本文是馮克勤教授在 21 世紀來臨之際關於求學的回憶，從小學、中學再到大學、研究生回憶了自己是如何走上學習代數數論之路的，文中講述了和華羅庚先生、王元先生、丁石孫先生等一同研究的經歷，甚至還有 60 年代末在太鋼做工人的故事。
撰文 | 馮克勤
我們已經進入 21 世紀，我們的新中國在 50 多年的風風雨雨中，經歷了諸多的發展和變化。我想以個人的一些經歷來反映這種發展和變化的一個小小的側面，並藉以對指引我熱愛數學，學習代數數論的老師們表達我的一片感激之情。特別對已去世的我最祟敬的老師華羅庚和我的學長 (鍾家慶、曾憲立) 表示深切的懷念。
我出生在河北省一個有 300 戶人家的農村，距天津市 50 華里，現已劃為天津遠郊區。村裡有一所小學，1951 年我上初小的時候，學校只有一位教師，是過去教過私塾的老先生。我們學寫毛筆字，講得是“百家姓”、“三字經”和“千字文”。“百家姓”不但要豎著背，而且還要橫著背：“趙馮朱孔齊……”，背不下來是要打手心的。上高小時學校開始分配來幾位受過短期師範訓練的年輕老師，有了正規的語文、算術、歷史、地理等課程。我還記得當時教我們分數加法運算法則是：分子加分子，分母加分母。這些教員白天教我們，晚上自修一些讀物。農村裡的師生關係是非常親密的。有一天，一位老師對我說：“晚上你也跟我們一起學習吧！”於是我也加入進修的行列，和老師們一起做習題，從高小就培養了喜歡做數學題的習慣。當時小學沒有圖書，只能從老師和鄉親們家裡借一些《水滸傳》《封神榜》《彭公案》來讀。有一年，在天津二中讀書的一位表姐來我家玩，帶來一本《趙樹理選集》，那是我在小學裡讀過的惟一一本現代小說。恰好於 1953 年我去天津三十中學考試時，語文試卷中有一個問題：“你看過趙樹理的小說嗎？”我很高興地寫上“看過趙樹理選集”，至今也不知這樣的答案是否算正確。還記得算術試卷有一道計算題，是兩個相當複雜的式子乘起來。第一個式子算出為 0。於是我把這個式子驗算了一遍，然後寫上最後答案為 0。考完之後，聽別人說另一個更為複雜的式子算出為 566，而且有人最後答案為 566。
來到天津市三十中學上初中，第一次走進大城市，使一個農村孩子大開眼界。我第一次看了電影 (《牧鵝少年馬季》)，甚至還看了蘇聯大馬戲團的表演。有軌電車伴隨著清脆悅耳的鈴聲在街道上來回駛過，衚衕裡不時傳出收音機播放的曲藝和評劇，週末在北寧公園和地道外還能欣賞到民間摔跤表演。學校圖書館裡有看不完的書，崇拜有很多書的老師，也崇拜高年級的籃球和體操運動員。我住在與學校只隔一條街的親戚家裡，晚上在學校上自習。喜歡語文、數學、俄語和物理。不喜歡地理，因為死記硬背的東西太多。喜歡音樂課，但在美術課上，只有一次講達・芬奇透視學引起我的興趣，畫了一張學校主樓被選中拿去展覽，其餘美術作業均不入流。有許多課外活動小組 (足球隊，文學課外閱讀，數學講座等)。按著身高的次序我坐在第一排正中，上課時很容易看到老師的教案，上面寫著這堂課被提問同學的姓名。班裡事先約好，由我用兩隻手作手勢，分別代表被提問同學的橫座標和縱座標。這樣，除了被提問同學一個人倒黴之外，其餘人都可以較早地鬆一口氣。這個辦法受到全班同學的擁護，而且居然一直未被老師發現。初中一年級我因母親去世未能參加期末數學考試。但我平時成績已是 60 分，按學校規定成績及格者不予補考，所以我有一個學期的數學成績是 60 分，而且居然在初中畢業時於 1956 年被保送到天津一中上高中。
