當幾何問題中出現了兩條具有公共端點且不在一直線上的相等線段時，無論它們是在條件中出現還是在結論中出現，就應萌發應用等腰三角形的基本圖形進行證明的意識。然後就應將這兩條具有公共端點的相等線段組成等腰三角形，如果圖形中尚未出底邊的，就應將底邊添上。接下來就應應用等腰三角形中兩條邊相等和相對應的兩個角相等之間的等價關係，將要證明的結論轉化為要證明它的等價性質，或者由條件直接推得它的等價性質成立。若圖形中出現了等腰三角形頂角的外角時，則應將兩內角之間的相等關係轉化為等價的外角與不相鄰的內角之間的倍半關係來進行證明。
例1如圖 3-1，已知：△ABC中，AB=AC，E是AC上的一點，D是BA的延長線上的一點且AD=AE，求證：DE⊥BC。
圖3-1
分析：本題要證明的結論是DE⊥BC，這是證明兩條線段垂直的問題，根據垂線的定義它們應相交成90°角，而現在它們尚未相交，所以應將它們延長到相交，也就是延長DE交BC於F（如圖3-2），問題就成為要證∠DFB（或∠EFC）=90°。由於∠DFB可以看作是△DFB的一個內角，所以要證明這個角是直角，也就是要證明這個三角形中另外兩個角的和等於90°，也即要證∠D+∠B=90°。
圖3-2
由條件中出現AB=AC是兩條具有公共端點的相等線段，所以它們可組成一個等腰三角形，從而可應用等腰三角形的基本圖形的性質進行證明。又因為B、A、D成一直線，出現了這等腰三角形的頂角的外角，所以可得∠DAE=2∠B。又因為條件中還出現AD=AE，也是兩條具有公共端點的相等線段，它們也可以組成等腰△ADE，而由D、A、B成一直線，又可得∠BAC=2∠D。而∠DAE+∠BAC=180°，所以∠D+∠B=90°就可以證明。
例2 如圖3-3，已知：AB是⊙O的弦，延長AB到C，使BC=BO，直線CO交⊙O於D、E。求證：弧AB=3×弧BD。
圖3-3
分析：本題要證明的結論是兩條弧之間的倍數關係，或者講是兩條弧之間的一種數量關係。在幾何問題的分析中，對於弧之間的數量關係的基本的處理方法就是轉化成為與圓有關的角之間的數量關係來進行討論。
由於在圖形中對於弧BD來說，它所對的圓心角∠BOD已經出現，所以對弧AE來說也需要用它所對的圓心角，但這個圓心角現在圖形中尚未出現，所以根據圓心角的定義，可聯結OA（如圖3-4），則∠AOE就是弧AE所對的圓心角，那麼問題即可轉化為要證∠AOE=3∠BOD。
圖3-4
由條件BC=BO，這是兩條具有公共端點B的相等線段，它們可以組成一個等腰三角形，所以就可應用等腰三角形的基本圖形的性質進行證明。根據條件C、B、A成一直線，這就出現了∠ABO是等腰△BCO的頂角的外角，從而就有∠ABO=2∠BOD=2∠C。又因為OA和OB是同圓的兩條半徑，當然相等，所以它們也是兩條具有公共端點的相等線段，也就可以組成等腰三角形，應用等腰三角形這個基本圖形的性質又可以得∠A=∠ABO。
由於條件中還給出C、O、E成一直線，這樣結論中出現的∠AOE就可以看作是△OAC的一個外角，從而有∠AOE=∠A+∠C=2∠BOD+∠BOD，分析就可以完成。
閱讀更多 上海莘越 的文章
