據說劍橋某位物理學家有一次恭維愛因斯坦說：“你站在了牛頓的肩上”，愛因斯坦卻回答：不，我是站在麥克斯韋的肩上！愛因斯坦的回答十分中肯，也確切地表達了他的物理思路和興趣所在都是跟蹤麥克斯韋的足跡。
愛因斯坦的主要成就——兩個相對論中，狹義相對論顯然是為了解決麥克斯韋電磁理論與經典力學的矛盾才得以建立的，而廣義相對論則是前面思想之延續。從愛因斯坦在1905年發表的另一篇關於布朗運動的文章，可以看出他也熱衷於麥克斯韋曾經致力研究過的分子運動理論。
（詹姆斯·克拉克·麥克斯韋。圖片來自網絡）
麥克斯韋雖然只活了48歲，但對物理學作了劃時代的貢獻，在建立了著名的經典電磁理論之後，從1865年開始，麥克斯韋將研究方向轉向了熱力學。當年的麥克斯韋注意到克勞修斯在分子運動論上的開創性工作，並且對數學界高斯等建立的概率理論極感興趣，因此將概率和統計方法應用於熱力學，企圖從分子的微觀運動機制來闡述熱力學的宏觀規律。麥克斯韋以分子之間的彈性碰撞為基本出發點，旗開得勝，首先得到了十分重要的麥克斯韋速度分佈律：
圖4-6-1：麥克斯韋分佈
如今，我們使用現代統計物理的知識，有多種方法推導出麥克斯韋分佈。比如說，根據熵增原理，忽略量子效應，加上概率歸一化以及系統平均能量與溫度有關這兩個約束條件，不難得出系統中分子的運動將符合麥克斯韋分佈。此外，波爾茲曼當年將這個規律推廣到存在勢能的情形，而被後人稱之為麥克斯韋-波爾茲曼分佈，加之麥克斯韋對電磁理論的巨大貢獻，使人們忽略了他在統計物理中也起了不可泯滅的先鋒作用。
麥克斯韋早年研究氣體動力學理論，支持“氣體的絕對溫度是粒子動能的測量”的觀點，但認為在一定溫度T下，所有分子的動能並不是一個單一固定的數值，而是符合統計分佈的規律，即如圖4-6-1左所示的分佈曲線。雖然任何單個粒子的速度都因為與其它粒子的碰撞而不斷變化。然而，對大量粒子來說，處於一個特定的速度範圍的粒子所佔的比例卻幾乎不變，麥克斯韋分佈便描述了系統處於平衡態時的分佈情況。系統的溫度越高，曲線（和頂峰）越往右邊速度高的區域移動，最大值降低，但分佈曲線下面所包括的面積不變（=1），以符合所有概率之和為1的要求。
麥克斯韋分佈與熱力學第二定律相符合，假設你將溫度不等的兩個系統相接觸，通過碰撞，快速移動的分子將能量傳遞給緩慢移動的分子，最後達到溫度在兩者之間的新平衡態。
1865年，熱力學奠基人之一克勞修斯把熵增原理應用於無限宇宙中而提出“熱寂說”，麥克斯韋從概率統計的角度認真思考這個假說，意識到大自然中必然有適合於如宇宙這種“開放系統”的某種機制，使得系統在某些條件下，貌似“違反了”熱力學第二定律。但當時的麥克斯韋對此問題似乎還說不出個所以然，於是便詼諧地設想了一種假想的“小妖精”，即著名的“麥克斯韋妖” （Maxwell's demon）。麥克斯韋假想這種智能小生物能探測並控制單個分子的運動，如圖4-6-2的左圖所示，小妖精掌握和控制著高溫系統和低溫系統之間的分子通道。
圖4-6-2：麥克斯韋妖
當年麥克斯韋的假想“妖”利用了分子運動速度的統計分佈性質。根據麥克斯韋分佈，即使是低溫區，也有不少高速分子，高溫的系統中也有低速度的分子，如果真有一個能夠控制分子運動的小妖精，在兩系統的中間設置一個門，只允許快分子從低溫往高溫運動，慢分子則從高溫往低溫運動，在“小妖”的這種管理方式下，兩邊的溫差會逐漸加大，高溫區的溫度會越來越高，低溫區的溫度越來越低。小妖精造成的溫度差是否可以用來對外做功呢？這個想法有點像是第二類“永動機”的翻版。
由於上述原因，有人認為麥克斯韋妖是現代非平衡態統計中耗散理論的雛形，也許可以對麥克斯韋妖作如此高標準的詮釋，但並不見得是麥克斯韋當年假想這個妖精時的初衷。歷史地看，麥克斯韋在1867年第一次提出麥克斯韋妖時說：“這證明第二定律只具有統計的確定性”，此言表明麥克斯韋是想借此來說明熵增加原理是系統的統計規律。麥克斯韋認為，第二定律描述的不是單個分子的運動行為，而是大量分子表現的統計規律。對統計規律而言，熱量只能從溫度高的流向溫度低的，但是就個別分子而言，溫度低的區域的快分子完全可能自發地跑向溫度高的區域。
