伽羅瓦理論到底有多偉大？千年數學難題直接淪為簡單推論

一元二次方程的解法是我們再熟悉不過的數學知識，但一元三次方程的解法似乎並不廣為人知，而瞭解四次方程解法的就更少了。當然，解三次和四次方程都是有判斷法則和求根公式的，這和二次方程是類似的。那麼一個自然的問題是次數高於四次的一般代數方程有沒有求根公式呢？也就是能不能利用係數把解表示出來呢？

對於十六世紀的代數學而言，解三次和四次方程就是最大的難題，這一問題最終由意大利數學家塔爾塔利亞和卡爾達諾所解決。他們解四次方程的思想是通過變量替換獲得一個三次方程，通過解這個三次方程就能獲得原四次方程的解，於是很多數學家都想通過模仿這一方法來獲得高次方程的根式解。歐拉，高斯，拉格朗日這樣當時最偉大的數學家都做過嘗試，但最終都失敗了。拉格朗日甚至發表了長篇大論，詳細分析了三四次方程的解法，指出這種方法不可能適用於高次方程，最後拉格朗日驚歎：“高次方程的根式解是不可能解決的數學問題之一，這是在向人類的智慧挑戰！”

在拉格朗日之後，意大利數學家魯菲尼開始猜測高次方程沒有根式解，但他終其一生也沒能取得突破，只是得到了猜測：

如果方程有根式解，那麼這一根式必定是方程的根和單位根的有理多項式。

阿貝爾

第一個真正取得突破的數學家是來自挪威的年輕人阿貝爾（1802~1829），他發展了拉格朗日關於“根的置換”的數學思想，並且提出了“域”和“不可約多項式”的概念。利用自己的理論，阿貝爾修正了魯菲尼的猜測，並最終嚴格證明了：

如果一個方程有根式解，則這個表達式中的每一個根式都是方程的根和某些單位根的有理函數。

利用這個重要的結論，阿貝爾最終證明了高於四次的一般方程沒有根式解！不僅如此，阿貝爾還成功構造出了任意次數的代數可解的特殊方程，但他還是遺留了一個問題，那就是如何判斷一個給定的方程是否根式可解，例如

高斯曾經證明過方程X^p－1=0有根式解，其中p為素數。但天妒英才，阿貝爾在僅僅27歲之時，便因貧困交加而抱憾離世。

伽羅瓦與伽羅瓦理論

所幸的是，在阿貝爾之後，法國天才數學家伽羅瓦（1811~1832）繼承了他的思想，並進一步發展了相關理論，特別地，伽羅瓦深入研究了置換群論，徹底弄清了方程與根之間的關係，並最終形成了如今強大的

伽羅瓦理論。伽羅瓦的工作是在拉格朗日、高斯和阿貝爾等前輩的啟發下完成的，他創造性地引入了置換群、子群和正規子群等群論的概念，這些概念已經成為代數學中最重要和最基本的東西。

伽羅瓦利用置換群來描述方程根之間的對稱性，這樣的群后來被稱作“伽羅瓦群”，進而他得到了判斷方程是否根式可解的基本定理：

一個方程根式可解的充要條件為：方程的伽羅瓦群為可解群。

特別地，高於四次的方程不可根式解這一結論成為了伽羅瓦理論的直接推論。這是因為n次方程的n個根組成的置換群是對稱群Sn，這個對稱群的極大正規子群是交錯群An, 但當n>4時，An是非交換的單群，因而其不是可解群，進而Sn不是可解群，故最終得到高次方程不可根式解的結論。至此，伽羅瓦徹底解決了這一幾百年懸而未決的數學難題。在此之前，阿貝爾已經得到了這一結論，不過由於他沒有太多群的概念，儘管創造性地使用了“域”，但還是致使證明非常冗雜而難以推廣，這也是為什麼阿貝爾無法對對一般方程根式可解性進行判斷的原因所在。

以如今的眼光來看，“群論”無疑是解決這一問題的靈魂，而伽羅瓦就是這一理論的締造者和開拓者。“群”的概念實際上在拉格朗日時代就有了，但拉格朗日絕對沒有意識到方程根的“群”會和方程本身產生如此深刻的聯繫。伽羅瓦的天才之處正在於，他通過群的思想來細緻描述域的特徵，也就是建立了伽羅瓦群的子群與擴域的中間域之間的一一對應，從而把問題完全轉化成為了群的理論。如今，群論的思想早已滲透到了各種各樣的學科之中，成為了強大的數學工具。

更令人瞠目結舌當是，完成這一壯舉時伽羅瓦還不到22 歲！這完全是亙古未有的數學奇蹟。伽羅瓦這樣的絕頂數學天才在整個人類歷史上也是屈指可數的，但非常可惜的是，伽羅瓦和阿貝爾一樣英年早逝 ，在22 歲的時候，伽羅瓦因捲入一場決鬥而喪命，在此前一晚，他奮筆疾書，這才致使他偉大的思想不至於永遠埋沒。

伽羅瓦手稿 。 那麼有沒有求取高次方程的更好的方法呢。 由高次方程簡次。 下面以X=2時為例，通過簡次以後是個什麼樣子。 （1）。2X2=4。4X2=8。8=2^3=2X2^2。當X=2時。2X^2=8。這樣，就可以把2^3=8。簡次為方程2X^2一8=0。 （2）。4X2=8。8X2=16。16=2^4=4^2。這樣，就可以把2^4=8。簡次為方程。X=4。X^2一16=0。 （3）。2X16=32。32=2^5=4^2X2。這樣，就可以把2^5=32，簡次為方程。X=4。2X^2一32=0 。（4）。2X32=64。64=2^6=8^2。這樣就可以把2^6=64。簡次為方程X=8。X^2一64=0 根椐以上所列。就可以列出當X=2時的一個簡次方程。即： X^6十x^5十X^4十X^3十X^2一124=0。可以列為：X^6。8^2十X^5。2X^4。十X^4。X^2十X^3。2X^2十X^2一124=0。這樣解起就容易多了。這就是說，任意一個數的高次方，都可以化成另一個數的低次方或他的係數X的低次數而列出他的二次方的方程式。