從我們上小學開始，我們就已經接觸方程，什麼是方程呢？方程是指含有未知數的等式。是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關係的一種等式，如x+9=7，這個就屬於方程，方程這個詞來源於中國清代大數學家李善蘭，他將“Equation”翻譯為“方程”。
而使等式成立的未知數的值稱為“解”或“根”，上面這個方程x=-2使得等式成立，這就是這個方程的“解”。求方程的解的過程稱為“解方程”。
方程在研究過程當中，也出現了許多的問題，比如最為著名的五次方程難題。
五次方程難題是什麼
一次方程的求解十分簡單，一元一次方程指只含有一個未知數、未知數的最高次數為1且兩邊都為整式的等式，例如ax+b=c。約公元前1650年，古埃及的萊因德紙草書中記載了第24題，題目為：“一個量，加上它的1/7等於19，求這個量。”就解決了形為ax+b=c的一次方程，即單假設法解決問題。
萊因德紙草書
而公元820年左右，數學家花拉子米在《對消與還原》一書中提出了“合併同類項”、“移項”的一元一次方程思想。16世紀，數學家韋達創立符號代數之後，提出了方程的移項與同除命題 。
而一元二次方程同樣是花拉子米它在出版的《代數學》中討論到方程的解法，除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出了一元二次方程的一般解法，承認方程有兩個根。而韋達除推出一元方程在複數範圍內恆有解外，還給出了根與係數的關係。
然而直到 16 世紀，人們對於三次方程的研究才取得了突破，在十六世紀早期，意大利數學家費羅找到了能解一種三次方程的方法，也就是形如x^3+ax=b的方程。事實上，如果我們允許a、b是複數，所有的三次方程都能變成這種形式，但在那個時候人們不知道複數。
1553 年尼科洛·塔爾塔利亞在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題，最早得出三次方程式一般解。後來塔爾塔利亞將這個方程式告訴了卡爾達諾，卡爾達諾提出了著名的關於一次三次方程的解法公式。當時卡爾達諾只給出了一個解。但其實有三個解。
而在另外兩個解中，兩個兩次根號下面卻可能得到一個負值。因為它的三個解如下：
它得出的判別式是：
判別式的給定範圍不同，得出的結果也就不同。其中當△>0時，就會得到一個實根，而另外兩個利用長除法得到的解則需要對負數開根號。然而在那個時候，對負數開根號對數學家來說是不可能的，所以他們就認為當它大於 0 的時候，其實就只有一個解,當時卡爾達諾既承認負數有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為詭變量，虛數就此從卡爾達諾這裡誕生，糾纏了數學界數百年。。
直到 1572 年，意大利工程師邦貝利首次嘗試去解釋卡爾丹公式裡面出現的負數開根號的問題，他在自己出版的《代數學》中，他列舉了一個方程：x^3-15x+4=0
將它帶入卡爾達諾公式之中，就會得到：
邦貝利巧妙地利用待定係數的辦法，把上面等式化解成：
最終，卡爾達諾公式給出了不可約情況下的正確解：x=4。對負數開根號，居然可以加入運算，並且最還可以得到一個正確結果，這對當時的數學家起到了巨大的啟發作用。
而三次方程成功地解出之後，卡爾達諾的學生費拉里受到啟發，很快解出了四次方程，解法也發表在卡爾達諾《大術》中：
二次、三次、四次方程的根都可以用它的係數的代數式(即只含有限項的加、減、乘、除和開方五種代數運算的表達式)來表示，那麼五次以上方程呢？
一開始聚焦在大家面前的主要是兩個問題：第一個問題是，對五次以上方程，至少都有一個解嗎？第二個問題則更進一步：五次以上方程如果有解，那麼它會有多少個解呢？
五次方程難題的破解之路
這個問題吸引了眾多的著名數學家，一開始大家信心滿滿地向五次方程發起衝擊，但是卻遇到了各種挫折。
1770 年，拉格朗日詳細考察了人們求解 2、3、4 次方程的方法，他將前人方法總結，將各種解法歸納於一種原理下，這個時候拉格朗日已經間接使用到了置換群的概念，拉格朗日使用的這種方法叫預解方程。
