提起數學，很多人都會覺得瑟瑟發抖。怎麼才能學好數學？大家都知道，微積分是一切高級數學的基本功，你翻開一本教課書，講解微積分要用好幾百頁。怎樣才能學好微積分？不是讀萬卷書，不是走萬里路，而是儘量“投機取巧”…

出品："SELF格致論道講壇"公眾號（ID：SELFtalks）

以下內容為中國科學院院士林群演講實錄：

聊聊各個階段的數學

林群：各位聽眾，今天很有幸能跟各位談論一點有關數學的事情。

數學知識太多了，我們不可能統統掌握，所以只能在眾多的數學分支裡面，挑選那些最重要的進行學習。

什麼是最重要的呢？比如說我們小學學的算術，那是人類幾萬年智慧的結晶。小學唸完念中學，中學是簡單的代數，也相當於算術的發展，還有一些初等的幾何學，這是人類幾千年的智慧結晶，所以我們要學。

中學唸完念大學，大學學什麼呢？大學主要學微積分和線性代數，這個是人類幾百年探索的結果。

總而言之，人類留下的財富需要我們站在巨人的肩膀上來吃透它，消化它。所以我們必須學習，否則就要回到黑暗中重新探討，那太可怕了。

我想引用哈佛大學數學系教授邱成桐的講話。聽說他經常告誡學生，“要學好微積分和線性代數，歸根結底一切高級的數學都是微積分和線性代數的各種變化。”

所以，我們學習必須有重點，不能夠鋪開學，太多了，反而學不好。“多則少”，你想學很多，你得到很少；反過來“少則多”，如果你學得很少，比如你就學一點小學數學，學一點中學數學，再學一點大學數學，大學數學就是指微積分和線性代數，這些學習內容對我們的一生都是非常有助益的。

我再重複一遍，多則少！大家不要什麼都學，不要學得很多，也不要做很多。現在有各種活動吸引我們，但是我覺得對於學習來說，這些只能起到輔助的作用。

最重要的還是在課堂上學習，把正課學好。把小學的數學，最簡單的算術學好，把中學數學最簡單的代數和幾何學好，把大學的數學學好，就是把微積分和線性代數學好，這是最重要的。

然後，在接下來的工作中再發展，繼續學習，因為學無止境。這是第一點意見，供各位家長和學生參考。

怎樣學習數學

怎麼學習數學呢？數學太難了，我是最怕數學的，我們一家人都怕數學，我認識很多朋友，包括各種各樣工作場合，都最怕數學。

所以數學怎麼學，是我很苦惱的問題。我是經常在心裡面思考這個問題的。

剛才我說了，邱成桐先生認為，微積分是一切高級數學的基本功。但是，微積分怎麼學呢？你翻開一本教課書，講解微積分要用好幾百頁。

我從50年前就開始學微積分了，但是看一些教課書，我看得暈頭轉向，講的內容太多了。

許多教科書很煩瑣，大家要警惕。所以我們要把微積分學好，不是讀萬卷書，不是走萬里路，而是儘量“投機取巧”。

我認為學微積分跟學別的數學一樣，“假傳萬卷書，真傳一案例”，把一個案例學好，你就把整個微積分的精神掌握了。

學習微積分用什麼案例呢？應該用我們平常生活裡經常見到、經常用到的案例。

比如我們經常坐高鐵，高鐵車廂裡頭有一個標誌顯示當前的時速是多少，也就是一小時走多遠。速度就是路程除以時間。

我們經過天津站的時候，就顯示時速多少，經過大連站時也會顯示時速多少。時速是什麼意思呢？就是指某一時刻的速度，某一時刻的速度是什麼意思？

你看，那個時刻不動，時間等於零，沒有時間，火車不能運行，所謂當時的速度，你仔細想想，是一個0除以0的問題，沒有時間，就沒有路程。那麼路程比時間，速度就是0比0。

0比0的問題是很嚴重的，使得牛頓這樣的大物理學家都覺得傷腦筋。

但是牛頓很聰明，他想出了辦法計算瞬時速度。他設想，火車在很短的時間裡，走過很短的距離，因為時間很短，火車沒有時間加速，所以它的瞬時速度應該是可以這麼計算的，把它變換成一個在很短的時間裡面走過的很短路程。

