所“懼怕”的。這篇文章談一談相關大學數學的若干問題，會分析“為什麼會懼怕，如何不懼怕”。閱讀完本文大約需要20分鐘。】
大學本科階段，除了部分文科專業的學生，基本都要學一些數學課程，比如微積分、高等數學、數學分析等等。講過數學課的老師，也大多會聽到學生的一句詼諧話：“老師，我被掛在高樹上，都有恐高症了”。指的就是“高等數學（高樹）”課程掛科了，以至於害怕高數（恐高）。確實，每個學期都有很多學生問：老師，我的高中數學很好啊，進入大學怎麼就學不好，數學到底要怎樣學呢？這個問題著實不容易回答，如果時間有限，我通常只會說“你不要輕易懷疑自己的數學人生”。今天要談的話題就是由“恐高症”出發，來分析“為什麼怕數學、怎樣學數學”。這篇文章涉及的許多觀點是我個人的主觀意願，其中有的觀點可能會“扎心”，慎入！
開始了。
/ 一、學數學需要天賦嗎 /
不可否認，那些偉大的數學家們，如歐拉、高斯、柯西、黎曼、嘉當、陳省身（加一位華人數學家）等等，都是有很高天賦的，畢竟所做的貢獻極其偉大，說其具有開天闢地的意義，也不為過。但是這並不意味著，學好（大學）數學就一定要有很好的天賦。要講清楚這點，不妨先看看我國與教育發達國家的教育模式的不同（普民教育與精英教育），從中或許看出我們的模式下，學生所學的“東西”可能偏離了其本來的面目，談“天賦”又有何用（如果覺得講得太遠了，可以跳過下面的第一節內容）。
1. 普民教育與精英教育
我認為至今我國大部分高校進行的還是“普民教育”（普及大眾）（北大清華要好很多吧），至少還沒有到達像一些歐美國家那樣的“精英教育”層次。所謂精英教育，我理解成為：主要關注那些具有成為“社會精英”潛質人才的教育，將來這些人是引領國家前進的中流砥柱，包括政治精英、科學精英等。至於其他的人，在這些國家中，是不會被給予高望的，不會管你何去何從，這個社會只會由那些精英們所主導。所以這樣國家的教育環境下，許多學生覺得非常地“自由”（這也成為，許多不“知情”的中國家長送孩子去美國選擇如此“自由”發展的重要原因），甚至可以不學習，畢業後找個修水工的工作也大有人在（目前中國的大學生畢業不可能接受吧，而會想著你是精英憑什麼我不是，這就是後面要談到的“平等”觀念）。可要知道，那些具有“精英”潛質的少數學生，會無比地投入學習、抓住各種機會提升自己，在師長的幫助下，甚至可以選擇自己的興趣愛好作為畢生的事業，如此才成就了主導精英——比如主導社會發展方向的政治人才與科學大師。
而我國目前環境下，還是停留在“平等”的概念上，認為各位大學生都是一樣“優秀的”、同樣都是國家的未來。我國就讀大學的人口基數又大，一致地實施精英培養模式不夠現實。而且，目前我國社會“精英”人士是五花八門的，我們的政治精英、科學精英還未必是“主導精英”（這是我國目前發展階段的必然結果。改開四十年中一直圍繞“經濟建設為中心”，對國家經濟做了“直接貢獻”的人——比如房地產大佬們，其“精英”排位自然佔優，還未輪上有政治家/科學家潛質的那類人群），甚至我們的政治精英未必是有良好科學素養或受過良好教育的（為什麼美國精英人士，包含眾多的科學家，反對特朗普上任？因為他們眼裡的特朗普是一個商業界的忽悠，而歐巴馬、希拉里是有著良好教育背景與科學素養的政治精英），當然國內這種情況也是越來越趨好，最高學歷不再是在中央黨校完成的。因此，在如此背景下，我們還不能真正全面地在大學裡實行“精英教育”，還得繼續一種“平等”的“普民教育”。如此一來，高校部門要照顧總體的大學生們，落到細節就是教師的講課與考試，都要照顧到絕大部分學生，不能講得太深考得太難。進一步地，許多課程比如數學課程，其真正“面目”根本就得不到展示的機會，大家所學的數學不再有“數學味”，毫不誇張地講，有的學生學的都是“假的數學”。即便你很有天賦，但未必就能得以發揮。
