自古希臘始，數學作為理性科學的核心逐漸被人們重視。經歷3000年理性的發展之後，得益於一些重大基礎數學問題的突破，人類探索和發明的數學知識漸漸轉化為生產力，終將自身帶入了信息文明的時代。
儘管如此，一些懸而未決的數學問題歷經千年仍頑固地為自身保守著秘密。每一個問題的解決，也許就意味著找到一座隱匿著未知真理的巨大寶藏。
比如數學中最古老的未解之謎——孿生素數猜想，就是由古希臘著名數學家歐幾里得（Euclid）提出，距今已近2300年。關於該問題最重大的突破由華人數學家張益唐於2013年獨自完成。
圖1 古希臘數學家歐幾里得（圖片來源：維基百科）
圖2 華人數學家張益唐（1955-，圖片來源：aol.com）
另一個類似的例子則是聲名卓著的費馬（Fermat）大定理，其證明經過後世358年的接力賽才被英國數學家懷爾斯（Wiles）破譯。這些重大的理論成就，都為數學開闢了一片新的天地。從長遠的角度來說，任何數學最終都會成為應用數學，從而服務於人們的生產生活。隨著現代數學的蓬勃發展，湧現出越來越多的重大問題函待解決。
圖3 費馬與費馬大定理（1601-1665，圖片來源：slideshare.net）
1900年，作為當時世界數學領域的領袖人物，德國大數學家希爾伯特（Hilbert）提出了雄心勃勃的23個數學問題，其高瞻遠矚的目光在很大程度上為整個20世紀的數學發展繪製了宏偉的藍圖。
圖4 德國數學家希爾伯特（1862-1943，圖片來源：維基百科）
一個世紀過後，所有的希爾伯特問題除了一個問題之外都已經得到完全或者部分解決。與此同時，美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）也發起了一場深具歷史意義的挑戰：公開向世界徵求七大數學難題的解答。七大難題的提出旨在為21世紀數學的研究制定議程，宛如黑暗中的燈塔指引著數學家邁向未來。解決任意一個七大數學難題的人，都將獲得100萬美元的獎金。
這些問題涉及到純粹數學和應用數學中大多數最艱深和迷人的領域：從拓撲學和數論到粒子物理學、密碼學、計算理論甚至到飛機設計。鑑於七大難題的提出時間在跨世紀之交，因此它們也被稱為千年難題（Millennium Problems）。
圖5 千年難題的封面（圖片來源：claymath.org）
作為七大數學難題的倡導者之一，因解決費馬大定理而名噪一時的英國數學家懷爾斯（Wiles）指出：希爾伯特試圖用他的問題引導數學的發展，而當代的數學家則試圖記載那些最重大的懸而未決的難題。這些難題未必能囊括所有的數學研究，但是它們十分精確地指出了當今數學的前沿走向。
圖6 英國數學家懷爾斯（1953-，圖片來源：維基百科）
七大難題就是21世紀數學宇宙裡的七根擎天巨柱，支撐著現代數學的廣袤空間。每一根巨柱都已經成長為一座高峰，讓無數後來人歎為觀止。七大難題位於數學之巔，它們或許比地球上任何的高峰都難以征服，攀登這些巔峰的艱難險阻依然被深深地籠罩在茫茫的迷霧之中。這些數學領域的珠穆朗瑪峰，也代表著人類智力活動的巔峰，激勵著一代又一代最傑出的數學家投身其中。他們揮灑著生命和熱情去勇敢地攀登和征服這些最巍峨的高山，以期獲得解鎖人類未來文明的密碼。
那麼，七大千年難題有著怎樣動人的故事呢？
千年之謎（一）黎曼猜想
這是1900年希爾伯特提出的23個唯一未被解決的問題，也是數學中最重大的未解決的難題。
1859年，德國數學家黎曼（Riemann）在提交給柏林科學院的論文中提出一個猜想，試圖完全回答數學中最古老的問題之一：素數在自然數中的的分佈規律。早在公元前350年，歐幾里得（Euclid）已經證明了素數的個數有無窮多，但是對其分佈的規律卻一無所知。黎曼猜想則對這種分佈規律提出了確定的模式。
