田治彬
如圖所示，實數範圍內圖中曲線上的點都滿足xy=x+y。
visan47442551
回答：存在！分析如下。
設，這兩個數是 x 和 y，則有：
x + y = xy
而 其中 x ≠ 1，因為 假如 x = 1 ，則 1 + y = 1y ⇒ 1 = 0 矛盾。
於是就有了：
y = x/(x - 1) = 1 + 1/(x-1)= 1 + (x-1)⁻¹ ①
顯然，函數 y = 1 + (x-1)⁻¹ 是將 冪函數 y = x ⁻¹（雙曲線） 向右移動 1 個單位，再向上移動一個單位的 結果：
在，綠色曲線上的所有點，都是問題的解。例如：
x = 3, y = 3/2;
x = 1/2, y = -1;
x = e + 1, y = 1 + e⁻¹
...
以上，是在實數域範圍內，得到的答案。
將數的範圍擴大到 複數域。令，x = u+ vi 帶入 ① 得到：
y = 1 + 1/(u + vi -1) = 1 + (u - 1 - vi) / ((u - 1)² + v²) = 1 + (u - 1)/((u - 1)² + v²) - vi/((u - 1)² + v²)
若令 y = f(x) = s(u, v) + t(u, v)i，則有：
s(u, v) = 1 + (u - 1)/((u - 1)² + v²)；
t(u, v) = -v/((u - 1)² + v²)；
顯然 複變函數 y = f(x) 在兩個 複平面之間，確定的映射對，都是問題的解。例如：
x = 1 + i, y = 1 - i;
x = 1 - i, y = 1 + i ;
...
有理數域範圍內，問題的答案 和 實數域類似（略）。
將 問題範圍 縮小到 整數環範圍內。這相當於 求解 不定方程：
x + y = xy ②
顯然，x = y = 0 是 ② 的一個解。
當 x, y ≠ 0 時，方程變形為：
y = x(y - 1)
因 x, y 都是整數，所有 y - 1 也是整數，於是上式說明：
(y-1) | y
即，y-1 整除 y，而 y-1 和 y 中必然有一個 是偶數，另一個是奇數，而 我們知道 偶奇 之間必然是互素的，即，(y-1, y) = 1，於是 使得 (y-1) | y 成立，y-1 只能是單位元 ±1，即， y-1 = ±1，解得：
y = 2 或 0
其中 0 不滿足 y ≠ 0 的條件，捨棄。將 y = 2 帶入 ② 有：
x + 2 = 2x ⇒ x = 2
於是，最終得到 ② 的另外一個解：
x = y = 2；
最後，即便是將問題範圍縮小到 自然數（不管是否包括 0），我們依然有 x = y = 2 這個滿足問題要求的答案存在。
(補充：2019/11/15)
看到這麼多人關心這個問題，小石頭再囉嗦囉嗦。
廣義實數系：
在 實數域 上加入 +∞ 和 -∞ 以及相關運算（設 a 為任意實數）：
-∞ < a < +∞
-(±∞) = ∓∞
(±∞) + a = a + (±∞) = ±∞
(±∞) + (±∞) = ±∞
a/(±∞) = 0
b·(±∞) = (±∞)·b = ±∞ (0< b ≤+∞); 0 (b = 0); ∓∞ (-∞≤ b < 0);
稱為 廣義實數系。
注意：
1. 廣義實數系不是域；
2. 如 (±∞) - (±∞)、(±∞) /(±∞) ... 這樣的運算無定義；
將問題從實數域擴展到廣義實數系下，實數域上的得到的結論依然有效，但 還需要 考慮 ±∞ 的情況。
根據上面的運算法則，當 x = ±∞ 時，只要 y > 0，皆滿足：
x + y = ±∞ = xy
