在數學的天地裡，重要的不是我們知道什麼，而是我們怎麼知道什麼。——畢達哥拉斯
儘管古代希臘的數學起源晚於美索不達米亞和古埃及，儘管泰勒斯可謂古代希臘第一位數學家，但真正意義上把數學作為一個學科研究是始於畢達哥拉斯，他也被譽為“數學之父”。
羅素《西方哲學史》：“數學，在證明式的演繹推論的意義上的數學，是從他開始的；而且數學在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結合在一起的。自從他那時以來，而且一部分是由於他的緣故，數學對於哲學的影響一直都是既深刻而又不幸的。”
一、畢達哥拉斯生平
畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年—約公元前497年）出生於米利都附近的薩摩斯島（Samos Island）的一個貴族家庭，自幼聰明好學，尤其對幾何學、自然科學以及哲學非常感興趣。
1955年希臘郵票：薩摩斯古地圖
九歲時畢達哥拉斯被富商父親送到提爾（古代腓尼基人的城市，今屬黎巴嫩），在閃族敘利亞學者那裡學習並接觸了東方的宗教和文化。後來，他在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那裡學習了詩歌和音樂。
公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都成為泰勒斯的學生。學了一段時期之後就到處遊歷，包括埃及、巴比倫和印度，並可能在那裡學到一些數學和神秘主義的教條。
畢達哥拉斯在49歲時返回家鄉薩摩斯，創辦哲學學校。他認為婦女也和男人一樣有求知的權利，允許她們來聽講。
公元前520年左右，因為政治原因，畢達哥拉斯離開薩摩斯，移居西西里島，後來定居在克羅託內（Crotone，今屬意大利南部）。在那裡他廣收門徒，建立了一個宗教、科學和哲學性質的秘密社團——畢達哥拉斯學派。
這個社團裡有男有女，一切財產公有。每個學員都要在學術上達到一定的水平，加入組織還要經歷一系列神秘的儀式，以求達到“心靈的淨化”。他們要接受長期的訓練和考核，遵守很多的規範和戒律（最出名的是禁食豆子），並且宣誓永不洩露學派的秘密和學說。畢達哥拉斯自稱是神的兒子，可以在死後不斷轉世，他的門徒尊他為聖人。
據信畢達哥拉斯學派的人參與政治活動，與貴族黨派結盟，因此被民主黨派驅逐。畢達哥拉斯被迫移居梅塔蓬圖姆（Metapontum，今意大利南部塔蘭託Taranto），並於公元前497年被害於此。
他的門人散居到希臘其它學術中心，繼續進行數學、哲學研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續繁榮了兩個世紀之久。
二、畢達哥拉斯學派的數學貢獻
1、創立純數學
畢達哥拉斯將數視為心智想象出的東西，這是數學研究對象抽象化的開端，是對數學的重大影響之一。畢達哥拉斯認為，研究數學的目的並不在於使用而是為了探索自然的奧秘，對幾何形式和數字關係的沉思能達到精神上的解脫。
畢達哥拉斯率先對純數學與應用數學作了區分，其中純數學包括算術與幾何，研究心智想象出的東西；應用數學包括音樂和天文，研究感官探知到的東西。歐德摩斯（Eudemus）說，畢達哥拉斯創立了純數學，把它變成一門高尚的藝術。
2、萬物皆數
在畢達哥拉斯學派看來，數為宇宙提供了一個概念模型，數量和形狀決定一切自然物體的形式，數不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數，才有幾何學上的點，有了點才有線、面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構成萬物，所以數在物之先。自然界的一切現象和規律都是由數決定的，都必須服從“數的和諧”，即服從數的關係。
他們賦予數字不同的含義和神秘主義的宗教色彩：
“1”是數的第一原則，萬物之母，也是智慧；
“2”是對立和否定的原則，是意見；
“3”是萬物的形體和形式；
“4”是正義，是宇宙創造者的象徵；
“5”是奇數和偶數，雄性與雌性和結合，也是婚姻；
“6”是神的生命，是靈魂；
“7”是機會；
“8”是和諧，也是愛情和友誼；
“9”是理性和強大；
“10”包容了一切數目，是完滿和美好。
後世學者曾對算術、幾何、音樂、天文四大領域在畢達哥拉斯學說中的地位作過有趣的概括：算術是數的本身，幾何是空間中的數，音樂是時間上的數，天文是時空裡的數。
畢達哥拉斯學派徽標：聖十(Tetractys)
3、 數論研究
畢達哥拉斯對數論作了許多研究，將自然數區分為奇數、偶數、素數、三角形數、正方形數（平方數）、多角數、完全數和親和數等。
1，3，6，10這些數叫三角形數，因為相應的點子能排列成正三角形（上圖）。第四個三角形數10特別使畢達哥拉斯學派神往，因為代表完滿和美好。並且這個三角形的每邊有4點，而4代表正義。他們認識到1，1+2，1+2+3等這些和數都是三角形數，並且知道：1+2+...+n=n（n+1）/2。
1，4，9，16這些數他們稱之為正方形數（下圖），因為用點表示時可以排成正方形。合數中凡不恰好是正方形數的，叫做長方形數。相鄰兩個三角數之和是正方形數，即：
n（n+1）/2+（n+1）（n+2）/2=（n+1）²
畢達哥拉斯學派再用下圖所示方案從一個正方形數得出下一個正方形數，即：
n²+（2n+1）=（n+1）²
也意味著：1+3+5+...+（2n-1）=n² 。
畢達哥拉斯學派還研究多角數，如五邊形數、六邊形數和其它多邊形數。從下圖可知，第n個五邊形數是（3n²-n）/2，第n個六邊形數是2n²-n。