圖7 德國數學家黎曼（1826-1866，圖片來源：維基百科）
這一猜想的解決很可能打開一扇宏偉的大門，將數學和物理以前所未有的形式連接在一起，從而有可能讓當代文明受益於2000年來數論研究的傑出成就。在此之前，數論一直作為最純粹的數學工具而與現實世界深度隔離。
千年之謎（二）楊-米爾斯（Yang-Mills）理論和質量缺口假設
1954年，物理學家楊振寧和米爾斯提出了一個方程，旨在使用非阿貝爾李群描述基本粒子的行為。楊-米爾斯理論被譽為20世紀下半葉最重要的理論物理成就，是現代規範場理論的基礎。經過對稱性自發破缺與漸進自由的觀念，該理論逐漸發展成今天的標準模型。
圖8 楊振寧（1922-）和Robert Mills（1927-1999）（圖片來源：learner.org）
由楊米爾斯方程發展的標準模型準確地預言了在世界各地實驗室中觀察到的事實，其應用已經深入在物理學的其他分支中，諸如統計物理、凝聚態物理和非線性系統等等。從實踐的角度來說，楊米爾斯方程已經獲得巨大成功，但是其相應的數學理論還沒有建立起來，特別是在數學上需要確定的“質量缺口假設”。該假設提供了電子為什麼有質量的一種解釋。
質量缺口假設的完全解決將提供嚴格的理論證明，同時也讓物理學家受益。此前物理學家只能觀察到電子有質量，卻無法解釋電子的質量從何而來。
千年之謎（三）P和NP問題
計算機領域誕生了兩個影響人類文明進程的大問題。第一個就是希爾伯特提出的第十問題：是否存在一種機械的算法來判定丟番圖（Diophantus）方程的可解性。英國數學家圖靈（Turing）正是基於對該問題的思考而建立了圖靈機，成為彪炳史冊的現代計算機之父。
圖9 圖靈（1912-1954）和他設計的機器（圖片來源：ilovemanchester.com）
另一個問題就是P和NP問題。此問題的核心是研究計算機解決問題的效率。計算機科學家把計算問題分成兩類：這裡的P指多項式時間（Polynomial），一個複雜問題如果能在多項式時間內解決，那麼它便被稱為P問題，這意味著計算機可以在有限時間內完成計算；NP指非確定性多項式時間（Nondeterministic Polynomial）。一個複雜問題不能確定在多項式時間內解決，假如NP問題能找到算法使其在多項式時間內解決，也就是證得了P=NP。
然而，現代絕大多數在工業和商業中的大型計算任務都是NP問題。對該問題的肯定解答將對工業和商業乃至互聯網產生極為深遠的影響。
千年之謎（四）納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations）
從酷夏的炙熱到凜冬的冰冷，人們日復一日地經歷著瞬息萬變的天氣。準確的天氣預報為人們的出行提供了極大的便利。每一次湖面的泛舟都有起伏不定的波浪追隨，每一次雲層上的飛行亦有舒緩湍急的氣流相伴。數學家和物理學家都深信，無論是天氣預報還是大浪湍流，都可以通過納維-斯托克斯方程的解來刻畫和解釋。
19世紀中葉，法國科學家納維和英國物理學家斯托克斯提出了描述流體和氣體運動行為的方程。該方程揭示了一般分子運動的基本規律，因此對物質運動提供了最深刻和可靠的理解。跟隨現代文明的腳步，它逐漸在天氣預報、大氣海洋、石油勘探、電氣工程、水利工程、機械製造、國防軍工（諸如核彈模擬）、飛機設計、航空動力學、航天工程、行星運動等前沿科技與工業製造中發揮著核心的作用。
圖10 法國科學家納維（左，1785-1836）和英國物理學家斯托克斯（右，1819-1903）（圖片來源：維基百科）
