我想對數學和物理學之間的關係發表一些看法"
1965年，理查德·費曼（Richard Feynman）在康奈爾大學（Cornell University）舉行的"數學與物理學的關係"信使系列講座中，"偉大的解釋者"談到了他發現的數學與物理學之間的主要區別。 他的思想總結如下。
認識論的差異
"數學家準備了可以被"使用"的抽象推理，即使他們不知道它被用於什麼。"
首先，費曼解決了研究數學的人在認識論分析水平上的差異，特別是選出了數學家：
數學家僅處理推理的結構，他們並不真正在乎他們在說什麼。他們甚至不需要知道自己在說什麼，也不必知道自己說的是真的。
接下來，他將描述形式系統的可計算性的性質，以及人造機器推論人類自己無法理解的定理的理論可能性：
現在，我解釋說，如果您說公理說“某某事物如此”和“某某事物如此”，那該怎麼辦？這樣就可以在不知道“某某某物”一詞含義的情況下進行邏輯運算。也就是說，如果有關公理的陳述是正確的，即經過精心制定和完善，那麼進行推理的人就不必具有對這些詞的含義的任何瞭解。他將能夠用相同的語言得出新的結論。如果我在其中一個公理中使用三角形一詞，結論中可能會有一些關於三角形的陳述。而做推理的人甚至可能不知道三角形是什麼！但是，然後他可以讀回自己的東西，然後說：“哦，一個三角形，那只是一個三邊形的東西，等等”，所以我知道了這個新事實。換句話說，數學家準備的抽象推理就是準備“被使用”。
這與物理學分析的認識論水平相反：
物理學家對所有短語都有意義，而且有一個非常重要的事情是，許多學習物理學但不來自數學的人都不懂：物理學不是數學，數學不是物理學。一個可以幫助另一個。但是，您必須對單詞與現實世界之間的聯繫有所瞭解。如有必要，最後將您想出的內容翻譯成英文，再放入要進行實驗的銅塊和玻璃塊的世界中，以找出後果是否正確。這是一個根本不是數學問題的問題。我已經提到了唯一的其他關係. 當然，很明顯，已開發的數學推理是如何發揮巨大作用並在物理學中得到使用的。另一方面，有時物理學家的推理對數學家很有用。
費曼停在那裡沒有做進一步的解釋，但其中包括的一個相關示例是愛德華·維滕在正能量定理方面的工作，他因此被授予菲爾茲獎。 在關於愛德華·維滕作品的論文中，數學家邁克爾·阿提亞（Michael Atiyah）隨後描述了其對數學的重要性：
他以數學形式解釋物理思想的能力非常獨特。 他一次又一次地通過對物理洞察力的出色應用，而產生了新的深刻的數學定理，使數學界感到驚訝。[H] e對當代數學產生了深遠的影響。 在他的手中，物理學再次為數學提供了豐富的靈感和見解。" —邁克爾·阿迪耶（Michael Atiyah）
適用範圍的差異
"數學家喜歡使他們的推理儘可能地籠統"
Feynman繼續幽默地討論數學的適用性，與大多數物理學家的興趣形成鮮明對比的是：
如果您說“我有一個三維空間”，然後問數學家有關定理，然後他們說“現在看，如果您有n個維的空間”，那麼這裡就是這些定理。”我只想要三維的情況……”“好吧，然後代換n = 3！”。事實證明，它們具有的許多複雜定理要簡單得多，因為它們恰好是特殊情況。物理學家總是他對特殊情況感興趣，對一般情況不感興趣，他在談論某些事情，他不是在抽象地談論任何事情，他知道他在說什麼，他想討論新的引力定律，他不想要武斷的力量因此，要進行一定程度的簡化，因為數學家已經為各種各樣的問題準備了這些東西，這是非常有用的，後來總會發現，可憐的物理學家必須回來並且說“對不起，您想告訴我這四個維度。”
直覺與嚴謹
"可憐的數學家沒有指導，但論點上精確的數學嚴謹和謹慎"
Feynman接下來談到了這兩個主題的發現過程，強調物理學家從某種本質上說，應用了他們的主題而不是純粹抽象的優勢：
當您知道您在說什麼，這些東西是力量，這些東西是質量，這是慣性等等時，您就可以使用很多常識性的，關於憑藉經驗的感覺世界。您已經看過各種各樣的東西，或多或少地知道了現象的表現方式。可憐的數學家他將其轉換為方程式，符號對他沒有任何意義，他沒有指導性，但精確的數學嚴謹性和關心論點。鑑於物理學家或多或少地知道答案的去向，他們會走出來並進行一些猜測，然後很快就進行下去。精確度很高的數學上的嚴格性在物理學中不是很有用，現代態度也不是。在數學中看公理。現在，數學家可以做他們想做的事，不應批評他們，因為他們不是物理學的奴隸。不必要僅僅因為這對您有用，他們就必須這樣做。他們可以做自己想做的事，這是他們自己的工作，如果您想要其他東西，那麼您可以自己解決。
費曼在這裡認為，由於物理學關注自然現象，因此人類在這一領域具有更好的直覺傾向。 這與描述某些數學定理的過程有些相反，包括John Forbes Nash Jr.關於非線性偏微分方程的發現：
1950年代的數學家們知道使用計算機來求解常微分方程（ODE）的相對瑣碎的例程。 然而，還沒有建立解決非線性偏微分方程的方法，例如在噴氣發動機的湍流運動中出現的方法。