反過來，x > 0，y = ±∞ 同樣成立。
四元數體：
複數元素構成的，形如，
的 2 階方陣 稱為 （哈密爾頓）四元數，全體 四元數 在 矩陣的 加法 和 乘法下 構成 四元數體，單位矩陣就是其中的么元，記為：
令：
則 任意四元素 x 可以表示為：
x = a1 + bI + cJ + dK
其中 a, b, c, d 均為實數，為方便一般將 a1 簡寫為 a。
類似於 虛單位 i 的性質，四元數單位 I，J，K 具有如下性質：
I² = J² = K² = -1，
IJ = -JI = K，JK = -KJ = I，KI = - IK = J
注意：四元數是對複數的擴展，任意複數 a + bi 就是 四元數 a + bI。
將問題從複數域擴展到四元數體，由於四元數體 是 複數域的擴展，於是 上面複數域得到的結論 在四元數體中同樣成立，接下來討論一般的四元數。
需要注意，複數域（以及，實數域、有理數域，整數環、自然數、廣義實數）具有 加法和乘法交換律，而四元數體 只具有加法交換律，不具有乘法交換律。或者，準確的說是有些四元數滿足交換律，例如： 類複數，(a + bK)(c + dK) = (ac - bd) + (ad + cb)K = (c + dK)(a + bK)，有些不滿足，例如：IJ = K ≠ -K = JI。因此，我們需要考察 x + y = xy 和 x + y = yx 是否有區別：
由 x + y = xy 有，
y(x-1) = x
等式兩邊同時 右乘以 (x-1) 的逆陣 (x-1)⁻¹，有：
y(x-1)(x-1)⁻¹ = x(x-1)⁻¹
進而得到：
y = x(x-1)⁻¹ ③
另一方面，x + y = yx 等價於：
x = yx - y
將 ③ 帶入等式右邊有：
yx - y = x(x-1)⁻¹x - x(x-1)⁻¹ = x(x-1)⁻¹(x - 1)⁻¹ = x
剛好等於 左邊。
這說明 滿足 x + y = xy 的解也滿足 x + y = yx。同理，可證明 x + y = yx 的解 也滿足 x + y = xy，進而 證明了 x + y = yx 和 x + y = xy 等價。這就說明 ① 在四元數體下 依然有效。另外，由 yx = x + y = xy 知，滿足 x + y = yx 的 四元數對 必然滿足 乘法交換律。
對於任意四元數 x = a + bI + cJ + dK (x ≠ 1) ，將其帶入 ① 有：
y = 1 + 1/(a - 1 + bI + cJ + dK)
也就是說，對於任意非 1 元素 x = a + bI + cJ + dK ，都有 y = 1 + 1/(a - 1 + bI + cJ + dK) 滿足 問題要求。例如：
x = 1 + J, y = 1 + 1/(1 + J - 1) = 1 + 1/J = 1 + J/J² = 1 + J/(-1) = 1 - J；
x = 1 + I + J， y = 1 + 1/(1 + I + J - 1) = 1 + 1/(I + J) = 1 + (I + J)/(I + J)² = 1 + (I + J)/(I² + IJ + JI + J²) = 1 + (I + J)/((-1) + K + (-K) + (-1)) = 1 + (I + J)/(-2) = 1 - (I + J)/2；
x = 1 - (I + J)/2， y = 1 + 1/(1 - (I + J)/2 - 1) = 1 + (-2) · 1/(I + J) = 1 + (-2) · (-(I + J)/2) = 1 + I + J;
...
