學者的墨水比殉教者的血水更為神聖。——伊斯蘭先知穆罕默德
一、阿拉伯人
迄今為止，阿拉伯人在數學上的作用是給予亞歷山大文明最後一擊。但又在保存古希臘羅馬文化、並將其重新介紹給西歐方面，起到了至關重要的作用。
他們在開始征戰各地以前是住在現今阿拉伯半島的遊牧民族。他們在穆罕默德的鼓舞下行動和統一起來，並在他死後（632年）不到半個世紀內征服了從印度到西班牙的大片土地，包括北部非洲和南意大利。755年，阿拉伯帝國分裂為兩個獨立王國，東部王國以巴格達（Baghdad）為首都，西部王國以西班牙的科爾多瓦（Cordova）為首都。
征戰完成之後這批早先的遊牧者就定居下來創造他們的文明與文化了。他們相當快地關心起藝術和科學。東西方的兩個首都都吸引科學家並支持他們的工作，而巴格達是較大的文化中心；他們在那裡設立了一個學院、一個圖書館和一個天文觀察臺。
巴格達古城復原圖
阿拉伯人延請印度科學家住到巴格達。當查士丁尼於529年封閉柏拉圖的學院時，許多希臘學者跑到波斯，使希臘學術於1個世紀後也成為阿拉伯世界的一部分文化。阿拉伯人也同獨立的拜占庭（東羅馬）帝國的希臘人建立了聯繫；事實上阿拉伯回教君王也從拜占庭收買過希臘手稿。埃及被阿拉伯人征服後，留存在那裡的學術成為阿拉伯帝國學術的一部分。敘利亞學派所在地安蒂奧克（Antioch）、依米撒（Emesa）、大馬士革，以及基督教景教派所在地以得撒（Edessa，自640年亞歷山大城被毀後近東收藏希臘著作的主要地方），甚至於藏有這些著作的近東修道院都歸阿拉伯人統治。於是阿拉伯人就能控制或取得拜占庭帝國、埃及、敘利亞、波斯以及往東遠及印度諸國的人才和文化。
我們說到阿拉伯數學，主要因為這些著作的文字是阿拉伯文。但大多數學者卻是希臘人、波斯人、猶太人和基督徒。不過阿拉伯人值得讚揚之處是在其充滿宗教狂熱的征服期之後，他們對別的種族和教派是寬大的，並容許異教徒自由活動。比利時歷史學家亨利·皮朗在《穆罕默德與查理曼》一書中寫道：“（阿拉伯的對外征服）並不是要求所有人都皈依伊斯蘭教，而只是要求人們必須對安拉表示臣服而已。征服之後，這些穆斯林都把異教徒的科學和藝術作為他們戰利品中最為寶貴的財富。他們將這些科學、藝術與安拉的榮耀連接起來。只要感到對自己有利，他們甚至還廣泛採用那些不信奉伊斯蘭教者的各種制度法規。”
從根本上說，阿拉伯人的學術是直接來自希臘手稿或敘利亞與希伯來文譯本的。他們在800年左右從拜占庭獲得一部歐幾里得《幾何原本》抄件並把它譯成阿拉伯文。托勒密的《數學彙編》是在827年譯成阿拉伯文的，以後成了他們一本重要的幾乎是神聖的書；這書以後稱為《至大論》，意即最大的著作。他們又譯出了托勒密的《四書》，使這本占星術的著作在他們那裡流行一時。在不多的時間內，亞里士多德、阿波羅尼斯、阿基米德、海倫、丟番圖和印度人的著作都有了阿拉伯文譯本。阿拉伯人其後又改進譯文並加以評註。後來傳給歐洲的就是這些譯本（有的至今仍存），而希臘原著則已失傳。阿拉伯文明直到1300年還充滿活力，它的學術傳播四方。
二、阿拉伯的算術和代數
當阿拉伯人還是遊牧民族時，他們有稱呼數的文字但無記號。他們採用並改進了印度的數字記號和進位記法。在天文上仿效托勒密用60進位制的分數。
阿拉伯人也像印度人那樣隨便使用無理數。事實上，海亞姆（Omar Khayyam，1048？—1122）和納西爾丁（Nasîr-Eddin，1201—1274）明確地說，不管是可公度的或不可公度的量之比都可稱之為數，這種說法牛頓1707年在他的《普遍的算術Universal Arithmetic》一書中仍感到有必要加以重申。
在算術上阿拉伯人倒退了一步。他們雖然通過印度人的著作熟悉負數以及負數的運算，但他們擯棄了負數。
在代數方面阿拉伯人的第一個貢獻是提供了這門學科的名稱。西文algebra這個字來源於830年天文學者阿爾花拉子米（Mohammed ibn Musa al-Khowârizmî，約825年）所著的一本書《Hisab al-jabr wa'l-muqabalah》。al-jabr的原意是“復原”，指在方程的一邊去掉一項就必須在另一邊加上這一項使之恢復平衡。wa'l-muqabalah意即“化簡”，或從方程兩邊消掉相同的項。（現在常用的譯名是《對消與還原》。）