破譯納維-斯托克斯方程解的密碼，無疑將在科技和實踐層面帶來翻天覆地的突破，提升整個現代文明的等級。
千年之謎（五）龐加萊猜想（Poincare）
19世紀末，法國大數學家龐加萊（Poincare）提出了一個數學領域的簡單問題：怎樣才能把一個蘋果和一個甜甜圈區分開來？
該問題位於數學中最迷人的領域之一——拓撲學，它以深刻而基本的方式展現了物質形體之間的關聯。龐加萊猜想的完全解決將幫助人們完全瞭解物質的空間幾何結構的存在形式。這一問題的徹底解決，將對半導體等電子器件的設計和製造、萬維網的設計、交通運輸規劃、動畫設計甚至對大腦神經元的結構都將有革命性的認識。
拓撲學不僅在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程和其他許多數學分支中都有廣泛的應用，也對物理學產生重大的推動作用。2016年，三位物理學家因為發現物質拓撲相和在拓撲相變理論上的突出貢獻而分享了諾貝爾獎。
圖11 戴維·索利斯、鄧肯·霍爾丹、邁克爾·科斯特利茨分享2016年諾貝爾物理學獎（圖片來源：chinadaily.com.cn）
鑑於其重大的理論和工業影響力，龐加萊猜想順理成章地成為拓撲學的聖盃。令人欣慰的是，該猜想最終由俄羅斯的天才數學家佩雷爾曼（Perelman）在2004年完全解決。這也是迄今為止唯一被破譯的千年之謎。
圖12 佩雷爾曼（1966-）和龐加萊（1854-1912）（圖片來源：funnyjunk.com）
千年之謎（六）伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dye）
公元3世紀，古希臘亞歷山大城的數學家丟番圖開始研究一類係數為整數的不定方程的解。尋找此類丟番圖方程的整數解開啟了代數學上最為輝煌的一個分支。比如著名的費馬大定理就是無數丟番圖方程的一個極其簡單的特例。
對於更加複雜的方程，要了解方程解的信息變得極為困難。伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想提供了關於某些困難情況下的解的信息。
圖13 英國數學家伯奇（右，1931-）和斯溫納頓-戴爾（左，1927-）（圖片來源：claymath.org）
和黎曼猜想一樣，對這一問題的解答將增加我們對素數的全面理解，從而有可能找到上帝用自然數創世的密碼。
千年之謎（七）霍奇猜想（Hodge）
20世紀上半葉，數學家發現了研究複雜對象形狀的有力方法。其基本的想法就是把維數逐漸增加的簡單幾何砌塊粘合在一起，從而逼近一個給定對象的形狀。這種想法的核心問題就在於逼近物體的程度。
圖14 英國數學家霍奇（1903-1975，圖片來源：claymath.org）
基於不同逼近方式的分類，數學家發明了許多有力的工具，它們在實踐中被證明極富成效，但是卻缺乏這個過程的幾何源頭。霍奇猜想斷言，對這些對象中的一類重要對象（射影代數簇），即被稱為霍奇閉鏈的部件均是幾何部件（代數閉鏈）的組合。用通俗的語言來說或，霍奇猜想表明：任何一座精美宏偉的宮殿，都可以由一堆積木壘成。
最新的研究則表明，霍奇猜想與廣義相對論、量子糾纏和龐加萊猜想在更深的層次上有可能融為一體。對它的深刻認知，有助於瞭解宇宙中最深邃奇妙的物質構成。
昔日，希爾伯特以一己之力提出23個問題，締造了20世紀數學的輝煌。我們也有理由相信，百年之後的七大難題，會再一次成為21世紀數學星空下的擎天七柱，幫助人類文明抵達深遠璀璨的未來。
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