其實，相關的部門也意識到這些問題，比如近幾年來各大院校提倡的“分類分層”教學、教育部門注重職業技術學院的發展，當然這是好的一面。但是否真的能夠實施到位，或實施過程當中遇到的問題如何得以解決，我想這些才是後續中最重要的。
有了上述“教育層次模式異同”的前提認識，我們可以具體地分析“學數學到底要不要天賦”，如下。
2. 尚未達到需要天賦的地步
首先，作為更大眾的普通人之一，你（尤其是低年級學生）進入大學所學的數學，只是數學領域的最基礎部分（內容），而且是循序漸進地學下去；最開始的學習只要求對中學數學（比如什麼是函數、向量等）有印象便可，從內容結構來看，甚至可以說幾乎是“零基礎”要求（事實上國內絕大多數的中學學習是應試+題海戰術）。還遠沒有到“要依靠天賦才可以進行下去學好數學”的地步，除非到了考慮是否將來以數學為事業的境地。
3. 可能只是一種“排斥”的慣性使然
其次，能夠考入大學本科，絕大多數情況下是不用懷疑自己的腦瓜子天生學不好數學，身邊的同學“聰明”程度大多數也和自己差不多。當然有一種情況是可能存在的：受到中學嚴重“弱科”的影響，以至於已經形成了排斥數學的慣性認識。好比我在中學就嚴重不喜愛文科課程，大學若要讓我去學中國語言文學專業，恐怕也是難以找到切入點。但我還是認為在大學階段，這個慣性是可以逐漸被扭轉過來的，比如我會首先接受、不再主動排斥它，列出學好它的一些必要條件，再逐一地努力尋找到可行的科學或專業方法，如果不要求在此專業上有很高建樹的話，相信會找到破解“學不好”這一難題。
4. 所學的是普及課程而已
再者，大學裡所學的數學課程，尤其是非數學專業開設的數學課基本都是“數學知識普及”課，離數學的核心還有一萬光年。可即便是數學專業的數學課程，如果沒有學習過實變函數、泛函分析、抽象代數、拓撲學基礎、微分幾何的話，基本等同於對數學“尚未入門”，那是遠遠談不上需要“天賦”的。這其實就是前面所說的，數學的真正“面目”根本還沒有得到展示。
5. 大學數學與中學數學完全不是一回事
還有一點，不要認為自己在中學階段學不好數學，大學裡就一定學不好。大學的數學課程與中學裡的數學課程是完全不同level的事情，比如高中要求掌握極限的計算、導數/積分怎麼求，大學裡則重在理解何為極限、導數/積分的背景與含義是什麼。這也是為什麼前文所說的大學數學幾乎是“‘零基礎’要求”。既然是近零基礎開始，加上“還沒有到達需要天賦的地步”，所以不要去想“我沒有天賦，怎麼學都不會”。
最後，總結為一句話：天賦固然會對學習有一定的影響，但在目前我們的大環境與要求下，還尚未到達需要一定天賦才能夠學好大學裡的數學。
那麼到底為什麼沒有學好大學數學課程，或怎樣才能學好數學呢？我認為，這主要由兩大類因素導致：對數學（學習）的認識不夠清晰，數學學習的方式方法不對。如果要真正解決這些問題，我感覺到要思考三個問題：什麼是數學？為什麼要學數學？怎樣學數學？即便是沒有唯一準確的答案。
/ 二、什麼是數學 /
邏輯上講，要學好數學，自然要先認識它，要去多思考數學的本質是什麼，儘管你可能想不出什麼結果。
什麼是數學？這個恐怕只有數學史專家才能夠很好地回答，當然也絕不是一兩句話能夠說得清的。但並不影響我們去思考這個問題（想認識數學就必須要思考這一問題），而且我們能夠認識哪怕一小部分，就足以掃除大學裡學習數學的許多障礙。我想數學的本質特徵可以這樣去描述：數學是一門科學的學科，來源於生活實踐而又超越實際的可公理化、高度嚴謹、縝密和抽象客觀的自然學科，體現為人類思維的表達形式和簡潔的邏輯語言。邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性，構成數學的基本要素。
