我們上一講講到隨機性是有規律可循的，於是才有了概率論。
扔十次硬幣，真的會有五次朝上？
但是它的規律性其實和我們直覺想象的不一樣，以至於在生活中大部分人會誤讀概率。比如說，我們知道拋硬幣正反兩面朝上的概率各一半，但你現在去拋十次硬幣，真的有5次正面朝上麼？其實這種可能性只有1/4左右，顯然和大多數人的直覺完全不同了。
再比如有一個賭局，贏面是10%，你玩十次是否就能保證贏一次呢？如果不能，需要多少次才有很高的把握贏一次呢？這個結果其實是26次，這可能也顛覆了你的認知。因此我們這一講就要正本清源，通過一些例子講清楚隨機性到底意味著什麼，我們該如何得到正確的統計規律，而不是主觀偏見。
我們都知道，統計學的規律只有經過了大量隨機試驗才能得出，也才有意義。
但是隨機試驗得到的結果，和我們用古典概率算出來的結論可能是兩回事。不僅你擲10次硬幣大部分時候不可能得到五次正面朝上的結果，你做其它隨機試驗也是如此。比如你擲12次骰子，大約只有30%的情況它正好有兩次六點朝上。這時你是否能講，有70%的可能性要否定六點朝上的概率是1/6這個結論呢？似乎也不應該這麼武斷。
這裡面到底哪裡出了問題？這其中的關鍵是，如何解釋真實情況和理想中的概率之間的偏差。
為什麼現實概率和理想概率總有偏差？
幾百年前，法國數學家伯努利等人為了回答這個問題，就開始做一些最簡單的隨機試驗，這種試驗簡單到只有兩種結果，非A即B，沒有第三種狀態，而且在同樣條件下重複這種試驗，A和B發生的概率需要一致。
比如拋硬幣，每次正面朝上的概率是1/2；擲骰子，事件A是“六點朝上”，它出現的概率每次也是1/6。當然事件B就是其它點朝上，每次的概率是5/6。在一般情況下，出現A的概率是p，B的概率是1-p。這類試驗後來被稱為伯努利試驗。
好了，基本的設定講清楚了。我們來分析一下擲硬幣的問題。照理講，我們擲10次硬幣，正面朝上的次數應該是5次。但是如果你真的拿一個硬幣去試試，你會發現可能只有三次正面朝上，也可能四次正面朝上，甚至會出現沒有一次正面朝上的情況。
如果我們把從0次正面朝上，也就是說全部是背面朝上，到10次全是正面朝上的可能性都算出來，畫成一個折線圖，就是一箇中間鼓起的曲線：
從圖中可以看出，雖然5次正面朝上的可能性最大，但是隻有1/4左右。
造成試驗結果和理論值不一致的原因，是試驗十次數量太少，統計的規律性被試驗的隨機性掩蓋了。如果我們做更多的隨機試驗，規律性是否會更清晰一點呢？
比如我們做100次試驗，這時你會發現，80%的情況下，正面朝上出現了40～60次。如果我們繼續放大試驗的次數，你會發現絕大多數情況正面朝上的次數在一半左右浮動，那種正面朝上佔比特別少或者特別多的可能性幾乎不會出現，而不是像一開始那樣，什麼情況都有可能。
當然，如果你做1000次試驗，在99.9%的情況下正面朝上的次數在400～600之間。即使你把浮動的範圍縮小到450～550，99.7%的情況下正面朝上落在這個範圍內。
在一般情況下，如果進行N次這種簡單的伯努利試驗，那麼事件A會發生多少次呢？雖然我們感覺應該是總次數N乘以每次發生的概率p，但是實際上事件A發生多少次都是有可能的。當然發生N*p次的可能性最大，接下來發生N*p+1或者N*p-1次的可能性次之，然後向兩頭逐漸遞減。
如果我們將它畫成一條曲線，就是中間高兩頭低的曲線。順便說一下，滿足這種曲線的概率分佈，被稱為伯努利分佈，也稱為二項式分佈，因為每一次試驗的結果有兩種。
我們還看這個實驗，事實上，如果試驗次數N比較大，那中間就是一個大鼓包，然後快速下降，兩旁幾乎是零，這也就是說事件A發生的次數在N*p左右的可能性極大，其它的可能性極小。相反，如果總次數N比較小，中間的鼓包就比較平緩，兩頭的值雖然小，但不會是零，其實難以判定事件A到底發生了多少次。
於是，我們就得到這樣一個結論：有關不確定性的規律，只有在大量隨機試驗時才顯現出來，當試驗的次數不足，它則顯現出偶然性和隨意性。
如何找出這個偏差的本質？
當然，在數學上我們不能用“曲線比較鼓”，或者“比較平”之類不嚴格的語言來描述一種規律。我們需要用兩個非常準確的概念來定量描述“鼓”和“平”的差別。這第一個概念就是平均值或者叫做數學期望值，也就是N*p，因為概率是p的事件進行N次試驗後，平均發生的次數，也是最可能發生的次數，好，這是N*p。
