一線三等角"是一個常見的相似模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.通俗地講，一條直線上有三個相等的角一般就會存在相似的三角形.不同地區對此有不同的稱呼，"K形圖"，"三垂直"，"弦圖"等，以下統稱為"一線三等角"模型。
"一線三等角"模型，在三角形全等判定與全等三角形性質、三角形相似判定與相似三角形性質、線段相等、四邊形等幾何問題中常有應用.我們將從模型介紹與典型例證這兩個方面學習"一線三等角"模型。
模型透視
經典考題
1．（2018•遵義中考題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形摺疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），摺痕為EF，若DG＝2，BG＝6，則BE的長為______．
【解析】根據摺疊的性質得到一線三等角模型。
2．如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰CD以D為中心逆時針旋轉90°至ED，連AE、CE，則△ADE的面積是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能確定
【解析】如圖作輔助線，利用旋轉和三角形全等證明△DNE與△DMC全等，再根據全等三角形對應邊相等可得ED的長，即△ADE的高，然後得出三角形的面積．
3．（2019•宜昌中考題）如圖，平面直角座標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B的對應點B'的座標是（ ）
A．（﹣1，2+√3） B．（﹣√3，3） C．（﹣√3，2+√√3） D．（﹣3，√3）
【解析】如圖，作B′N⊥x軸於N, BM⊥x軸於M．構造三垂直模型。
4．（2019•河池中考題）如圖，在平面直角座標系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB繞點A順時針旋轉90°而得，則AC所在直線的解析式是______．
【解析】：∵A（2，0），B（0，1）∴OA＝2，OB＝1.過點C作CD⊥x軸於點D，
則易知△ACD≌△BAO（AAS）.
∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2，∴C（3，2）.
設直線AC的解析式為y＝kx+b，將點A，點C座標代入得，可求得直線AC的解析式為y＝2x﹣4．
變式題.如圖3，在平面直角座標系xOy中，點A的座標為（﹣1，﹣4），點B為平面內一點．若△AOB是以OA為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點B的座標．
【解答】分兩種情況：
①過A作AC⊥y軸於D，過B作BE⊥x軸於E，DA與EB相交於C，如圖3所示：則∠C＝90°，
∵點A的座標為（﹣1，﹣4），
∴AD＝1，OD＝CE＝4，
∵∠OBO＝90°，
∴∠OBE+∠ABC＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠OBE，
易證△ABC≌△BOE（AAS），
∴AC＝BE，BC＝OE，
設OE＝x，則BC＝OE＝CD＝x，
∴AC＝BE＝x+1，
∴CE＝BE+BC＝x+1+x＝OD＝4，
∴x＝3/2，x+1＝5/2，
∴點B的座標（3/2，5/2）；
②如圖4，同理可得，點B的座標（﹣5/2，﹣3/2），
綜上所述，點B的座標為（3/2，5/2）或（﹣5/2，﹣3/2）．
5．（2019•十堰中考題）如圖，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，連接BF，DE．若△AEF繞點A旋轉，當∠ABF最大時，S△ADE＝______．
【解析】分析知△AEF繞點A旋轉時，點F在以A為圓心，4為半徑的圓上，當BF為此圓的切線時，∠ABF最大.
6．（2019•無錫）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4√5，D為邊AB上一動點（B點除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為______．
【解析】本題考查了正方形，熟練運用正方形的性質與全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
7．（2019•瀋陽中考題）如圖，正方形ABCD的對角線AC上有一點E，且CE＝4AE，點F在DC的延長線上，連接EF，過點E作EG⊥EF，交CB的延長線於點G，連接GF並延長，交AC的延長線於點P，若AB＝5，CF＝2，則線段EP的長是_______．
【解析】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬於中考填空題中的壓軸題．
8．（2017•麗水中考題）如圖，在平面直角座標系xOy中，直線y＝﹣x+m分別交x軸，y軸於A，B兩點，已知點C（2，0）．
（1）當直線AB經過點C時，點O到直線AB的距離是_______；
（2）設點P為線段OB的中點，連結PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，則m的值是_______．
【解析】：（1）當直線AB經過點C時，點A與點C重合，
當x＝2時，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，