作為初涉大學數學課程的學生，可以抓住幾個關鍵詞：源於實際、邏輯語言、思維表達、嚴謹抽象。推薦一本書：“What is the Mathematics（什麼是數學）”（作者R.Courant，有中譯版）。
/ 三、為什麼要學數學 /
1. 滿足“社會生活對數學日益增長”的需求
事實上，我們每一個人無時無刻不在“享受著數學帶來的生活便利”。當你使用手機打電話時，是在享用信號處理技術帶來的成果，而這個信號處理技術要用到如傅里葉變換、濾波方程、譜分析等；你的手機之所以可以設置個人密碼，也是要用到數論和離散數學。飛機能平穩著陸、導彈能命中目標、當前的AI和大數據時代，無不用到數學。既然社會生活越來越涉及數學，作為具有社會屬性的人類，要參與社會活動，自然多多少少要“學點數學”。
2. 思維邏輯、抽象能力的訓練與培養
數學是一門科學的學科，而科學源於形式邏輯體系，發展了辯證邏輯，不僅研究認識的知性規律更研究其理性規律。學習數學便是對思維邏輯的一種訓練，能夠對某事物或現象經過嚴密的邏輯推理對其做出理性判斷。學習數學，可以早一點認識到邏輯的重要性，提高邏輯分析能力。
數學雖源於生產生活，卻遠超越實踐而高度抽離出來形成的一門嚴謹而簡潔的科學學科，基於公理化體系，從概念出發。自然地數學便具有一定的抽象性。通過數學的學習，可以培養自身的抽象理解能力、發現問題和解決問題的能力。
3. 幾個例子
如果我們能夠接受一點正規的數學訓練，就不會犯一些邏輯性的錯誤；或者說，沒有經受過正規的科學訓練，很可能容易出現一些“邏輯不通”的表達（如例一）。同時，有了正規的訓練，我們還可以解釋實際生活中的一些“悖論”（如例二）。
例一、從微博上找了兩張出現邏輯問題的內容截圖（“頭條新聞”與“環球時報”可是影響力巨大的媒體啊。事實上，每次瀏覽新聞都會發現此類現象）
上張截圖說的是“只有和平久了繁榮普遍了，......，幾個俊男靚女才會突然間擁有萬人空巷的力量（即小鮮肉有市場）”。由此自然可以得出：“小鮮肉有市場，證明社會是和平繁榮的”一結論。可實際上，小鮮肉們有了市場，社會就真的一定會是和平繁榮已久嗎？事實上，我國的小鮮肉們市場已是巨大（這個是不爭事實），可我們的社會並不是和平繁榮已久的。所以，這個小編寫下這段文字時，是沒有經過邏輯思考的。
至於第二張截圖上的內容，那位查了維基的網友，顯然還是搞不懂基本邏輯條件“充分與必要”為何。因此才有人說其“要從小學學起”（或許其真的是小學生吧）。
例二、一個“悖論”
我曾在課堂上問過學生這個“會不會餓死”的問題：下課後，你要從教室去食堂吃飯。途中，會經過教室至食堂距離的中點（即1/2距離）；再想，從教室至這個中點，你同樣也要經過一次中點（即1/4距離）；如此下去，你要經過無數次這樣的“中點”，才會最終到達食堂。拋開實際生活常識，這是不是意味著“既然要經過無窮次的中點，才可以到達食堂，那就永遠到達不了食堂，從而吃不了飯”？然而回過神來想想自己並沒有到達不了食堂。那這是不是一個悖論呢？其實，懂得了極限（或學過級數）的人，這個所謂的“悖論”自然就不攻自破。
例三、最後，看一個並不真實但有趣的故事
“老闆分別給了工程師、物理學家、數學家一桶油漆，讓他們將牆塗滿。過了一會，老闆走進工程師的房子裡發現只有一面牆被塗了漆，工程師說:我塗完才發現油漆不夠用！老闆又走進物理學家的房子看，發現什麼都沒塗，物理學家說:我計算了一下，發現油漆不夠用就沒塗了。最後老闆走進數學家的房間一看，發現牆全被塗滿了油漆，而且桶裡的油漆竟然一點沒少！老闆很驚訝，問數學家怎麼回事。數學家答道:很簡單，我只塗了平面上所有的有理點座標！”