然而，到1958年春季，納什能夠使用自己的發明方法獲得基本的存在性，唯一性和連續性定理。 令人驚訝的是，這些方法涉及"將非線性方程式轉化為線性方程式，然後通過非線性手段進行攻擊" –彼得·拉克斯（Peter Lax）密切關注他的進步，這是以前從未有人想到的"天才之筆"。 關於這項技術，隆德大學數學教授，偏微分方程專家拉爾斯·高丁（LarsGårding）隨後類似地宣佈："要做這一點，你必須是個天才"。
論模型的實用性
Feynman接下來討論了物理中模型的有用性，以及它們在進行新發現的過程中似乎缺乏有用性：
接下來的問題是，我們是否應該在嘗試制定新定律時進行猜測，是否應該使用憑藉經驗的感覺和哲學原理，即“我不喜歡最低限度的原則，我願意例如最低限度的控制”或“我不喜歡遠距離的動作，或者我喜歡遠距離的動作”。問題是模型在多大程度上有所幫助。這是一件非常有趣的事情。模型經常會提供幫助，物理老師經常會嘗試講授如何使用這些模型，並對事情的發展有很好的物理感覺。但是，最偉大的發現總會從模型中抽象出來。它從來沒有做過任何事情。麥克斯韋的電動力學發現首先是在惰輪和太空中的其他所有物體上，使用了許多假想的輪子完成的。如果您擺脫了所有的閒人和太空中的所有其他東西，那事就好了。狄拉克僅通過猜測方程即可發現相對論的量子力學定律。猜測方程式的方法似乎是猜測新定律的一種非常有效的方法。這再次表明，數學是表達自然的一種深層方式，而試圖以哲學原理或在經驗的機械感覺中表達自然並不是一種有效的方式。
論數學物理的適用性
奇怪的是，費曼繼續預測，在將來的某個時候，世界的本質將不會以數學語言表達。 相反，將有其他表達自然如何運作的方法，這需要較少的計算：
我必須說，我經常做出一個假設，即物理學最終將不需要數學陳述。機械最終將被揭示。總是令我感到困擾的是，儘管有這些本地業務，但根據定律以及我們今天對它們的理解，無論一個空間區域多麼微小，時間區域多麼微小，發生的一切都需要計算。進行無數次邏輯運算以找出答案。現在，在這麼小的空間中如何進行所有操作？為什麼要花無窮的邏輯來弄清楚一小段時空將要做什麼？因此，我經常做一個假設，即定律最終將變得像棋盤一樣簡單，並且所有複雜性都來自規模，但是，這與其他人做出的其他猜測具有相同的性質。 上面寫著“我喜歡”，“你不喜歡”。對這些事情過於偏見是不好的。
關於數學的需要
接下來，Feynman引用了James Jean爵士的話，並提到了小說家和物理化學家C. P. Show在討論物理數學時的著名著作"兩種文化"：
總而言之，我想用詹姆士·簡斯爵士的話說：“這位偉大的建築師似乎是一位數學家，而對於那些不懂數學的人來說，要想真正地感受到一種真實的感覺是非常困難的。感受大自然的美。” P. Snow談到了兩種文化。我真的認為這兩種文化是有過和沒有過足夠了解數學的經驗，來一次欣賞自然的人，這很糟糕，必須要數學並且對某些人來說數學很難。當其中一位國王試圖向歐幾里得學習幾何學時，他抱怨說這很困難，歐幾里德說：“沒有通往幾何學的皇家之路”。
傳播論
"也許視域有限，使這些人可以想象感興趣的宇宙的中心是人。"
最後，費曼談到了物理學家掌握數學的需求，以便能夠發現有關自然的新發現，並指出數學對於我們當前對世界運轉方式的理解至關重要：
作為觀察這些事物的人們，我們不能像物理學家那樣將其轉換為我們擁有的任何其他語言。如果您想討論自然，瞭解自然，欣賞自然，則有必要找出她所使用的語言。她僅以一種形式提供信息。我們並沒有那麼謙虛，以至於“要求她更改”，然後再進行任何關注。在我看來，您可以提出的所有理智論點很少會充耳不聞。世界上所有的知識論據都不會說服“其他文化”的論點。那些試圖通過定性地告訴你這件事來教你的哲學家。我，正在嘗試描述它，但是因為不可能，所以無法傳播。我們正在充耳不聞地交談，也許是因為視野有限，使這些人可以想象感興趣的宇宙的中心是人。
本文是每週在中等刊物Cantor's Paradise上發表的一系列與數學相關的故事的一部分。 感謝您的閱讀！
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(本文翻譯自Jørgen Veisdal的文章《Richard Feynman on the Differences between Mathematics and Physics》，參考：https://medium.com/cantors-paradise/richard-feynman-on-the-differences-between-mathematics-and-physics-c0847e8a3d75)
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