拉格朗日使用這樣的方法成功解決了一次方程、二次方程甚至四次方程。當時他將這個方法運用到五次方程的時候。
然而他在研究了五次方程預解函數之後，發現五次方程的輔助方程居然會變成六次，五次都沒解出來，居然還冒出個六次來，一點都不像三次，四次方程那樣逐級降次，這個時候，拉格朗日首次意識到 5 次及其以上方程求根公式可能不存在，他將自己的思考發表在了《關於代數方程解的思考》。
雖然他並沒有解決這個問題，但他提出的根的置換理論揭示了問題的本質，也是這個問題解決所出現的曙光。
之後，歐拉為尋找五次方程的求解提供了一種新思路。他通過一個巧妙的變換把任何一個全係數的五次方程轉化為具有“x^5+ax+b=0”的形式。這一優美的表達反應出歐拉傾向於可以找出五次方程的通解表達式，雖然歐拉的方法很巧妙，但是這樣的方式卻是錯誤的，最終，歐拉也沒有徵服五次方程。
到了 1801 年，高斯，成功解決了這兩大問題，證明了分圓多項式-1+xp（p為素數）可以用根式求解，分圓多項式是指某個n次本原單位根滿足的最小次數的首1的整係數多項式（它必定是不可約多項式）。但這個時候另外一個問題又出現在眼前，那就是五次方程是否可以用根式求解的難題。（根式解是指由方程的係數通過有限次的四則運算及根號組合而成的公式解）
這個時候，數學史上的天才少年阿貝爾出現了，阿貝爾13歲就展露數學才華，他學習如牛頓、歐拉等數學大家的理論，甚至能從中找出他們的小漏洞。
阿爾貝和伽羅瓦兩位天才少年的攻克難題之路
1824年，阿貝爾的工作揭示了高次方程與低次方程的根本不同，尋找一般的係數根號表達式的解的努力成為幻影，然而仍然存在一些特殊的高次多項式能夠用根式求解，如何區分能夠求解的和不能求解的多項式仍然是一個未決的問題。簡單來說，阿貝爾只是證明了高於四次方程的一般代數方程不可能有一般形式的代數解，沒有指出哪些特殊的方程存在代數解。
阿貝爾將自己的研究成果寄給高斯，然而高斯並不相信這位如此年輕的少年可以做出如此的成果，將信棄之一旁。
阿貝爾後來還沒有來得及徹底解決這個問題，就去世了，年僅 27 歲。而這剩下的工作就交由另外一位天才少年伽羅瓦來完成了。
伽羅瓦也是一位天才少年，可惜他一直時運不濟，1832年，他為了情人與軍官決鬥，遺憾身死，而他留下了的手稿，意義卻並不僅限於解決了五次方程難題。
伽羅瓦遺稿
“伽羅瓦理論”天才性地利用了“群論”這個概念來證明了如何區分五次方程能夠求解的和不能求解的多項式。
一般說來，群指的是滿足以下四個條件的一組元素的集合：（1）封閉性 （2）結合律成立 （3）單位元存在 （4）逆元存在。具體解釋如下：
什麼是“伽羅瓦群”呢？某個數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”。
置換群的解釋
設(x)是域F上一個不可約多項式，假定它是可分的。作為(x)的分裂域E，E對於F的伽羅瓦群實際上就是(x)=0的根集上的置換群，而E在F的中間域就對應於解方程(x)=0的一些必要的中間方程。
方程(x)=0可用根式解的充分必要條件是E對於F的伽羅瓦群是可解群。由於伽羅瓦證明了當n≥5時n次交錯群An是非交換的單群，當然是不可解的，而且一般的n次方程的伽羅瓦群是n次對稱群，因而一般5次和5次以上的方程不可能用根式解。
總結來說，就是一般性的一元多項式方程能否根式解等價於這個多項式對應的對稱群 Sn是否為可解群,而n=1,2,3,4時這個群是可解群，n大於等於5時這個群不是可解群。
可以說伽羅瓦不僅證明一般高於四次的代數方程不能用根式求解，而且還建立了具體數字代數方程可用根式解的判別準則。伽羅瓦理論提出瞭解決這一類問題的系統理論和方法，後來，可以說，伽羅瓦理論中的群論是近世抽象代數的基礎，它是許多實際問題的數學模型，群論完全影響了後來數學、物理、化學等多門學科的發展。
這是解決五次方程難題中所開出的最豐碩的成果！
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