大家好好想想看，時間很短，火車沒有時間加速，所以，速度只有很小的變化，用這個辦法來計算，我這裡寫的，小路程，由x點跑到x+h點，很短的時間內，瞬時速度變化很小，因為沒有時間變化，時間太短了，瞬時速度很小。

瞬時速度+小變化，再乘以短時間，小路程是這麼算出來的，小路程是瞬時速度+小變化，然後再乘以短時間。把它分開，小學的算術學過了，（A+B）×C=A×C+B×C，瞬時速度×短時間+小變化×短時間，時間縮短以後，小變化就很小，基本上被消滅掉。

全路程就是小路程加起來，小路程加起來是什麼意思呢？就是瞬時速度×短時間，加起來，再加上小變化×短時間，短時間加起就是總時間。

比如說北京到上海是一小時，一小時就是總時間。總時間是固定的，比如說一小時，總時間乘以小變化還是很小，因為時間是固定的，時間不變，就是一小時，乘以小變化，還是小變化。

總而言之，全路程是瞬時速度乘以短時間相加，再加上小變化乘以總時間，小變化乘總時間還是小變化，因為總時間是固定的。

比如說一小時，小變化乘一小時，還是小變化。通常是這樣，如果瞬時速度不斷走，短時間加起來，積累得很多，就是積分了。這個是等於把小學、中學的數學，到大學換了一個名詞。

小學的數學跟大學的數學、初等數學和高等數學，本質的區別不大，但是要換一個稱呼，把原來的相加變成積分了。

這樣的話，就變成一個速度×時間的積分，然後加上小變化×總時間。如果時間不斷縮短，小變化就沒有了，整個就是速度×時間的積分，也就是路程是速度×時間的積分。這樣子就是大學微積分的制高點了，有了這個制高點就好辦了。

以火車的瞬時速度為案例講這麼多，是希望把整個微積分展開在你面前，面對案例要認真分析，認真思考，看以下附錄。

從小朋友到年齡大一點的人，都應該把瞬時速度作為我們的思考題，在某一時刻，火車的速度究竟是多少？某一時刻，時間沒有變化，速度等於路程除以時間，某一時刻，如果時間沒有變化，路程還是那個路程，所以速度應該是0比0。

但是牛頓很聰明，把這個問題變通了，最後變成瞬時速度+小變化，再乘以短時間，後面的演算是比較簡單的，這樣微積分就掌握了。

我強調一下，“假傳萬卷書，真傳一案例”，所以我們要找真傳，不要讀很多書。很多人認為應該“走萬里路，讀萬卷書”。

我的經驗不是這樣的，因為我是很笨的人，我讀書讀得很慢，不可能讀萬卷書。我讀一本書就滿頭大汗，讀幾年都讀不懂，最後才發現上當了，原來真傳只有一個案例。今天要講的就是從哲學的角度來講學習方法，你們要記住：假傳萬卷書，真傳一案例。

我想再說一說，我們現在教科書有很大的問題。容許我批評一點，我們的教科書把簡單的東西講得很複雜。能夠通過一個案例說清楚的，不講案例，卻講怎麼證明，怎麼推導定理，這就是假話。