接下來我們再用平方差（簡稱方差）這個概念來描述曲線的“鼓”與“平”。“方差”這個詞你可能並不陌生，那麼什麼是方差，它是如何計算的呢？我們下面就簡單地說一說。方差其實是對誤差的一種度量，既然是誤差，就要有可對比的基點，在概率中，這個基準點就是數學期望值（簡稱期望值），也就是我們通常說的平均值。比如說，做10次拋硬幣的試驗，平均值就是5次正面朝上，5就是基點。
如果我們做10次試驗只出現4次正面朝上的情況，就有了誤差，誤差是1。如果9次正面朝上，那麼誤差就大了，就是4。好了，接下來我們就把各種誤差，和產生那些誤差的可能性一起考慮，做一個加權平均，算出來的“誤差”就是平方差。
之所以使用“平方”這個詞，是因為計算方差這種誤差時用到了平方，為了進一步方便誤差和平均值的比較，我們通常會對方差開根號一次，這樣得到的結果被稱為標準差（嚴格來講，方差開根號後和標準差還是略有差別，但是這個差別很小，為了便於理解，我們就假定標準差是方差開根號的結果）。
關於方差和標準差的公式我們就省略了，大家只要記住下面這個結論就可以了，那就是伯努利試驗或者其它類似的試驗，試驗的次數越多，方差和標準差越小，概率的分佈越往平均值N*p的位置集中。顯然，在這種情況下，你用A發生的次數，除以試驗次數N，當作A發生的概率，就比較準確。
反之，試驗的次數越少，概率分佈的曲線就越平，也就是說A發生多少次的可能性都存在，這時你用A發生的次數，除以試驗次數N，當作A發生的概率，誤差可能會很大。
具體到拋硬幣的試驗，進行100次試驗，標準差大約是5次，也就是誤差相比平均值50，大約是10%。但是如果我們做10000次試驗，標準差大約只有50，因此和平均值相比，降到了1%左右。
理想與現實：成功需要更多準備
有了方差的概念，我們就能定量分析“理想”和現實的差距了。什麼是理想呢？我們進行N次伯努利試驗，每一次事件A發生的概率為p，N次下來發生了N*p次，這就是理想。那麼什麼是現實呢？由於標準差的影響，使得實際發生的次數嚴重偏離N*p，這就是現實。
比如，在生活中，很多人覺得某件事有1/N發生的概率，只要他做N次，就會有一次發生，這只是理想。事實上，越是小概率事件，理想和現實的差距越大。比如說一件事發生的概率為1%，雖然進行100次試驗後它的數學期望值達到了1，但是這時它的標準差大約也是1，也就是說誤差大約是100%，因此試了100次下來，可能一次也沒有成功。
如果你想確保獲得一次成功怎麼辦呢？你大約要做260次左右的試驗，而不是100次。這裡面的數學細節我們就不講了，大家記住這個結論就好，就是越是小概率事件，你如果想確保它發生，需要試驗的次數比理想的次數越要多得多。
比如買彩票這種事情。你中獎的概率是一百萬分之一，你如果要想確保成功一次，恐怕要買260萬次彩票。你即使中一回大獎，花的錢要遠比獲得的多得多。因此，瞭解了標準差，就該懂得人為什麼不要去賭。這算是我們今天在認知方面要了解的第一個知識點。
我們要了解的第二個知識點是，提高單次成功率要遠比多做試驗更重要。 假如你有50%的成功可能性，你基本上嘗試4次，就能確保成功一次，當然理想狀態是嘗試兩次。為了保險起見，要多做100%的工作。但是如果你只有5%的成功可能性，大約需要50次才能確保成功一次，而不是理想狀態中的20次。為了保險起見，要多做150%的工作。
很多人喜歡賭小概率事件，覺得它成本低，大不了多來幾次，其實由於誤差的作用，要確保小概率事件發生，成本要比確保大概率事件的發生高得多。
關於概率論和統計學的規律，還有很多和大家直覺不相符的地方。比如我們前面所說的各種大量的隨機試驗，需要在相同條件下進行，而且前後各次試驗是彼此不會相互影響的。這兩件事在現實中，還真不容易滿足。
就拿擲骰子來說吧，看似擲N次不過是擲一次的多次重複，但實際上擲的次數多了骰子會磨損，桌面也會砸出坑，這些細微的差異累積下來就會產生不同的結果，我們原以為試幾次就能發生的事情，可能沒有發生，這就要我們事先考慮更多的餘量。
要點總結：
我們從概率論上證明了，凡事做好充足的準備，爭取一次性成功，這要遠比不斷嘗試小概率事件靠譜得多。同時涉及到隨機性的問題時，只有通過大量可重複性的試驗，才能看到規律性，而數量較少的試驗，更多地體現出來的是隨意性和偶然性，而非規律性。
歡迎你把文章轉發給你的家人朋友，幫他們正確理解隨機性。我們下一講增加一個維度，還討論這個問題。下一講見。——吳軍《數學通識五十講》
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