這個故事關鍵在於那位數學家說的“只塗了有理點”。事實上，懂得“實數結構”的人就明白其中的含義：實數集由有理數與無理數構成，實數的“個數”與無理數的“個數”是一致的，而有理數與無理數又都是“稠密”的，有理數集是可數的“零測集”（有理數“個數”與自然數“個數”一致）。正是因為那位數學家懂得“有理數集為‘零測集’”，才能做到“將牆漆滿，且剩下的塗料一點沒少”。
/ 四、怎樣學數學 /
知道了一點“什麼是數學”、“為什麼要學數學”，接下來就可以思考“怎樣學數學”。
1. 同中學時代學習數學的方式方法說“Bye”
國內中學階段的學習，其目的基本是唯一的——為了高考考得高分，所以學習任何科目都是“應試”的方式。對於數學學習甚至都有“記住、背下來”的情況。然而，真正的數學是不需要“記”的，包括公式也是不需要“記住”的。進入大學學習數學，要徹底和中學的“記、做題、題海術”說再見！因為正如第一節所述，大學學數學的本真目的是“培養”能力，不是為了如何拿到“高分”。
2. 正確的學習方法
大學中的數學學習，怎樣才是正確的打開方式呢？
（1）知曉框架
開始接觸某門課程時，要先對其整體內容框架做個瞭解，大致知道要學的知識由哪些部分構成。這就是所謂的學習三部曲——“薄讀-厚讀-薄讀”之首曲。
（2）瞭解背景
每個知識內容都要知道它的背景是什麼（這個一定要知道！）。只有這樣，你才可能懂得為什麼需要學習這樣的知識，前輩們是為了解決什麼問題才開始了這樣的研究，中間遇到過什麼問題，又是怎麼解決的。要不然，你去看看牛頓-萊布尼茨如何最終創立出微積分。無論如何，必須要知道所要學習知識的背景，如果老師沒來得及講，一定要問老師！否則你依然會掉進中學的“只會做題”的深淵，從此不可能再識得數學“廬山真面目”！
（3）研究概念
有了框架與背景的認識，才可以進入學習知識內容的階段，此階段最為重要的是對概念的理解，一定要進行反反覆覆的各個角度的理解。這是因為，概念即為根源，接下來要學的知識點都是源於這一概念。事實上，對許多的概念甚至要研究十遍以上方可獲知一二。每年招收研究生面試時，我都會問一個極限的概念，有面試生能夠寫出極限定義，但很少有能夠給出到位的解釋。許多學生有這樣的感覺：“我會計算非常複雜的數列極限，可根本不知道這個數列收斂該極限值的含義”，這正是因為忽視了對概念的理解。記住，學習某一具體內容，第一步要做的是去研究其中的概念。
（4）重視證明少做計算題
少做計算題，出於兩點考慮：一是可以騰出時間思考證明題；二是，經常做計算題會造成“我懂了這個知識點”的錯覺。
會做計算題只說明你的“算術”高明，這是中學時代的產物，而大學裡數學的本質是“培養”思考推理分析能力的（當然現在大學中，各種因素還是導致“唯分數論”，所以考題還是計算題居多。這個原因在第一節中談過）。而證明題正可以起到這一作用，包括書本中的命題與定理及課後的證明題。所以，要多思考解決證明題，否則還是會出現“同一題型，換了數字或條件就不會做了”的情況。可以將做計算題的時間，用來思考與證明課本中的定理和相關結論。
（5）少背記多推導
