科学是从信仰开始的，或者说是从幻想开始的。这在很大程度上使得我们坚信，能够确定地描述这个世界，而丝毫不用牵涉到我们自己。——海森堡
波函数实际上是量子力学的一个基本假设，很多人误以为它是数学推导的结果。
波函数假设是量子力学中最为基础的概念，如光速不变原理作为狭义相对论的基础公设一样，贯穿于整个量子力学的始终。波函数最简单的形式是：ψ(x)=Ae^i(p/ℏ)x，它是一种复指数函数，表示了粒子在某位置的概率幅，其绝对值的平方意味着某个时间点自由粒子在某个位置的可能性。
波函数的由来
波函数是描述微观尺度范围内物质行为的函数，来源于电子的双缝干涉实验（上一篇内容），该实验是量子力学最初的密码，因为它揭示了电子的波动性，为了描述这种非粒子性行为，科学家引入了宏观物理波（水波等机械波）的余弦概念cos(x)，但是电子具有形体，不能在空间中若隐若现，也不应该偏好任何位置x，所以自由电子的运动不符合这种数学形式。于是，玻恩提出了概率波诠释，认为波函数表征了粒子位置的可能性，并不是描述粒子的轨迹，为了很好地符合
概率这一理念，最终引入了波函数的复指数形式e^ix，故|e^ix|²=|cosx+isinx|²=1，意味着自由粒子在空间中运动时概率处处相等，不会出现起伏，遵循了物理的实在性原则。
氢原子电子云的概率密度
波函数的含义
波函数的含义主要包括两点：有限性和离散性。
波函数既然代表了不同位置的概率密度，那么对其绝对值的平方进行全空间积分，结果一定是1，因为电子是真实存在于空间之中的。于是有：
∫|ψ(x)|²dx=1
通过上式，可以确定ψ(x)中的系数A，就是我们熟知的波函数归一化。这暗示了宇宙的有限性，因为无限的空间是无法计算归一化的，所以只能假设宇宙大而有限，刚好符合了宇宙大爆炸模型。
描述谐振子的三个波函数
宇宙是有限的，波函数ψ(x)也是有限无界的函数，那么它一定是循环的，因此波函数必须符合周期条件：
ψ(x+L)=ψ(x)
千万不要小看这个条件，因为把波函数ψ(x)=Ae^i(p/ℏ)x代入上式之后，直接可以导出动量p=2πmℏ/L，这说明动量不是连续的，只能取整数倍的ℏ，意味着世界的离散性。
一维自由粒子的波函数：左边是波函数ψ(x)的实部（紫色）和概率密度（红色）
波函数终究是一种假设，其准确性及适用性只有通过实验不断地加强。这就好比，太阳从东方升起，在之前的99天确实如此，那么我们就有理由相信明天依然成立的可能性≥99%。
日出东方
随着各种量子实验的证实，量子纠缠、量子密钥以及量子计算机的发展，科学家们对波函数的准确性深信不疑，同时也冒着巨大的风险，因为只要有一次实验失败，置信度就降为零。不过无论如何，波函数的理论已经成功，量子力学也已然辉煌。如同牛顿力学定律F=ma，即使被狭义相对论的新定律F=(dv/dt)*mₒ/√(1-v²/c²)推翻，其地位也仍然是举足轻重。
上一篇三分钟读懂量子力学：揭秘双缝干涉现象，下一篇三分钟读懂量子力学：什么是不确定性原理。
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