這個等式中

第一個輕子流，第二個就是強子流。

總之無論是四費米子理論還是V一A理論，它們在低能標的情況下能很好地描述弱相互作用。可惜都是不重整化的；這一點從他的耦合常數就可以看出來。因為它的量綱是質量平方的倒數。而且在能量標度比較高的情況下（大約300Gev，就會破壞么正性/幾率性）。

那麼我們來簡單說一下重整化是什麼？

簡單點來說，重整化的中心思想，是把不需要的無窮大，用非物理量的無窮大抵消，使得剩下的真正的可測量的物理量保持為合理的有限值。不可重整的理論則意味著它的發散項有無窮多個，沒辦法用有限個參量去抵消，這樣的理論推廣至高能標的時候將會失效。或者講你要引入無窮多個參數，這顯然是不明智的，因為這樣會降低理論的價值。當然這是前期人們的看法，現在人們看法，理論並不一定需要可重整化，這是威爾遜有效場論的觀點。

因此，物理學家們發現弱相互作用的四費米子理論中的無窮大無法用在量子電動力學中的重整化方法來消除，這也就意味著，我們無法解決這個問題。也宣告著我們一開始的美夢有可能要結束。不過幸運的是描述強相互作用的湯川介子理論確實可以重整化的，但是悲慘的是，它是不能用微擾理論的，因為此時相互作用將會變得很強，任何計算都會變成毫無意義的東西。而我們最擅長的就是微擾大法，除此之外我們幾乎什麼都不會了……

由於理論家們並不能直接求解相互作用方程，只能求解自由場方程，因此在具體求解相互作用方程時，就把相互作用看成一種對自由場的微弱的擾動，把與實驗相關的散射截面和衰變寬度等物理量表示成是相互作用強度α的冪級數，然後做級數展開，由於α=1/137很小，所以就可以逐級求出它的近似解。這種方法稱之為微擾論。雖然只是近似但是卻能夠很好的符合實驗。

但是都知道強相互作用太強了，所以無法用這個。實驗所測定的強相互作用的耦合常數g竟然是15，而不像QED中的1/137。因此在後續的展開中強相互作用以十五的倍數增長而不是像QED那樣以1/137的倍數減小。這樣的話，後續無窮多級擾動的幅度變得越來越大，也就不可能去捨棄也就是說我們不可能主取一階還能保證與實驗符合得很好。

舉個例子，（100000000+10.001）^2我們可以近似於，（100000000）^2；但是如果是，（100000000+1000000）^2呢？後面的小量我們不可能忽略。所以說，你不可能用這種理論來進行定量的預測，因此，不管它是不是可重整化的？整個理論都已經無法做任何有價值的計算了。

就這樣弱相互作用遇到了很大的問題，強相互作用也遇到了很大的問題。一開始的美夢似乎就要終結。所以當時人們對於，量子場論，感到很失望，有很多人認為量子場論當時是個過時的理論。

於是有很多人建立了另一個東西那就是希望最終能為強相互作用構築一個完全脫離量子場論的純 S 矩陣理論。但是他們普遍態度對於弱相互作用他們不管不顧，反正交給未來就可以。就這樣，五六十年代，理論物理學家經歷了很多挫折和不斷的艱辛摸索終於得到了三個比較出色的東西；他們分別裡夸克模型，（定域）規範對稱性，自發對稱性破缺。

關於夸克模型這個東西我不想多介紹吧因為大家基本上都瞭解了，而且下面也會涉及到一點；因此，為了節省篇幅，我就不講了。我主要講後面兩個東西，大家可能會有點陌生。

（定域）規範對稱性：

首先我來說一下為什麼稱為他是定域的，因為與之相對的還有整體連連續對稱性。我們先不談這些，先做一下鋪墊；簡單介紹一下，什麼叫規範變換？

規範變換簡單點來說就是在內部空間（與之相對的就是時空）的“轉動”（加引號是因為這裡是數學上的抽象說法）之下，我們對場量作變換。那麼這種變換我們就稱之為規範變換。而內部空間的“轉動”，我們用規範群G來表示。然後就一種叫群參數的東西，他就是變換參數。如果他和時空各個點的位置無關，那麼，時空各點的場就會按照同一個數量變換；我們把這種規範變換稱之為整體規範變換。那麼相類似就是如果有關係，或者群參數是時空點的函數，那麼時空各點的場就會按照各自的數量變化，這種規範變換，我們稱之為定域規範變換。 一般來講，粒子物理學中的規範對稱性指的就是 “定域” 規範對稱性。