若一數等於它的所有因數（包括1但不包括自身）之和，則稱之為完全數，如6，28和496。數本身大於其因數之和的叫盈數，小於其因數之和的叫虧數。
【注】直到1952年人們才發現12個完全數。歐幾里德的《原本》第九卷的最後一個命題是，證明：如果2^n-1是一個質數，則2^(n-1)·(2^n-1)是一個完全數。由這個公式所給出的完全數都是偶數。後來大數學家歐拉證明了每一個偶完全數必定是這種形式的。人們自然會問，是否還有其他的完全數？即有沒有奇完全數？但至今還沒有人能夠回答這個問題。
若有兩數彼此等於另一數的因子之和，則稱這兩數為親和數。
【注】220與284是畢達哥拉斯最早發現的一對親和數，同時也是最小的一對親和數。1636年，法國數學家費馬發現了第二對親和數，它們是17962與18416。兩年後笛卡兒找出了第三對親和數9437056和9363584。瑞士的大數學家歐拉曾系統地去尋找親和數，1747年他一下子找出了30對，3年後他又把親和數增加到了60對。令人驚奇的是，除去220與284之外最小的一對親和數1184與1210竟然被這些數學大師們漏掉了。它被一個16歲的意大利男孩帕加尼尼在1886年發現。至今，已經知道的親和數已有1000對以上。
畢達哥拉斯學派還研究了質數、遞進數列，以及他們認為美的一些比和比例關係。一般認為，畢達哥拉斯學派是西方研究和聲（五度相生律）的始祖。他們發現絃樂發出的聲音取決於弦長，而兩根長度成整數比的同質料繃緊的弦會發出諧音。例如，他們知道截取一根弦的2/3可以得到一個五度音，截取同一根弦的一半可得到一個八度音，由此得到一個 “和諧比例”（Harmonic proportion），因為1:1/2 = (1-2/3):(2/3-1/2)。調和級數的名稱也由此研究而來。
畢達哥拉斯學派認為由太陽、月亮、星辰的軌道和地球的距離之比，分別等於三種協和的音程，即八度音、五度音、四度音。
4、畢達哥拉斯定理
該定理早已為巴比倫人所知（在中國叫勾股定理，由周朝商高提出），不過最早的證明歸功於畢達哥拉斯。他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。滿足該定理的三個整數叫三元組數。
【故事】相傳畢達哥拉斯應邀到朋友家做客，被地面上的正方形大理石吸引，醉心思考大理石彼此間產生的數的關係。他在4塊大理石拼成的大正方上，以每塊大理石的對角線為邊，畫出一個新的正方形，發現這個正方形的面積正好等於2塊大理石的面積；他又以2塊大理石組成的矩形對角線為邊，畫成一個更大的正方形，而這個正方形正好等於5塊大理石的面積。畢達哥拉斯定理由此證明。為了慶賀，畢達哥拉斯宰了一百頭牛，所以也叫百牛定理。
畢達哥拉斯定理是歐氏幾何的基礎定理，被譽為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。它是歷史上第一個把幾何與代數聯繫起來的定理，也是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，並引出了費馬大定理。畢達哥拉斯定理的證明是論證幾何的發端，目前有超過500種證明方法。
5、無理數的發現
畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯（Hippasus）發現：邊長為1的正方形其對角線長度√2既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數（無理數Irrational number，不可公度比）來表示。這直接否定了畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比（可公度比，即有理數rational number）。就因這一發現希帕索斯被扔進海里淹死了。
無理數的誕生，並引發了第一次數學危機。直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的
第一次大危機。
【注】有理數和無理數的區別並非是否“有道理”，而是能否表示為整數比。rational的詞根是ratio，即比率的意思。
歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證明無理數的經典方法（歸謬法，即反證法）：
證明: √2是無理數
假設√2不是無理數
∴√2是有理數
令√2 =p/q（p、q互質且q≠0）
兩邊平方得2=p²/q²
通過移項，得到：2q²=p²
∴p²必為偶數
∴p必為偶數
令p=2m
則p²=4m²
∴2q²=4m²
化簡得q²=2m²
∴q²必為偶數
∴q必為偶數
綜上，p和q都是偶數
∴p、q互質，且p、q為偶數（）
矛盾原假設不成立
∴√2為無理數
6、其它幾何學貢獻
- 三角形內角之和等於兩個直角
- 黃金分割
- 正五角形和相似多邊形的作法
- 平面可被等邊三角形、正方形和正六邊形填滿
- 證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體
7、開創演繹邏輯
畢達哥拉斯堅持數學論證必須從“假設”出發，從已知的事物開始演繹、推斷，得出新的理論。這種演繹推理的方法對後來西方哲學和科學的發展起到了很大的影響。
畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一......簡單地說來，可以把他描寫成是一種愛因斯坦與艾地夫人（十九世紀美國基督教科學會的創辦人）的結合。——羅素
下一講埃利亞學派與芝諾悖論。
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