天津一中當時是天津著名的男生中學，有一位傑出的校長韋力和一批優秀的老師。學生中間多數為穿著樸素的窮孩子。市外學生全部住校，18 個人的宿舍是由昔日馬棚改建的，學校以體育著稱，高年級有許多一級運動員，我現在還記得他們的百米，八百米和撐竿跳高成績和一些體育明星的名字 (白金申，穆祥雄……)。每年運動會都和天津大學、南開大學和天津師範在一起，儘管每次總成績都是第四名，但也不屑於和其他中學在一起比賽。我們的體育課是在最後時刻由老師帶我們跑出校門，在校外就地解散，由於下一節還有課，我們不得不再跑回學校。每年的運動會對我們是盛大的節日，不但為自己運動員加油和為他們看管衣物，送水送飯，而且還能目睹大學生們的風采。代數老師陳和為班上數學愛好者舉辦了課外小組活動。給我影響最深的是華羅庚《從楊輝三角談起》，段學復《對稱》和姜伯駒的《一筆畫問題》。我還看過嚴濟慈的《數學證題法》(1988 年中國科大校慶三十週年時，我在合肥向參加校慶的嚴老說起我在中學讀過此書，嚴老看了我一眼回答：“連華羅庚也念過這本書！”，嚇得我不敢再說話。)。我們有一段時期熱衷於做《數學通報》上的徵解問題。看到通報的解答者名單中有我們的名字時都興奮不已，(1996 年北京師範大學請我為學生做一次通俗性演講，講演之後我曾向劉紹學和嚴士健等先生建議現在的《數學通報》繼續刊登中學生解答者的姓名，他們說目前有諸多困難。) 高二的一個學期，我曾經每個星期日去天津市圖書館看華羅庚《數論導引》，常常不能吃中飯。高三時，中國科技大學有人來天津一中招生，我從介紹材料中看到華羅庚為學生上課的照片，便毫不猶豫地決定報考科大。1959 年，我成為科大應用數學與電子計算機系的第二屆學生。
當時的科大以及我們國家的教育形勢和氣氛，可以從校長郭沫若作詞呂驥作曲的科大校歌中體現出來：“迎接著永恆的東風，把紅旗高舉起來，插上科學的高峰……”在喜迎國慶十週年的日子裡，我來到天安門前，見到開闊的天安門廣場和宏偉的人民大會堂。進入校門便受到老生的熱情接待，把行李放到宿舍之後便在樓下集合，由指定的班長帶隊去正在施工的教學樓清理地板和擦玻璃。同學來自四面八方，對上海話和福建話感到非常新奇。看到不少同學的穿著比我還要樸素，有些南方同學甚至還打者赤腳走路。我覺得這個學校與天津一中的風格很相近，從第一天起便喜歡上了科大。
當然，使我尤為興奮的，是有如此眾多的著名數學家為我們的老師。華羅庚是系主任，系裡執政人龔升，是我在 1956 年“向科學進軍”時代，從《中國青年》中就得知的傑出年輕數學家。數學系教學方針的制定和執行，有曾肯成、史濟懷、常庚哲、陳希孺等一批骨幹教員。當時科大數學系有三條龍：華龍 (華羅庚)、關龍 (關肇直) 和吳龍 (吳文俊)。我們第二屆學生屬於關龍。關肇直的課大有高屋建瓴之勢：微積分課從“巴拿赫空間”講下來，實數理論則是戴德金分割。在他這種“美聲唱法”之後，輔導老師常庚哲再教我們“通俗唱法”。課下念菲赫金哥爾茨和斯米爾諾夫的書，並且彼此競賽著做吉米多維奇的習題。
我們的下一屆學生是由吳文俊先生主持的幾何專業。我只旁聽過吳先生的代數幾何課，採用 Van der Waerden 的書。他的講課條理清晰，很吸引人。每兩節課都精心組織，像是一篇短篇小說。現在看來，我在大學時幾何學得太少，這對我後來從事研究工作 (尤其是近年來學習算術代數幾何) 造成相當大的困難。有幾次下決心補習李群和微分幾何，但都再也找不到學生時代那種赤誠和執著的心緒。