我們之所以說它是對稱性的，因為我們在規範變換下不改變作用量。可它也不是真正的對稱性，因為它（規範變換）不改變可觀測量。

之所以會這樣，大概是因為，規範對稱性只是拉氏量的對稱性，而不是體系自身的對稱性，而我們通常所講的一個物理體系有某種對稱性只是指它的動力學對稱性，通俗點來說，就是它的初態和末態經歷一個對稱變換。因此，規範對稱性就是一個多餘的信息。我們壓根就不需要它，我們需要的是，可觀測的，比如粒子的散射振幅，還有粒子自旋等等……總之，反正只要記住，規範對稱性只是拉氏量的對稱性，而不是體系自身的對稱性就可以了。

那麼我們來談一談第三個重要的概念一一一自發對稱性破缺。

對稱性自發破缺簡單點來講就是一個物理體系的拉氏量（把它帶入歐一拉方程，就可以得到該體系的運動方程）具有某種對稱性， 而基態（體系）卻不具有該對稱性。 換句話說， 體系的基態破缺了運動方程所具有的對稱性。

讓時間回到1954 年，這一年楊振寧和米爾斯建立了Yang-Mills 理論，它是量子電動力學的推廣 。具體的區別就是它是以非阿貝爾規範對稱性亦即SU（2）對稱性，取代了量子電動力學所具有的阿貝爾規範對稱性亦即 U(1) 規範對稱性。

講到這裡，在此之前我們先談談U（1）還有SU（2）這些東西到底是什麼。

眾所周知，如果一個群的表示是N維么正矩陣，那就我們就可以稱之為U（N）群。

那麼SU（2）呢？我先舉個例子:

比如說，我們講SU（N）群，其實它就是N維特殊么正群的縮寫。SU（N）群，亦即N維特殊么正群的縮寫。別外，這裡指的特殊，是指它的矩陣行列式值為1，僅此而已。我們都知道，么正矩陣的行列式值可以是1也可以是-1，但是我們可以加上一個特殊將研究的對象限定為行列值為1的矩陣。

好了，解釋到這裡，我們言歸正傳。

一開始人們是希望，把這個理論弄在強相互作用上。因為它的規範對稱群呢，是描述同位旋守恆中的 SU(2) 對稱群。關於同位旋你可以類比成自旋。最早提出這個的是德國物理學家海森堡。他認為中子和質子其實是沒有任何區別的。之所以認為這樣的是因為海森堡當時認為在不考慮庫侖也就是電磁相互作用下呢，其實質子和中子質子和質子中子和中子之間的核力也就是強相互作用其實是沒有任何差別的，所以他當時認為在不考慮電磁相互作用的情況下，我們可以認為他是同一種粒子。那麼我們都知道中子和質子呢，質量算是差不多的；但是，中子重一點。所以，這就是為什麼中子衰變成質子和電子還有反電子中微子而沒有逆變化的原因就是因為這個質子比中子質量小那麼一點。

海森堡當時認為這一點質量差異的源自於電磁相互作用的貢獻，也就是起源於電磁相互作用。因此這樣，他認為完全可以類比自旋，把質子和中子看成同位旋二重態，但是呢！這東西又沒有方法直接測量，所以只能直接推理推算。需要注意的是，同位旋和自旋沒什麼關係只是仿照而已。

但是呢，Yang-Mills 理論一開始是有很大問題。其主要障礙就是質量問題，因為規範對稱性禁止規範玻色子帶有任何靜止質量可是任何無質量的規範玻色子顯然早該被發現了但是，現實中卻沒有發現。所以這個理論只是個框架，而且還有致命弱點。所以開始人們並不看重，並不怎麼注意。

當然有一部分人，注重它採用非阿貝爾群。也就是不可交換的

這樣會有自相互作用。而引力量子化正好比較對胃口。所以有一部分人把它用在上面練練手。

可是無論它是用在這裡，還是用在弱相互作用、強相互作用上，都逃避不了前面所講的質量問題。當然有人會想到，可以在拉氏量再加一個質量項，這樣不就解決了嗎？可是這樣帶來的問題就是，這樣做的後果就是破壞了原來的規範對稱性。而且這樣做的話也會導致不可重整化。並不比費米提出來的四費米理論有效到哪裡去。