事實上，證明是靠發明的，定理是靠道理的，所以我們首先應該給學生講道理，講發明，而不是講定理，講證明。

當我們把道理弄清楚了，多數情況下證明自動就弄清楚了。比如說剛才講的微積分，把火車瞬時速度的案例搞清楚，證明兩行、三行，最多四行就出來了。

現在書上不講道理，現在的教科書證明剛才這樣的一個定理就是一本書。我們在學習時很忌諱“不講發明，只講證明；不講道理，只講定理”。

所以我希望數學文化發生改變，變成講道理的學問，變成講發明的科學。

其實據介紹說，牛頓是三一學院裡的平凡學生，當時倫敦出現瘟疫，他逃到鄉間，在鄉間思考，蘋果打到頭上發現了萬有引力定律。

不管故事是否真實，但是說明了一個問題，只有在鄉間，不在學校裡面，不過忙碌的生活，思考才能做出創造。

現在我們的活動太多了，沒時間思考。你看小學生參加多少活動、競賽，中學生的活動更多。

家長要改變自己的做法，讓孩子有閒暇的時間，在樹下散散步，在湖裡遊游泳，讓他們去思考，去發明，不要整天考試。

考試是一個機器，我也接觸了個別的考試能手，我非常佩服他們，他們做題比我快得多，一眨眼就做出來了，但是他們不知道在做什麼題。

所以家長們最好不要希望孩子一個個都是考試能手，應該讓孩子過平常的生活。天天都可以考試，你從小學考起，中學也考，大學也考，我進大學就考了一百題，一天考一百題。

所以考試很平常，沒什麼了不得，讓他去考，考得好，考不好都不要緊。牛頓之後最偉大的科學家是愛因斯坦，愛因斯坦大學畢業的時候成績不算好，在專利局做三級科員。

就是這樣一個三級科員，一個在大學學的很差的平凡學生，結果做出很大成就。因為他會思考，他反對不思考就進行推理，反對不思考就進行證明，這讓他成為繼牛頓之後最偉大的科學家。

我們希望各位同學都應該把自己看作一個平凡的人，看作是三級科員，看作是很差的學生，但是我們有正確的學習方法，我們知道案例學習，我們一個案例頂萬卷書，這樣的話效率其實是很高的。

所以我今天就講這些，希望一個案例頂萬卷書，希望大家學得少，學得好，千萬不要圖多，嚼不爛，結果什麼都懂，又什麼都不懂。

一個很有名的故事，一個牧師在佈道，牧師越講越激動，可是觀眾一片睡著了，我希望你們沒有睡著，那就是成功了，謝謝大家！

主持人：非常感謝林老師精彩的報告，如雷貫耳，現在和現場觀眾朋友們進行互動。

林群：

我再補充一句，為了防止很多人攻擊我，我首先說，我自己就不懂得數學，我自己學得很差。說實在話，我們這些人都沒有成就，哪些人有成就呢？

比如屠呦呦的成就可能很多人都想不到，我相信屠呦呦的智商並不一定很高。我不認識她，我覺得她可能是很平常的人。可是她一輩子鑽研了一件事情，少則多，她只做一件事，研究中藥——青蒿素。

就這一件事情救了非洲多少萬人，這就是她的貢獻。誰偉大？還是屠呦呦偉大。BBC選出100年來最偉大的三位科學家，就是愛因斯坦、圖靈和屠呦呦”。

與觀眾互動

主持人：接下來進入一個互動的環節，在場的選兩個問題，一個小朋友，一個家長，誰想提問，舉手。

觀眾1：現在這個社會，我認為是比較注重考分的，很多大學，他們都是以考分為準。在工作方面，很多公司也是要看你是從哪個大學畢業。雖然我非常贊同您的觀點，數學確實應該去多思考，不應該那樣死板。考試那些東西沒用，但是對於現在這個社會，還是以考分為主，您對此持什麼觀點？