我在大學的前三年沒有聽過華羅庚的課，但看過他在科大講授的《高等數學引論》講義。他在科學院數學所提倡“練拳”，開闢“練拳園地”，這件事在數學所曾遭到非議。但數學系的領導把這些題目拿來讓我們做。科大許多領導是部隊轉業幹部，他們對我們的教育是要努力讀書，“專”是“紅”的具體體現，將來把他們打下的江山建設好。
在我大學五年期間，政治運動在科大對教育的衝擊相對要小。這五年的學業是我後來工作的主要本錢，使我非常懷念那種不同風格的高手雲集的學習和研究氣氛。20 世紀 70 年代，當我成為科大一名教員時，曾肯成先生對當年科大的情景說過幾句格言，我只記得其中的兩句。一句是“科大是放羊而不是餵豬”，另一句是“龍生龍，鳳生鳳，華羅庚的學生會打洞”。所謂“打洞”就是把方陣相似變換成 Jordan 型 (對角線以外的元素大部分為 0)。30 年之後，常庚哲和史濟懷教授仍在科大數學系教大學基礎課，保持著當年的風格。
三年級快結束的時候，華羅庚在我們年級開設數論與代數專門化。這是我非常喜歡的專業，所以從第四年起轉到“華龍”的行列。教我們數論的是王元和吳方，採用《數論導引》和 Titchmarch 的解析數論書。教近世代數的是萬哲先和曾肯成，採用 Van der Waerden 的書。萬哲先的講課娓娓動聽，板書工整而有條理，他使我第一次受到抽象代數學的薰陶。而曾肯成則是完全不同的風格。他用身體把寫的字擋住，面對黑板自說自畫，當他轉過身來時，寫得字已經被他塗掉了。他經常忘記上課時間，作為課代表我總要去宿舍找他。每次都看到他躺在床上，床頭堆起很高的書，左手舉著一本書，右手拿著一支菸，他對數學諸多領域 (還有數學之外的東西) 有精闢和驚人的見解，使我們十分驚訝。華羅庚和萬哲先講授他們的著作《典型群》，他們的講課與他們的書有同樣的風格，我們在這裡學習到集合在線性群作用下不變量的 Klein 幾何觀點和矩陣技巧。大學最後一年是寫論文時期，吳方老師指導我把陳景潤當時得到的圓內整點餘項估計推廣到橢圓情形，並且帶我去數學所向陳景潤請教，整整一年在圖書館瀏覽數學期刊和雜誌。畢業論文發表在中國科技大學校慶五週年論文集上，這是我的第一篇論文。
大學快畢業時，系領導動員裴定一、陳文德和我報考華羅庚的研究生，我們都服從組織決定。華羅庚 20 世紀 50 年代在數學所培養了一批人才，從事解析數論、代數學和多複變函數論的研究。在他的心目中，這些領域是一個整體。40 年代他在多變量自守函數方面作過世界上開創性的工作，就是把多變量複函數、線性群和數論相融起來，現在稱之為 Siegel 模形式理論。到了 60 年代，他在中國科技大學兼任副校長，重新構思這一宏偉計劃。1962 年在數學所招收了研究生鍾家慶、孫繼廣、曾憲立和陸洪文，前三位學習多複變函數論，與數學所陳志華等人一起學習蘇聯學派蓋裡馮德的自守函數理論，陸洪文則研究四元數體上的數論，1963 年招收了林秀鼎作代數，1964 年招收了徐偉宣、賀祖琪、那吉生 (多複變函數論)、裴定一 (代數)、陳文德和我 (數論)。當時要我念的是德國數學家 Landau 的一本書，講述代數數域上的解析理論。這時，我第一次知道什麼是代數數論。華羅庚在 40 年代在代數數論作過許多經典性工作 (諸如代數數域上指數和的估計和實二次域基本單位的上界估計)，60 年代他和王元把數論用於高維積分的數值計算，採用二次域和分圓域單位構作插值點。在這樣背景之下讓陸洪文和我學習代數數論。他指導我們從已學過的解析數論出發，向代數數論蔓延過去，這種工作方法對包括我在內的許多人都有很大影響。