阿爾花拉子米
此書分三部分，第一部分是關於一次、二次方程的解法，其中首次給出二次方程的一般解法，並給出相應的幾何證明，以保證解法的正確性。這一部分在12世紀被單獨譯成拉丁文，且有兩個不同的譯本，在歐洲一直流行到16世紀。此書的書名後來也衍變成algebra，譯成中文為“代數”。書的另外兩部分分別為實用測量術和遺產計算問題。
阿爾花拉子米的代數是根據婆羅摩笈多的著作寫的，做的有些運算和丟番圖做的完全一樣。例如，碰到含有幾個未知量的若干個方程時，就把它化到只含一個未知量然後求解。阿爾花拉子米把未知量的平方稱為“乘冪”（power），這也是丟番圖的用語。他稱未知量為“東西”或（植物的）“根”，從而把解未知量叫求根。
阿拉伯人雖然給出二次方程的代數解法，但他們是從幾何上來解釋或確認他們的算法步驟的。例如解x²+10x=39的幾何方法：
阿拉伯人也用代數方法解出一些三次方程，然後作出幾何解釋。例如巴格達的異教徒塔比特·伊本·科拉（Tâbit ibn Qorra，836—901，此人又是醫生、哲學家和天文學家）和埃及人al-Hasan ibn al-Haitham——通常以阿爾哈森（Alhazen，約965—1039）知名於世——都是這樣做的。至於一般三次方程，則海亞姆認為只有從幾何上用圓錐曲線才能解。我們來考察他所解的一個比較簡單的情形x³+Bx=C（B與C都是正數），以說明在他的《代數》（Algebra）（約1079）中所用的方法。
海亞姆把這方程寫成x³+b²x=b²c，這裡b²=B，b²c=C。作一個正焦弦為b的拋物線（上圖），在長度為c的直徑QR上作半圓。於是拋物線與半圓的交點P就定出垂線PS，而QS便是三次方程的解。
海亞姆又解出x³+ax²=c³這種類型的方程，它的根是用一雙曲線和一拋物線的交點定出的。還解出了x³±ax²+b²x=b²c這種類型的方程，它的根是用一橢圓和一雙曲線的交點定出的。他還解出一個四次方程（100-x²）（10-x）²=8100，它的根是用一雙曲線和一圓的交點定出的。他只給出了正根。
奧馬爾·海亞姆
用圓錐曲線相交來解三次方程是阿拉伯人在代數上推進的一大步。
阿拉伯人也解出了二次和三次的不定方程。有幾個學者陳述了並打算證明x³+y³=z³沒有正整數解。他們也給出了頭n個自然數的一次、二次、三次和四次冪之和。
三、阿拉伯的幾何與三角
阿拉伯幾何主要受歐幾里得、阿基米德和海倫的影響。阿拉伯人對歐幾里得的《原本》作過評註，這是很使人驚異的事，因為這說明他們還是欣賞數學的嚴格性的，儘管他們在代數上通常是不管這個的。
阿拉伯天文學家引入了我們今天所說的正切和餘切，這兩個比可以在阿爾巴塔尼的著作中找到。阿布爾韋法在一本天文著作中引入了正割和餘割。他又算出了相差10分的每個角的正弦和正切數字表。阿爾比魯尼給出了平面三角形的正弦定理並作出一個證明。
平面三角和球面三角的系統化是由納西爾丁在他的一本獨立於天文的著作《論四邊形Treatise on the Quadrilateral》中作出的。這書含有解球面直角三角形的六個基本公式，並指出如何用現今所謂的極三角形來解更一般的三角形。可惜歐洲人直到1450年左右才知道納西爾丁的著作。
阿拉伯人的科學工作雖然沒有首創精神，但是涉及範圍很廣。他們注重天文學，使他們能夠知道祈禱的準確時間，使廣大帝國內的阿拉伯人在祈禱時能面朝麥加。他們充實了天文數字表、改進了儀器、修造並啟用觀察臺。和印度一樣，幾乎所有數學家主要都是天文學家。占星術在刺激天文學從而刺激數學工作方面也起了很大作用。
阿拉伯人所研究的另一門科學是光學。物理學家兼數學家伊本·海賽姆寫的一本鉅著《光學集錦Kitab al-manazer》曾產生巨大的影響。書中陳述了完整的反射定律，包括入射線、反射線以及反射面的法線三者在同一平面的事實。但和托勒密一樣，他未能得出關於折射角的定律。他還論述了球面和拋物面反射鏡、透鏡、暗箱和視象。光學是阿拉伯人所喜愛的一門學問，因它可提供玄奧和神秘的思想。
