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選自 Fahd Alhazmi's Blog

機器之心編譯

參與：魔王、杜偉

本文將對標準差這一概念提供直觀的視覺解釋。

本文作者為紐約市立大學在讀博士生 Fahd Alhazmi，專注於神經科學、人工智能和人類行為研究。

統計學中最核心的概念之一是：標準差及其與其他統計量（如方差和均值）之間的關係。入門課程中老師常告訴學生「記住公式就行」，但這並非解釋概念的最佳方式。本文將對標準差這一概念提供直觀的視覺解釋。

假設你有一個成績單，在本案例中這即是現實測量（real-world measurements）。我們想將這些測量中的信息「壓縮」為一組量，以便後續對比不同班級的成績或不同年份的成績等。鑑於認知能力有限，我們不想挨個查看分數，來找出平均分更高的班級。這時就需要總結數字，描述統計學就派上用場了。

總結數字的方式有兩種：量化其相似性或差異（difference）。

量化數字的相似性即「集中趨勢量數」（measures of central tendency），包括平均數、中位數和眾數；
量化數字的差異即「差異量數」（measures of variability），包括方差和標準差。

標準差揭示一組數字中彼此之間的差異，以及數字與平均值之間的差異。

舉例而言，假設你收集了一些學生分數（出於簡潔性考慮，我們假設這些分數是總體）。

我們首先在簡單的散點圖中繪製這些數字：

繪製完成後，計算差異的第一步是找出這些數字的中心，即平均值。

視覺上，我們可以繪製一條線來表示平均分數。

接下來我們要計算每個點和平均值之間的距離，並對得到的數值求平方。記住，我們的目標是計算數字之間的差異，以及數字與平均值之間的差異。我們可以用數學或視圖的方式完成該操作：

從上圖中我們可以看到，「求平方」只不過是畫了一個方框而已。這裡有兩點需要注意：我們無法計算所有差異的總和。因為一些差異是正值，一些是負值，求和會使正負抵消得到 0。為此，我們對差異取平方（稍後我會解釋為什麼取平方而不是其他運算，如取絕對值）。

現在，我們來計算差異平方的總和（即平方和）：

通過計算平方和，我們高效計算出這些分數的總變異（即差異）。理解變異（variability）與差異（difference）之間的關係是理解多個統計估計和推斷檢驗的關鍵。上圖中平方和 67.5 表示，如果我們將所有方框堆在一個巨大的正方形中，則大正方形的面積等於 67.5 points^2，points 指分數的單位。任意測量集的總變異都是正方形的面積。

方差

現在我們得到了總變異（即大正方形的面積），但我們真正想要的是平均變異（mean variability）。要想求得平均變異，我們只需要用總面積除以方框的數量：

出於實用目的考慮，你或許想除以 N−1，而不是 N，這樣你就可以嘗試基於一個樣本而不是總體來估計平均變異。但是，這裡假設我們已經具備總體（total population）。重點在於，你想計算所有小方框的均方值。這就是「方差」，即平均變異，或者差異平方的平均值（mean squared difference）。

標準差

我們為什麼不用方差來表示分數的差異呢？唯一的問題是，我們無法對比方差和原始分數，因為方差是「平方」值，即它是面積而非長度。其單位是 points^2，與原始分數的單位 points 不同。那麼如何甩掉平方呢？開平方根啊！