他每一週或兩週把我們叫過去談話，首先檢查上次佈置的任務完成的情況，然後佈置新的任務。每次談話前我都認真準備並且小心謹慎。還值得一提的是他組織一個討論班，念當時剛出版的 Bellman 關於不等式的一本書。各種專業的研究生和老師參加討論，包括統計和概率論的殷湧泉先生。華羅庚在開場白中說：“我所以選此書是因為它寫的不好，一些不等式 (特別是矩陣不等式) 可以改進”。在這種精神的感召下，我曾經在討論班上對一個不等式作了改進，而且在某種意義上達到了最佳結果。後來聽殷湧泉和華的秘書王柱說，華對這個結果相當滿意。
華羅庚在討論班和日常談話中有許多觀點是大家熟知的，例如他把“班門弄斧”反其道而行之，主張“弄斧一定到班門”，即研究工作一定要與大師交手，才會有所提高。他主張讀書要“從薄變厚，再從厚變薄”，並舉例說他花了兩年的功夫念 Weyl 的群表示論書，終於懂了其中的精髓。我們在他的著作《典型域上的調和分析》中看到他是如何把群表示加以消化，用自己獨特的矩陣技巧表達出來。他主張“早發表，晚評價”，這對於當前那種動不動便是國際先進水平的浮躁情緒，無疑是有現實意義的。
很可惜，我的研究生學習只持續有八個月。1965 年被派到鄉下四清，而四清還未結束，史無前例的文化大革命便開始了。1968 年，我被分配到山西太原鋼鐵公司動力廠當外線電工。確切地說就是爬電線杆子和挖電纜溝，太鋼當時是有五萬人的大型企業。裡面的設備從閻錫山時代的手工操作軋機，蘇聯的粗大裝置，一直到西德進口的工業控制機進行轉爐鍊鋼，應有盡有。對知識分子比較尊重，工人的職業教育做得相當出色。我們班組的組長是一位全國勞動模範。但當時山西兩派工人武鬥，不少工廠停工。我們這些分去的大學生和研究生們，上午按時報到，下午便和年青工人一起打球。不久，公司要我去工業控制機編程序，但我的動手能力太差，推辭不幹。後來要我組織一批大學生為冶金部翻譯國外鍊鋼的先進技術，並且負責太鋼圖書館的購書工作。我們花兩年編譯了一套國外鍊鋼先進技術資料。我學習了外語，也順便買了點數學書看，記得有一次軍管會領導發現有一本《群論》，我說這是群眾鍊鋼的理論。
具有不同專長的大學生們有時也聚在一起舉辦講座，北京鋼院和東北工學院的學生向我們這些外行普及冶金知識，中國人民大學文學系畢業的劉慶庫講紅學 (他就是現在著名紅學家劉夢溪先生)。我講過“什麼是幾何”，聽眾中有一位曾是清華大學造反派的小頭目，他聽完我的講演頗有收穫：“幾何就是運動中在一群人作用下各種對象的分類”。
1973 年 5 月，我調回當時已在合肥的中國科技大學，開始了教學生涯，為工農兵學員教微積分。那個時候，中國科學院數學所、北京大學、四川大學和中國科技大學一些從事數論和代數研究和教學的人員為我國通信和國防事業服務，華羅庚、段學復、柯召、萬哲先、曾肯成等先後被有關部門聘為顧問。在 60 年代，隨著數字通信和計算機產業的發展，通信工程有很大變化。數學工具也由傳統的傅里葉分析和數理統計學轉向離散傅里葉變換、組合數學、數論、置換群和有限域。1973 年下半年，曾肯成先生派林秀鼎和我到數學所向萬哲先老師學習代數編碼理論。在編碼討論班裡，我們接觸到：在研究有限域上某些三項多項式的分解特性時需要代數數論工具。萬哲先建議再組織一個代數數論的討論班。我至今還清楚地記得當時他十分動情地說：“你們可以看到漂亮的數學是什麼樣子！”