林群：最近大家都經常講到考試的問題，我覺得這個不重要。剛才說的奧賽冠軍，當然很厲害，比我不知道厲害多少，我做一年，他可能一下子就做完了。

要知道，他是一個解題能手，但是他沒有提出問題的能力，有什麼用處呢？你給他這個題做，他給你做，但是他沒有想法，所以不要羨慕這些人。

我自己認為，屠呦呦是我們的榜樣，玩青蒿素玩了一輩子，玩出了諾貝爾獎。

你說她是天才嗎？她是神童嗎？所以我們家長要求太低了，就要求孩子考得好，可以找到好職業，這算什麼呢？考得好，好職業算什麼，真的有貢獻的人，就不能僅僅靠考試。

考試很平常，考試沒什麼的，我告訴你，我進大學，一天考一百道題，考好又怎麼樣？現在誰問你考多好？

我們很值得追查屠呦呦這個人的經歷，究竟她小學、中學、大學學得怎麼樣，我相信對我們會帶來鼓勵。

普通人都能學好數學，普通人都有貢獻，只要有屠呦呦那樣的精神。能做出貢獻的不是那些“才子佳人”，我覺得那些都靠不住。

主持人：謝謝，我理解林老師說數學這個東西，普通人只要努力用功就能學好，考100分算不了什麼，要有更遠大的目標。

林群：考100分不算什麼，要求不能太低。比如說我進廈門大學的時候，一天做100題，你就考了100分又算什麼？

我後來進中科院，到現在沒做什麼好工作，我敢這麼說自己，我都看不上自己，因為我沒有屠呦呦那樣的精神。

只是我年紀大知道已經晚了，屠呦呦年輕時就找到了正確的方向。她看中了中草藥，最後成功了。

所以家長對你們的孩子，要求要更高，一定不能說僅僅要考得好，找到好職業就行了，好職業算什麼？

我們中國還有一個世界名人，研究三體問題的數學家，在世界範圍內都很有影響力，大家都認為他是非常了不起的榜樣，可是他是一個來自山西的很普通的學生。他的生活也很普通，職業也一般，但是他做得很好。

我們在很好的地方，我1956年就在中科院，多好的地方，可是我做出什麼成績來，我看到他，覺得差太遠了。像我這樣的人，在科學上根本不值一提，為什麼呢？家長們，一定要要求高，不能只要求孩子考得好，找到好職業。

主持人：應該再狠一點，不能僅僅要求他們100分。

林群：對，我再講一個。我們都很關心人大，人大開完會，選出很多部長。你看看部長的經歷，大部分是從基層出來的，這才是真正的人才。

部長是國家棟梁，大部分人都是小學念得很普通，在農村一步步成長的，然後從科員、科長慢慢鍛煉出來，這才是中國真正的人才。

主持人：給大家解釋一下，林院士是30後，1935年出生的，跟我爺爺年紀差不多。

林群：我比他爺爺大得多了，我84歲。

觀眾2：林院士好，主持人好！大家的掌聲已經說明了對您的觀點的認可，但是在數學上，否定一件事情比肯定一件事情容易很多。

我的問題是，現在的評價制度，或者說分數的評價制度是不好的。我們要引導孩子們去思考，養成思考的習慣或者思維方式，但是我們到底應該怎麼做呢？

主持人：您覺得有沒有什麼更好的方式，比現在的制度更適合我們目前的狀況的？

林群：對於這個問題，我是沒有經驗的，但是我覺得，家長要對孩子管得嚴，還是應該強調成績的。

比如說我知道國外一些學生，他們怎麼教育孩子呢？他們覺得孩子喜歡什麼，就應該鼓勵他們做什麼。結果這些孩子都去唸動物學，因為孩子愛狗，愛貓。

如果孩子喜歡貓，我們家長就讓他念貓學，喜歡狗就唸狗學，喜歡動物，就去唸動物學，都去做動物學，行嗎？別的行業誰做呢？

我們中國的家長，讓孩子把小學、中學、大學念好，這是基本功，把這個念好，做什麼都可以。

不能置之不理，讓孩子自動放棄他的教育。小孩不懂學習的重要性，你不逼他，他就無法全面發展，所以還是要“逼”小孩唸書。

只是說，要對小孩要求高一點，要讓他思考，不能滿足於他考得好，得一點小獎，不能滿足於這些雕蟲小技。

但是這些很難做到，我們每個人都希望孩子受最好的教育，孩子受最好的教育，不一定能培養出好科學家。

聽說過去有一個高考狀元，結果去當和尚，當和尚不是不好，但是說明他的發展有限。你學再好有什麼用處，最後你沒有對社會有貢獻。

而像屠呦呦這樣的人，對社會貢獻非常大，我相信她學得不一定最好，但是她研究青蒿素就能成功。

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