可以驗證：
(1 + J)+ (1 - J) = 2 = (1+J)(1 - J)
(1 + I + J) + (1 - (I + J)/2) = (1 + I + J)/2 = (1 + I + J)(1 - (I + J)/2) = (1 - (I + J)/2)(1 + I + J)
到這裡，大家有沒有發現，以上各種情況下問題的解總滿足對稱性，即，如果 x = a, y = b 是問題的解，則 x = b, y = a 也一定是。例如：
x = 1 + i, y = 1 - i 和 x = 1 - i, y = 1 + i ；
x = 3, y = 3/2 和 x = 3/2, y = 3；
x = 1 + I + J 和 y = 1 - (I + J)/2;
為什麼呢？
因為對於滿足問題任意數：
x = x' ≠ 1，y = 1 + 1/(x' - 1)
都有：
x = 1 + 1/(x' - 1)，y = 1 + 1/(x - 1) = 1 + 1/(1 + 1/(x' - 1) - 1) = 1 + 1/(1/(x' - 1)) = 1 + (x' - 1) = x'
在實數域下繪製成圖更清楚：
最後，請大家思考：如果將問題在中的 “數” 再擴展為 向量，矩陣，多項式，甚至是 函數，張量，那麼又有什麼結論呢？我想答案一定更加精彩！
思考思考的動物
x+y=xy
答案無限多1.5+3；1.25+5；1.2+6………
小吃磚家
書到用時方恨少，大神們列了一大堆方程算式，其實答案就在手指上，在筷頭上，2+2=4，2x2=4。
做到老，學到老，還有三分沒學到。
水平低的小學生別灰心，因為答不出來不是沒學過，是經驗不足。
水平高的數學老師，大學高才生答不出來，也別洩氣，是因為你們把問題想複雜了。
智者千慮必有一失，這個小問題呀並不能說明什麼，不就是2嗎？老二，誰原做呢？
曾憲全110401818
你這題目太簡單。不好玩，我出一道題：
一個牧羊人趕著一群羊要經過9個關卡，他來到第一個關卡，他把自己的羊分一半給守關人，才得以過關，守關人看他這麼好於是還一隻羊給他。然後牧羊人趕著剩下的羊去了第二關，也是這樣，把自己的羊群分一半出去，他又還一隻回來。一直到最後一個關卡都是這樣做。最後，牧羊人剩下2只羊。問，牧羊人原來有多少隻羊？
知天命513652050
這樣的數是無窮對！設數對x,y滿足
x+y=xy，既(x-1)(y-1)=1，故只要x-1與y-1滿足互為倒數關係的x，y數對都是滿足要求的。
例如4和4/3，5和5/4……
科普軍
x+y=xy
看圖吧，全是滿足的
Ace阿木羅羅
在實數範圍內，ab=a+b→ab-a=b→a(b-1)=b→①a=b/(b-1)。
同理，→②b=a/(a-1)。從①②看出，a≠1、b≠1。
兩個式子實質一樣，只研究一個即可，比如看②，
在a≠1範圍內任意對a取值，都能計算出對應的b，這一對兒a、b就能滿足題設。
比如我任意取個整數a=100，算出b=100/99，驗算一下：100+100/99=100×(1+1/99)=100×(99/99+1/99)=
100×100/99。得證。
比如我再任意取個小數a=1.8，可算出b=1.8/(1.8-1)=1.8/0.8=2.25，a+b=1.8+2.25=4.05，ab=1.8×2.25=4.05。。。也符合題設。
比如我再取個無理數a=π，可計算出b=π/(π-1)，驗算：a+b=π+π/(π-1)=π(1+1/(π-1))=π((π-1)+1)/(π-1)
=π×π/(π-1)，驗算正確。
其實沒必要列舉。
結論：
只要兩實數都不是“1”，
並且滿足b=a/(a-1)，
就符合題設“兩數之和等於兩數之積”
這樣的數，多少對兒?∝，就是俗話說的無數。
感覺好膩害
是否存在這樣的兩個數：它們的積與它們的和相等？
這麼簡單的題目，看回答竟然是五花八門，你們是來欺負老漢是文科生的嗎？
得了，再當一次中學生，好好的做一次作業。
設：這兩個數分別為X和Y，那麼由題意可得
XY=X+Y
那麼看圖，看圖，看圖
原式可推出：
⑴X=Y/(Y-1)
⑵Y=X/(X-1)
分母不能為0，所以X和Y都不能等於1 。
所以，這題目只要X和Y都不等於1的情況下，隨便取個數代入原式（或推導出來的這兩個小等式，都一樣的），都可以得到一對正確的數字。答案有無窮多對。
比如X=0的時候，Y也等於0； X=2的時候，Y也等於2；X=3的時候，Y=1.5；當然負數也是可以的，X= -1的時候，Y=1/2；X= -2的時候， Y=2/3.............
出棋不意
小學數學老師出的題，我們費勁九牛二虎之力，算出來兩個，2+2＝2*2/0+0＝0*0。後來上了高中又解出來了兩個1.5+3＝1.5*3/1.25+5＝1.25*5。其實這樣的數挺多的，但是忘記公式了。