伊本海賽姆（現代光學之父）
阿拉伯人鑽研數學主要是為推進他們所從事的幾門科學，而不是為了數學本身。他們也不搞為科學而研究科學的事。他們對希臘人為了弄懂自然界的數學設計或對中世紀歐洲人為了領悟上帝之道這種目標是不感興趣的。阿拉伯人的目標在科學史上與前不同，他們是為支配自然界而從事科學研究。他們認為可以通過鍊金術、魔術和占星術獲得這種支配權力。這種目標其後也未那些能夠分辨真假並在做法上更深刻更審慎的思想家所採納。
阿拉伯人的工作在1000年之際達到頂點。在1100至1300年間，基督徒十字軍的打擊削弱了東部阿拉伯人。其後他們所居土地被蒙古人蹂躪侵佔，到1258年之後巴格達的回教國君已不復存在。在帖木兒（Tamerlane）率領下的韃靼人的進一步破壞又把阿拉伯文明摧毀殆盡，儘管韃靼入侵後那裡還做了一星半點數學工作。西班牙的阿拉伯人在1492年被基督徒征服，這就使該地區的數學和科學活動告一終結。
四、1300年左右的數學
印度人和阿拉伯人對數學的內容和性質作了一些變革，他們的工作使代數重新立足於它所應有的基礎上，並且推進了代數技巧。三角學有新的進展，並脫離天文學而獨立成一門用途更廣的科學。承認有理數之後，就可以用數表示長度、面積和體積。用代數方法解方程然後用幾何圖形說明所做步驟的合理，這種做法展示了代數與幾何的並行不悖。這種並行性的進一步充分發揚便導致解析幾何的產生。
最有意思的事也許就是印度人和阿拉伯人對於數學有自相矛盾的想法。他們在算術和代數里都隨便作運算而根本沒有想到要作證明。埃及人和巴比倫人依據經驗而滿足於他們的那一點點算術和幾何法則是不足為奇的，因為人類幾乎所有的知識都是以經驗為天然依據的。但印度人和阿拉伯人懂得希臘人揭示的對於數學證明的那種全然新穎的想法。印度人的做法是頗有道理可講的；他們雖也確實知道一些希臘古典著作，但他們對此並不看重。不過他們何以只重視一門數學而忽視另一門數學，這也引起人們的疑問。而阿拉伯人則是充分了解希臘幾何的，他們甚至對歐幾里得和其他作家的著述作過批判性研究，而且在長達數世紀的期間曾存在有利於純科學研究的條件，數學家無需被迫作出眼前實踐上有用的結果而犧牲證明。這兩個民族怎麼會以這樣迥異於希臘人的態度來對待這兩門數學呢？
有許多可能的答案。這兩種文明總的說來都是缺乏批判精神的，因此他們可能滿足於傳給他們的數學的現狀；就是說，幾何是講究演繹的，而算術和代數則可以依據經驗或直觀啟示。第二種可能的答案是：這兩個民族——更可能的是阿拉伯人——認識到幾何相對於算術和代數而言具有極不相同的標準，但想不出用什麼辦法來給算術提供邏輯基礎。有一件事實似可說明這種解釋的合理，即阿拉伯人在解釋它們對二次方程的解法時想給出幾何根據。
還可以有其他種種解釋。印度人和阿拉伯人都喜歡研究算術、代數以及三角關係的代數式和運算。這種偏愛可能說明不同的心智狀態，或者可能反映了不同文明的不同需求。這兩種文明都是偏重實際的，實際需要要求提供數量結果，而這就得用算術和代數來求出。而有利於心智狀態不同之說的一點事實是：歐洲人也繼承了同印度人和阿拉伯人一樣的數學遺產，但他們的反應卻很不一樣。我們以後就會看到，歐洲人對算術和幾何有不同的基礎是傷過很多腦筋的。
印度人和阿拉伯人體會到算術和代數的基礎是不可靠的，不過他們膽子大（更由於實際需要），敢於進一步發展這兩門學科。他們採納了做數學創新工作時所能採納的唯一道路。新思想只有在自由和勇敢的直觀啟發下才能產生。邏輯說理和補救方法（如果需要補救的話）只有在具備了可供邏輯說理的東西后才能起作用。印度人和阿拉伯人的闖勁把算術和代數又一次提高到幾乎和幾何並駕齊驅的地位。
於此就確立了數學的兩種獨立的傳統或概念：一種是希臘人所樹立的那套邏輯演繹知識，其更大的目的是瞭解自然；另一種是源於經驗為求實用的數學，它由埃及人和巴比倫人打下基礎，為一些亞歷山大的希臘數學家所重新揀起，而為印度人和阿拉伯人所進一步推廣。前者重視幾何，後者重視算術與代數。這兩種傳統和兩種目標此後繼續起作用。
下一講歐洲中世紀時期。
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