中學時代，光三角函數那些公式就讓學生們記得很揪心。進入大學之後，你才發現，原來這些公式真的無需記住，是可以很快推導出來的呀！同樣，大學中的許多數學公式除了基本的運算規則需要記住，其它的基本也是不需要記憶的，當你理解到位了，很快在心裡就能推導出來，這樣得到的公式才是屬於自己的，永遠不會忘記。特別地，對於概念性的描述，更不能靠記住，理解才是王道。比如數列極限的“e-N語言”，其實由兩部分組成：結論部分“xn收斂於a”，條件部分“n充分大”。作為初學者是可以理解到這樣的程度：它意味著“xn與a的距離，在n充分大的條件下，比任何一個小的正數還要小，才叫做xn會無限接近a”，再用數學語言翻譯過來即為“對任意的e>0，存在很大的數N，當n>N時（表明‘充分大’的條件），會有|xn-a| 補充三點： （6）很多學生喜歡去做吉米多維奇那本書，對於初學者來說可以適當做一些便於加深對知識的理解。但要注意到，這本書基本是解題套路，限制條條框框了，不建議多做。
（7）關於做題，我的建議是：多證明書本上的性質、定理和課後證明題，少做計算題。可以將概念和定義抄到筆記本上反覆研讀，還將定理與較難的性質及課後的證明題，都抄下來自己去思考並給出證明。（感謝我的大學老師們！）
（8）以上僅針對想要感受數學本質的人，事實上很多學校和專業的數學課程要求只是“你會做題即可”，考題也是計算題居多。所以造成了學生“指導”老師“多講計算題，考試不要出證明題”的局面。這個結果不是學生造成的，學生是不明真相的受害者。
3. 教材的選擇問題
國內大學的數學教材風格大都沿用前蘇聯體系，經過自行加工而成。有不少的好書，但更多的在我看來，很像一本數學手冊（寶典），這是初學者最喜歡但又是最致命的一點。煮個栗子，考研數學輔導書就是這樣的特點，考研的學生是不是人手一本？可是致命的現象出現了：你的數學考研成績很高，可是進來讀研了卻連極限的概念都說不清。
再想想使用最為廣泛的同濟大學的“高等數學”，是不是有這樣的感覺？給讀者羅列出數學公式（讓你背和記住），例題和習題都是一堆堆的計算（似乎要將讀者訓練成為計算工具）。我對此“高等數學”教材的評價基本是“只見樹木不見森林的手冊書”。你會說這只是高等數學不是數學分析啊，我是承認數學領域存在巨大差距的（比如，應用數學和純粹數學的差距），但前面我也說過，數學書就應該要有一點數學的靈魂在，至少要有利於讓讀者學會如何發現問題並解決問題，而不是在一片森林裡面對一顆事先選定的樹木，給你演示“這是樹的皮那是樹的毛”。
我是無法給出國內的哪本數學書屬最好的，比如“數學分析”，我讀過的就有華東師大（難度中上條理不夠清晰簡明）、復旦歐陽（簡單但清晰）、北大張築生（深多細緻）、中科大史濟懷（比較清晰有些跳躍），各有千秋，不同的人評價不一。相信每個學校和專業都會選擇與其匹配的合適教材。當然也可以結合國外的一看，比如數學分析你就看Rudin和Zorich的，簡潔明瞭。
4. 是否“很好地理解了所學”的評判標準
我認為有三個遞進的標準：一是，你是否懂了老師的所講；二是，你是否講得出來；最後，你來講的話，聽眾是否能聽得明白（這一點很難）。
5. 關於選課
如果沒有一定的基礎，建議不要為了“高大上”而去選修高大上的課程。比如，你的數學分析都沒有學紮實，就不要去選泛函分析或點集拓撲。另外，反對學生去選修一些無思想的“工具類”課程，比如像一些“傻瓜”軟件（如Matlab）課程。這些無思想的工具類課程，只具有實踐性功能。不妨結合具體的應用問題，邊學這些工具邊將其具體使用於解決問題，如此才可以事半功倍。
/ 五、數學領域的再認識 /
如果以上所有文字你都讀過，並思考過有所感覺了，現在可以說一說數學大類的區別，進一步瞭解整個數學學科是個什麼“鬼”。
1. 認識一下數學領域的不同學科
我們常聽說基礎數學（純粹數學）、應用數學、計算數學等等，其實這都是數學學科下面的二類學科名稱，按照國家學科的分類，數學二級分類至少25種吧。我們只看看主要的分支：代數、幾何、分析。以前看到過一篇帖子（據傳是某大學教授的一個總結），其中的多數觀點，我是贊同的。引用如下：