他選定 Weiss 的一本代數數論書 (據他說 Weiss 已轉入密碼研究)，由萬哲先講書的第一章，劉木蘭、戴宗鐸、馮緒寧和我分別講後面各章。參加人員還有王元，北大的聶靈沼、丁石孫、王萼芳等，王元甚至還講述了書中的習題。後來，Lyanaga 的數論書到了國內，書中用群的上同調理論講述代數數論。我們在北大又組織了討論班，參加者擴大到華東師大朱福祖先生，江西大學戴執中先生，川大李德琅和科大陸洪文等人，由聶靈沼和丁石孫編寫講義，講了八次群的上同調理論。這是我第一次聽丁石孫先生講課，他講課語言簡練，但擊中問題的實質與核心。1977 年中國科技大學在黃山舉辦了一次代數編碼會議。爬山時我們一路上聽丁先生的高談闊論，不知不覺便到達黃山頂峰。下山後在科大停留一天，科大數學系和物理系的二十多名北大畢業的教員看望丁石孫先生，陶懋頎一進門便大叫一聲丁老師，然後是一個九十度的鞠躬。事後丁先生高興地對我們說：“你們知道這是為什麼嗎？這就是多年教基礎課的緣故！”
在 20 世紀 70 年代，華羅庚和王元繼續進行高維積分數值計算和研究。他們考慮對高維情形用分圓域的分圓單位構作插值點，這需要尋找分圓單位的極大獨立組。早在 19 世紀中期，庫默爾在研究費馬猜想時對特殊的分圓域給出了一個極大獨立分圓單位組。但是在 19 世紀末，希爾伯特認為庫默爾的分圓單位組對一般的分圓域可能不是獨立的。華羅庚讓裴定一研究這個問題，裴定一做了大量計算，發現對於“多數”分圓域，庫默爾分圓單位組都不是獨立的，而且決定出該單位組獨立的全部分圓域，裴定一去東北遷戶口的時侯 (他在文革時被分配到大慶油田作採油工)，華讓我繼續研究此問題，我給了裴定一結果的一個純代數處理方式。華羅庚本人則構作了新的分圓單位組，它對於任意分圓域都是獨立的。但不久，美國數學評論雜誌的數論專集到了中國，裴定一從中查出早在 1965 年 Ramachandra 就構作出了華羅庚那個單位系。所以華就叫裴定一和我把我們研究的那部分發表在 1980 年的數學學報。這是我在華羅庚指導下發表的惟一的論文。我就是這樣又重新走上學習代數數論之路。
1979 年至 1981 年，我們乘改革開放之風，去歐美作訪問學者，學習西方代數數論。華羅庚老師為我寫推薦信時嚴厲地囑咐我：“在美國好好學習，不要到處宣揚是我的學生！”我在美國的兩年一直記著這些話。這段經歷不必細述，只想說一件事，就是我們這些不到四十歲的青年人，絕大多數都從未想過留在國外，希望儘快地回來報效祖國。近二十年來，中國的代數數論得到發展，但與國際水準仍有不小的差距。我已年近六十，把希望寄託在現在的年輕人身上。在這些年裡，我也從代數界其他老前輩的身上學到不少東西，曹錫華先生曾邀我去華東師範大學為研究生講類域論，他全程地坐在下面認真聽講，課後一起和學生打排球，還陪我騎自行車去虹口公園。周伯壎、曹錫華和劉紹學教授對學生的一片熱心，鼓勵和支持年青人向新的領域衝擊，並且有效地學習外成果，都一直是我的楷模。
我很慶幸自己選擇了代數數論領域和教師的職業，因為我是充滿慈愛和溫暖的集體中的一員。我願意讓現在的年青人分享我年青時代的美好回憶。我再次對教育過我的小學、中學和大學時代的所有老師表示深切的謝意。我也決心在今後的工作中努力盡我的本分。
本文原載於《新世紀代數學》(張繼平主編，北京大學出版社，2002 年)，也可見《代數數論入門》(馮克勤著，哈爾濱工業大學出版社，2015 年) 附錄 C。
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