這個小妖精困惑物理學家將近150年，一直不停地有學者進行研究。
有一個不是廣為大眾知曉的匈牙利猶太人：利奧·希拉德（Leó Szilárd，1898年－1964年），便是研究者之一。希拉德實際上是一個頗有創意的物理學家和發明家，他在1933年構思核連鎖反應，促成了原子彈研發的成功，並與恩里科·費米共同獲得了核反應堆的專利。此外，他還構思了電子顯微鏡以及粒子加速器等等。但因為他的這些構思並沒有在科學期刊上發表，因此這些“諾獎級別”的貢獻最後都歸入了他人的名下。希拉德研究熱力學小妖精，於1929年根據與麥克斯韋類似的想法，不管麥克斯韋當年的“統計”初衷，構造了一個只管理“一個”分子的簡化妖精系統。
圖4-6-3：西拉德的單分子引擎
如圖4-6-3所示，希拉德在他的博士論文設想的思想實驗中，讓麥克斯韋妖操控一個單分子熱機。小妖精通過測量，瞭解分子所處的位置是在左側還是右側。如果結果是左側，則在系統的左邊通過一根細繩連接一個重物，單個分子氣體經歷一個等溫過程，通過從環境吸熱而膨脹，並提升重物做功；如果結果是右側，則將重物懸掛於系統的右邊而得到功。
不考慮小妖精的測量過程，這個模型像是一個違背第二定律的永動機，使得熵減少的永動機當然是不可能的，希拉德認為問題就正是出在“測量”上。小妖精進行測量的目的是為了獲得信息，即在每次完成循環回覆系統原狀的過程中至少需要獲得二進制中一個比特的信息。信息的獲取需要付出代價，就是使得周邊環境的熵增加。因此，系統“熱熵”（kBT*log2）的減少是來自於小妖精測量過程中“信息熵”（log2）的增加。系統總熵值因而也增加，熱力學第二定律仍然成立。
難能可貴的是，希拉德通過對單分子引擎（二元系統）的分析，第一次認識到“信息熵”、“二進制”等概念。回頭追溯歷史，香農於1948年才提出信息論，而希拉德的工作卻是在1929年完成的，顯然他已經有了許多模糊的想法。是希拉德第一次認識到信息的物理本質，將信息與能量消耗聯繫起來。
1961年，美國IBM的物理學家羅夫·蘭道爾（Rolf Landauer，1927年-1999年）提出並證明了蘭道爾原理，即計算機在刪除信息的過程中會對環境釋放出極少的熱量。從“熵”的角度看待這個問題，一個隨機二元變量的熵是1比特，具有固定數值時的熵為0，消除信息的結果使得這個2元系統的熵從0增加到1比特，必然有電能轉換成了熱能被釋放到環境中，這也是我們的電腦不斷髮熱的原因，該熱量的數值與環境溫度成正比，刪除信息的過程中電能轉變成熱能是不可逆的熱力學過程，因而計算機通過計算而散發熱量的過程也是不可逆的。
不過，蘭道爾又進一步設想：是否可以通過改進電路或算法來減少信息刪除從而減少熱量的釋放呢？由此他提出了“可逆計算”的概念，並和他在IBM的同事貝內特一起進行研究。所謂可逆計算，就是通過恢復和重新利用丟失數據的能量來儘量減少計算機的能耗，貝內特（Bennett，1943年-）是量子計算與量子信息領域的計算機專家，他展示瞭如何通過可逆計算來避免消耗能量，並在1981年發表的論文中表明，不耗散能量的“麥克斯韋妖”不存在，並且，這種耗散是發生在“妖”對上一個判斷“記憶”的消除過程中，“遺忘”需要以消耗能量為代價，這個過程是邏輯不可逆的。
歷經150年的“麥克斯韋妖”妖風不斷，理論物理學家們用這個思想實驗深入思考熱力學的統計意義，實驗物理學家利用現代的高超實驗技術在實驗室裡研究它。
第一個對此作實驗研究的是奧斯丁德州大學的Mark Raizen小組，他們使用激光將原子密閉於磁性陷阱中，原子受到的平均勢場，即所謂光學勢，充當麥克斯韋妖的角色，以控制原子的移動方向，對冷原子和熱原子進行排序。2012年，德國奧格斯堡大學的魯茲（Eric Lutz）和他的同事，用實驗驗證蘭道爾的信息擦除原理，根據實驗結果得出信息的消除具體需要多少能量，證明了蘭道爾的理論確實是正確的。
（摘自《從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率》，作者：張天蓉）
閱讀更多 原點閱讀 的文章