難道就這樣被放棄了？事實是並沒有，有趣的是還有一個東西也面臨一個問題，那就是對稱性自發破缺。南部和一些人證明整體對稱性自發破缺會導致生成一種無質量的粒子，被稱之為南部一戈德斯通粒子。但是現實中，這種粒子並沒有被發現過，所以說這個理論的致命問題。後來有人把這兩個東西合在一起，會有什麼東西產生的？結果驚奇的發現它們這樣可以互相解決，也就是說這兩個理論所面臨的零質量粒子問題可以互相抵消，然後再加上希格斯他們的提出了一個質量機制呢，然後溫伯格、格拉肖、阿薩姆在此基礎上提出的弱電統一理論／量子味動力學。弱電統一理論它的規範群就是:SU（2）xU（1）這種形式。在弱電統一的能標之下，大概是100GeV弱電統一理論是這樣認為的，他認為，電磁的U(1)實際上是SU(2)xU(1)中的那個U(1)生成元與SU(2)之中的生成元T＿3混合得到的，而SU(2)的生成元則用於描述弱相互作用。我們簡單的介紹完弱電統一理論，我們簡單介紹一下，量子色動力學。在上世紀五六十年代，高能物理實驗得到了飛速的發展，所以，發現了很多，新的粒子。美國的蓋爾曼還有一個人，他們發現可以用SU（3）群的對稱體系來描述實驗室中發現的強子態，所謂的，這個群呢。我前面，介紹過了，我來簡單的再講一。再講一遍。SU（3），他是矩陣的行列式為1的3x3么正群。這種對稱性呢，他是同位旋對稱性的延伸。我們知道海森堡提出來的那個同位旋他是用SU（2）群來描述的，那麼這個SU（3）就是它的延伸。人們發現用這個可以將實驗室發現的那些強子態粒子能夠很好的分類在一起，然後到了六十年代初，根據大量的實驗數據，然後蓋爾曼和那個費曼的學生喬治.提出了一個猜想和假設他認為所有的重子、強子還有介子它們都有他們都是三重態構成的。換句話說，它們都是三重態粒子的束縛態，後來我們當然都知道介子是夸克與反夸克的束縛態。而蓋爾曼將這些三重態粒子稱之為夸克。

這裡比較有趣的好像就是費曼當時提出部分子模型，也就是當時實驗中發現中子和質子是有內部結構的，但是不一定是夸克，當時沒出來夸克模型。當時他是根據一些實驗數據提出了部分子模型。能夠符合一些現象。應該說部分子模型其實是夸克模型的前身。當時費曼並不怎麼看好夸克，他也認為夸克不存在，但是具有諷刺意味的就是竟然是蓋爾曼與費曼的博士生一起提出來這個夸克模型。就這樣，如果夸克模型用SU（3）群三重態的話，那麼一定存在三種夸克，第一種是上夸克，第二種是下夸克，還有一種就是奇異夸克。

當然了，我們後來引入的其它夸克是因為通過實驗發現了其他東西粒子被引入用來解釋的。關於這方面，我以後再講。

有了夸克模型之後，我們來談一談色自由度的引入。夸克的色它只是一個量子數，他絕對不是什麼顏色。我記得好像是費曼說（關於這些術語）物理學家們的，文學水平低的可憐。因為這確實，會引起別人的誤會。因為夸克還有味也就是所謂的味態，如輕子，他是有三個味態（電子，謬子，陶子）；然後夸克有六個味態（上、下奇異、底、粲、頂）。然後他們還分為世代……然後還有三色紅藍綠。大家都知道夸克他是費米子，所以他應該符合費米一狄拉克統計。

如果是玻色子的話，就應該符合，玻色一愛因斯坦統計。

所以假如在一個由三個夸克構成的複合粒子中，我們任意交換兩個那麼他就是反對稱的。但是在他們提出了早期的夸克模型中並不是這樣。比如我們舉個例子，某種粒子，他的自旋量子數為3/2，他有三個u夸克構成，處於基態。

三個夸克它們是自旋朝上的，所以是對稱的。另外他們都是同一種味態，也就是他們的味空間是對稱的。

但是如果要求符合費米一狄拉克統計詮釋的話，那麼這就意味著總波函數是反對稱的。換句話講就必須有某一部分是反對稱的，那麼是什麼呢？如果是空間部分的話是不可能的，因為他們屬於基態，因為基態波函數總是對稱的。所以這就導致了他是不可能符合費米狄拉克統計的。難道是費米一狄拉克統計詮釋出錯誤了？當然大部分物理學家們相信是不會出錯誤的，因此有人用了另一種東西，就是重新引入一個新的自由度。只要要求這個新的自由度是反對稱的，那麼，總波函數就是反對稱的，所以還是符合。這個新的自由度被稱為色自由度。就這樣〝顏色〞被引入了；但是這種人工的引入絕對引起一些人的不同意，所以要用實驗去檢測。那麼實驗是怎麼檢測的呢？根據理論模型，在高能正反電子湮滅到強子的截面依賴於夸克的電荷，還有色的數目。

那個高能正反電子對湮滅成強子截面，這個的過程的主要都是高能正反電子對湮滅轉變成正反夸克對，然後正反夸克對構成強子；大概是這樣過程。其實這個過程它類似於高能正反電子對湮滅轉化為正反謬子對。因此，我們可以定一個東西亦即截面比R，分子是高能正反電子對湮滅成強子截面，分母是高能正反電子對湮滅轉化為正反謬子對截面。根據早期夸克模型引入色自由度做出來的預測，我們很容易計算出這個R（比值）＝2；而實驗所測得也是這個值。但是如果沒有色自由度的話，那麼這個比值R是二分之三，這與實驗不符合，所以這驗證色自由度是現實存在的；這也是一個證據，當然還有其他證據。

就這樣量子色動力學一步一步被建立起來了。