电动力学应该是四大力学里脉络最清晰的一门，因为所有的经典电磁现象无非就是麦克斯韦方程的解，在不同的情况我们使用麦克斯韦方程不同的写法，这里写四种。方程的物理意义普物电磁学已经谈过，这里不再讨论。
（一) 积分形式麦克斯韦方程
积分形式的麦克斯韦方程为：
众所周知，积分某种程度上就是一种求和或者取平均的操作（积分中值定理），积分形式麦克斯韦方程就是用在这种需要平均的地方，也就是当电荷分布或者自由电流分布在界面上出现不连续的情况时。什么时候界面会出现电流电荷分布的不连续？也就是不同介质的交界面上。
在一个界面上如果存在不连续的电荷分布，首先造成电场法向分量不连续：
取一个薄高斯面包围界面一点，根据第一个麦克斯韦方程，得到不连续的值为：
再做一个环路包围界面一点，穿过两种介质，可以得到电场切向分量是连续的。
对磁场如法炮制，得到法向分量是连续的（第三式），切向分量是不连续的（第四式）：
统一以下，写成矢量形式就是：
（二) 微分形式麦克斯韦方程
根据高斯定理和斯托克斯定理，我们可以立刻把积分形式麦克斯韦方程写成微分形式：
微分形式麦克斯韦方程+积分形式得到的边界条件，可以解决大多数问题了，当电磁场不含时的时候，我们要解决的就是静电静磁问题：
2.1 静电场
注意到静电场旋度是0，因此它是保守场，因为标量梯度的旋度总是0，所以存在标势Φ，满足：
解决静电学的方法有很多种，但无非都是叠加原理思想的运用。
第一种是直接用库伦定律+叠加原理。库仑定律告诉我们，一个点电荷激发的电势为:
对于一个给定了电荷分布的系统，使用叠加原理
第二种是解泊松方程，在线性，各项同性的，均匀的介质中，电位移矢量D和场强E只差一个介电常数ε：
把标势代入电场散度中，得到泊松方程：
在没有电荷分布的地方，标势也就满足拉普拉斯方程：
求解的方法很多，参见数学物理方法。叠加原理得到的Φ就是泊松方程的一个特解。
第三种是对特解进行多级展开，因为特解的积分不好求，因此把它展开成泰勒级数，因为各阶的系数（电多级矩）是好求的，只要我们展开够多，得到的结果就更精确：
2.2 静磁场
磁场旋度一般不是0，因此不是保守场，但它的散度是0，因为矢量旋度的散度总是0，因此我们可以定义失势：
于是多了一个静电场不存在的麻烦：我们完全确定一个场，需要知道它的旋度，散度和边界条件，静磁场中引入了新的场A，并且知道了A的旋度，但我们不知道它的散度，也就是说引入矢势后增加了一个方程，如果需要唯一解，我们需要为A添加新的约束条件，不同约束条件就是所谓不同的规范。静磁场中我们选取库伦规范为约束条件：
在非铁磁性介质中，H和B也是线性关系：
对磁场两边取旋度，得到：
在库伦规范下，失势A满足泊松方程，于是回到了静电学求解的套路，我们可以对A再来一遍。
（三) 洛伦兹规范下的麦克斯韦方程
对于微分形式麦克斯韦方程（真空为例）：
因为B散度总是0，因此失势在非静磁情况同样可以接着用：
但电场已经不保守了，接下来要重新构造标势（找旋度为0的场）
把矢势代入方程第二式
注意到一对势A和Φ对应了B和E，但这对势不是唯一的，经过规范变换，我们可以找到另外的对应相同B和E的势：
现在把势代回麦克斯韦方程，得到：
整理一下：
现在我们取洛伦兹规范：
就得到了达朗贝尔方程：
同样的，使用洛伦兹规范可以得到标势也满足达朗贝尔方程：
所以电磁场以波的形式传播，波动方程的解是推迟势（比静电势推迟了一点时间）：
也就是说，电磁相互作用是有传播速度的，即光速：
特别的，在自由空间里，特解就是平面波：
把平面波的解代入界面边界条件，即可得到反射定律，折射定律，由能量守恒就能得到菲涅尔公式。
考虑电磁波辐射的时候，辐射源的势进行多级展开，就可以得到电偶极，电四极，磁偶极等贡献的辐射，其中电偶极辐射占主要，磁偶极和电四极的贡献在同一个数量级，比电偶极小几个数量级。
（四）张量形式的麦克斯韦方程
以下的我们会用张量的记号处理问题，详情参见 张量分析初步。
狭义相对论中，不同惯性系之间的坐标变换称为洛伦兹变换，洛伦兹变换有两个基本假设：
1.光速不变
2.所有惯性系中，物理规律有相同的表达形式
洛伦兹变换中，时空被耦合在一起，因此相对论的时空是四维的，第四维度是时间，为了对其量纲，我们让时间乘一个光速。定义协变矢量：
逆变矢量：
根据光速不变，我们能得到第一个洛伦兹不变量：时空间隔（注意求和约定）
郭硕鸿版教材把协变矢量和逆变矢量统一了，第四维度用乘了个i，这样数学形式不好看，所以这里使用张量统一的形式。
根据假设2，我们可以得到洛伦兹变换是线性变换，根据假设一推出的时空间隔不变，我们得到线性变换的矩阵：
其中：
四维线性变换的形式为：
容易得到动尺收缩（同时不通地）和时间膨胀（同地不通时）效应：
在狭义相对论中，电动力学是具有洛伦兹不变性的，在洛伦兹规范下，标势和失势满足达朗贝尔方程：
事实上，达朗贝尔算符就是四维下的laplacian:
如果把势和电流密度写成四维形式：
就可以把两个方程和为一个：
并且洛伦兹规范也可以写成简洁的形式：
再进一步，我们凑出电磁场的拉格朗日量密度，把它写成最小作用量原理的形式（拉格朗日方程），只需构造四维张量：
拉格朗日量是标量，所以我们要把张量变成标量形式，最简单的操作莫过于：
电磁场的拉格朗日量密度就出来了：
代入拉格朗日方程，我们得到麦克斯韦方程的第一个和第四个(其实是麦克斯韦方程凑拉格朗日):
第二个和第三个则满足:
当然，注意这个张量的上标，它是协变的：
这也是电磁场的变换关系。
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