中考數學“一線三等角”模型解析

解析：

（1）△AEM∽△BMG（一線三等角型）；△FEM∽△FMA（共角共邊型）.

（2）AE = 3 , CE = 1 ,

由 △AEM∽△BMG 可計算出 BG = 8/3 ， 則 CG = 4/3 .

在 Rt△CEG 中，由勾股定理可得 EG = 5/3 .

另解：

點 M 是 AB 的中點，恰好是 “中點型一線三等角”，

則有 △AEM∽△BMG∽△MEG .

對可解 △AEM 由余弦定理可計算出 ME = √5 ，

由 △AEM∽△MEG，可得 AE/ME = ME/EG ,

即 3/√5 = √5/EG ,

解得 EG = 5/3 .

（二）一線三等角模型 —— 等腰梯形

【例題2】已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD < BC，且 AD = 5 , AB = DC = 2 .

（1） 如圖，點 P 為 AD 上的一點，且滿足 ∠BPC = ∠A .

①求證：△ABP∽△DPC；

②求 AP 的長 .

（2）如果點 P 在 AD 邊上移動（點 P 與點 A 、D 不重合），且滿足 ∠BPE = ∠A ，

PE 交直線 BC 於點 E , 同時交直線 DC 於點 Q ，那麼

①當點 Q 在線段 DC 的延長線上時，設 AP = x , CQ = y , 求 y 關於 x 的函數解析式，

並寫出函數的定義域；

②當 CE = 1 時，寫出 AP 的長 .

解析：

（1）

①由等腰梯形同一底上兩個底角相等 + 三角形內角和及平角（∠APD）等於 180°，

可證 △ABP∽△DPC .

② ∵ △ABP∽△DPC ，

∴ AP/DC = AB/PD ,

∴ AP/2 = 2/（5 - AP），

解得 AP = 1 或 AP = 4 .

（2）

①建立 y 關於 x 的函數解析式，AP = x , DP = 5 - x , CQ = y , 則 DQ = 2 = y ,

易證：△ABP∽△DPQ，

∴ AB/PD = AP/DQ ,

即 2/（5 - x）= x/（2 + y）,

∴ y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 ,

定義域：

由於點 Q 在線段 DC 的延長線上，故 DQ > 2 , 即 y + 2 > 2 ,

∴ y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 > 0 , 即 1 < x < 4 .

②分類討論點 E 的位置如下：

1、當點 E 在線段 BC 上時，CE = 1 , 過 C 點作 PQ 的平行線交 AD 於點 H ，

由 △ABP∽△DHC，

∴ AB/DH = AP/DC ,

∴ 2/（5 - 1 - x）= x/2 ,

解得 x = 2 .

2、當點 E 在線段 BC 的延長線上時，CE = 1 , 過點 E 作 CD 的平行線交 AD 的延長線於點 M ，

由 △ABP∽△MPE，

∴ AB/MP = AP/ME ,

∴ 2/（5 + 1 - x）= x/2 ,

解得 x1 = 3 - √5 , x2 = 3 + √5 > 5 （捨去）.

五、小結

1、此次課程展示了相似模型 “一線三等角型” 在初中數學範圍內常見的兩種考題形式；

2、從壓軸題中的複雜圖形提煉出基本圖形、快速靈活運用基本結論、反思、拓展提高，

通過知識間的串聯，找出一些通性通法，來提高解題效率 .

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關鍵字: 數學 三等 一線

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