所以直線AB的解析式為y＝﹣x+2，則B（0，2）．
∴OB＝OA＝2，AB＝2√2．
設點O到直線AB的距離為d，
由S△OAB＝1/2OA2＝1/2AB•d，得4＝2√2d，則d＝√2．
故答案是：√2．
（2）典型的"一線三等角"，構造相似三角形△PCD∽△APB，對m的取值分析進行討論，在m＜0時，點A在x軸的負半軸，而此時，∠APC＞∠OBA＝45°，不合題意；故m＞0．由相似比求得邊的相應關係．
作OD＝OC＝2，連接CD．則∠PDC＝45°，如圖，
由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA＝OB，
則∠OBA＝∠OAB＝45°．
當m＜0時，∠APC＞∠OBA＝45°，
所以，此時∠CPA＞45°，故不合題意．所以m＞0．
因為∠CPA＝∠ABO＝45°，
所以∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，
即∠OPC＝∠BAP，則△PCD∽△APB，
9．這是一道我們曾經探究過的問題：如圖1．等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA．直線ED經過點C，過A作AD⊥ED於點D，過B作BE⊥ED於點E．易證得△BEC≌△CDA．（無需證明），我們將這個模型稱為"一線三等角"或者叫"K形圖"．接下來，我們就利用這個模型來解決一些問題：
【模型應用】
（1）直線AB：y＝1/2x+1與x軸負半軸、y軸正半軸分別交於A、B兩點．分別以OB、AB為邊，點B為直角頂點在第一、二象限內作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸於P點，如圖2，△EPB的面積是否確定？若確定，請求出具體的值；若不確定，請說明理由．
（2）如圖3，直線AB：y＝﹣x﹣c分別與x、y軸交於A（3，0）、B兩點，P為A點右側x軸上的一動點，以P為直角頂點，BP為腰在第一象限內作等腰直角△BPQ，連接QA並延長交y軸於點K，當P點運動時，求經過K點且平行於直線AB的直線的函數表達式．
【拓展延伸】
（3）已知直線l1：y＝3/4x+3與座標軸交於點A、B．將直線l1繞點A逆時針旋轉45°至直線l2．如圖4，直線l2在x軸上方的圖象上是否存在一點Q，使得△QAB的面積與△OAB的面積相等？若存在，求出Q的座標；不存在，說明理由．
【解析】：（1）直線AB：y＝1/2x+1與x軸負半軸、y軸正半軸分別交於A、B兩點．∴A（﹣2，0），B（0，1），
過E點作EH⊥y軸，由"K形圖"可得△ABO≌△BEH，
∴BH＝OA＝2，HE＝OB＝1，
∵△OBF是等腰直角三角形，
∴OB＝OF＝1，
∴易證△EHP≌△FBP（AAS）
∴PH＝PB＝1，
（2）由直線AB：y＝﹣x﹣c分別與x、y軸交於A（3，0）、B兩點，可得c＝3，OB＝3，過Q點作QH⊥x軸，設點P（x，0），由"K形圖"，可得△OBP≌△HPQ；
∴OP＝HQ＝x，PH＝OB＝3，
∴HA＝3+（x﹣3）＝x，即HA＝HQ
∴OK＝3，即K（0，3）
∴過K點且平行於直線AB的直線的函數表達式為y＝﹣x﹣3．
（3）過B點作BE⊥AB交l2於C，過C點作CH⊥y軸，
直線l1：y＝3/4x+3與座標軸交於點A（﹣4，0）、B（0，3）．
由"K形圖"，得△AOB≌△BHC，
∴BH＝OA＝4，CH＝OB＝3，
∴C的座標為（﹣3，7）
故過AC兩點的直線l2的解析式為：y＝7x+28，
設Q點座標為（﹣n，﹣7n+28），
反思總結
關於"一線三等角"模型的幾點說明
"一線三等角"在以正方形、矩形、等腰三角形、等腰梯形為背景的體現很明顯，希望可以通過這一題組加以理解，學會靈活運用，解決問題。面對一個個數學問題,若能尋找並建立起它的基本模型,尋找出本質，複雜圖形只是在原有簡單圖形上"添磚加瓦"，層層遞進。需要我們把握住這個問題的本質所在,深層挖掘題目所涉及基本思想。
1、"一線三等角"是幾何問題中的常見模型，它主要用於導角轉換、線段轉換與構造全等三角形與相似三角形.
2、導角轉換主要基於三角形內角和為180度或平角，利用等式性質實現角度轉換.學生在平時解題過程中，要善於總結歸納"一線三等角"基本圖形，多關注"一線三等角"模型的提煉、變式與運用.
3、"一線三等角"模型應用的三種情況：（1）圖形中已經存在"一線三等角"，直接應用模型解題；（2）圖形中存在"一線二等角"，補上"一等角"構造模型解題；（3）圖形中只有直線上一個角，補上"二等角"構造模型解題.最後一種情況出現比較多，尤其是壓軸題中，經常會有一個特殊角或已知該角的三角函數值時，我經常構造"一線三等角"模型來解題.
4、構造"一線三等角"的步驟：找角、定線、構相似.在直角座標系中，也可以在x軸或y軸（也可以是平行於x軸或y軸的直線）上構造"一線三等角"模型去求解線段與角度問題.在直角座標系中，要講究"線"的特殊性.如下圖，線上有一特殊角45度，就考慮構造同側型"一線三等角".當然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角導線段的關係，過C、D兩點作直線l的垂線是必不可少的.兩條垂線通常情況下是為了"量化"的需要.如控制AM=CM，BN=DN，可得∠2=∠3=∠1=45°.
一般情況下，如下圖，若∠APB=，構造"一線三等角"相似模型如下圖所示：
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