“正如大家所知，代數幾何是現代數學的主流。當代大多數一流的數學家都工作在這一領域。因此如果你覺得自己天賦異稟，並在代數，幾何與分析各方面都有著紮實的基礎，我建議你絕不要浪費自己的天賦：應義無反顧的選擇代數幾何這一專業。
當然把代數，幾何與分析這三門基礎功課同時學好的人很少。比如有些同學有著很好的分析功底，但代數中的抽象思維能力卻相對顯得薄弱。如果是這樣的話，我建議你選擇分析方面的專業，比如：複分析，分形，調和分析或微分方程。
如果你代數和分析都不怎麼樣，可卻在幾何方面有著良好的感覺，要是這樣的話，我建議你應和xxx老師好好探討一下。讓他幫你判斷一下看自己是不是可以學習幾何。
除以上三部分同學之外，還有這樣的一部分同學：他們對代數，分析與幾何都不擅長，但卻一直堅信自己在數學上仍能有所作為，並幻想有朝一日成為中國數學界的中流砥柱。如果你屬於這部分同學中的一位的話，我建議你選擇動力系統。動力系統這一學科其實就是專門為這部分同學開設的。
當然即使是動力系統也不是人人都能學的。因為動力系統需要大量的微積分。可總有那麼一部分同學還沒來得及把極限的概念搞清楚就大學畢業了。如果你不巧就是這樣的一位同學，也就是說你大學四年壓根兒就沒學數學，但仍希望自己將來能在數學上一展宏圖的話，我建議你選擇組合數學這一專業。這一專業的特點就是它只用到中學的數學。如果你在中學時參加過數學競賽並獲過獎項的話，這一學科正是你大展身手的地方。
我想大多數同學看到這兒之前已經找到了適合自己的專業了。可若仍有人羞怯的說他在中學時早戀，因此連中學的數學也沒學好，我想告訴這部分同學不要怕。在我們繫有專門為你們開設的一個專業：統計學。這一學科只要求懂得小學數學中的加減乘除四則運算就夠了。更重要的是，選擇這一專業的大多都是女同學。在你準確無誤的把成千上萬個數據加起來並嫻熟的計算出他們的均值時，你也贏得了眾多師姐師妹的芳心：短短三年的研究生生活或許能讓你再次體會一次那如花美眷，似水流年的往事。
最後這一條是專門針對那些悲情人物的。他們連小學的數學也沒學好。不要說把上千個數加起來，就是把兩個數加起來，對他們來說都是件很吃力的事。然而這一切絲毫沒有削弱他們對數學的一片痴情。他們日日夜夜泡在圖書館裡。他們翻閱了所有的數學文獻，卻從未找到一本能讀懂的。但他們仍堅持不懈，為的就是找到一個適合自己的專業。他們的行為感動了上帝。上世紀的某一天，上帝為他們創造了一臺機器幫他們計算。這就是計算機。藉助計算機，他們可以很快的進行加減乘除的運算。這就是計算數學。”
2. 金融數學的觀點
作為與本人研究領域相關的“金融數學”專業，我想用一句話來表達自己的觀點：“金融數學”一詞可以換成“數學金融”，它是“數學物理（含SPDE和SC）”的一個方向。
3. 一句扎心的話
關於大學本科階段的數學，最後一句吃雞的話：覺得數學“沒用”，是因為我們學得太淺；覺得數學“難”，是因為我們太弱。
相關鏈接：“輕信謠言是一種缺乏基本科學素養的表現”
（此文提到“中國近代沒有發展科學”的原因：缺乏科學的邏輯體系與科學的思維方式）
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傷神的
傷人的 太傷心
何必想 何必問
何處是我家
愛也罷 恨也罷
算了吧
問天涯
望斷了天涯
贏得了天下輸了它
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2018.03.03
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