所謂旋輪線，是指一個圓在一條定直線上滾動時，圓周上一個定點的軌跡。歷史上，伴隨著力學以及運動學的發展和進步，眾多一流數學家投入對這一曲線的研究。然而，由於出現了很多不和諧的事情，導致這一曲線被稱為"幾何學中的海倫"。
（一） 兩點之間最快的竟然不是直線？
在一個斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲，起點高度以及終點高度都相同。兩個質量、大小一樣的小球同時從起點向下滑落，曲線的小球反而先到終點。這是由於曲線軌道上的小球先達到最高速度，所以先到達。然而，兩點之間的直線只有一條，曲線卻有無數條。那麼，哪一條才是最快的呢？
這個問題是伽利略於1630年提出的。當時他認為這條線應該是一條圓弧，可是後來人們發現這個答案是錯誤的。1696年，瑞士數學家約翰·伯努利解決了這個問題，他還拿這個問題向其他數學家提出了公開挑戰。牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅克布·伯努利等很多人解決了這個問題。這條最速降線就是一條擺線，是旋輪線。
數學發展歷史上出現很多軼事，旋輪線的段子是關於伽利略的：在沒有微積分的年代，想要計算旋輪線下所包圍的面積幾乎是一件不可能完成的任務。
據說， Galileo 曾經用一種非常流氓的方法，推測出了旋輪線下方的面積。他在金屬板上切出一塊圓片，再在金屬板邊緣剪下這個圓形所對應的旋輪線，把它們拿到秤上一稱，發現後者的重量正好是前者的三倍。於是，他推測，半徑為 r 的滾輪所產生的旋輪線，其下方的面積就是 3πr2 。
利用積分及定積分結合旋輪線的參數表達式來計算，我們可以看出旋輪線具有下述性質：
旋輪線下的面積，為生成圓面積的3倍； 旋輪線的弧長，為生成圓直徑的4倍；
尤其是它的弧長，竟然是一個與π無關的有理數。因此，這就解釋了為什麼在17世紀眾多數學家對它趨之若鶩，並橫生枝節了。
（二）旋輪線兩個常見有趣的應用
滑梯是兒童樂園中常見的玩具。一般滑梯的滑板是平直的。小朋友從滑板上下滑的軌跡是一條線段。還有一種滑梯，它的滑板是彎曲的，小朋友下滑的軌跡是一段按最速降線設計的曲線。假設這兩個滑梯的高度一樣，並且有兩個體重完全一樣的小朋友同時分別自滑梯的頂點處下滑，這兩個小朋友哪一個先到達地面？平面幾何知識告訴我們：滑平直滑板的距離要比彎曲滑板的距離短。因此，前者所需要的時間要比後者為短。也就是說，前者先到達地面。但是，事實恰恰相反。
實驗告訴我們，先到達地面的不是平直滑板上的小朋友，而是彎曲滑板上的小朋友！這是什麼原因呢？兒童在滑梯上之所以能下滑，是因為受到重力的作用。由於板面不同，所以在下滑方向上所受到的重力分力大小也不同。重力分力越大的，下滑的速度也越大。沿著最速降線下滑，可以得到最大的重力分力，下滑的速度也最快。因此，雖然在最速降線板面上下滑的距離長，但還是先到達地面。
最速降線在建築中也有著美妙的應用。我國古建築中的"大屋頂"，從側面看上去，"等腰三角形"的兩腰不是線段，而是兩段最速降線。例如故宮裡就隨處可見。這種原理設計的好處有很多。當夏日暴雨時，可以使落在屋頂上的雨水以最快速度流走，對屋頂起到保護作用。同時也帶來優美的視覺體驗效果。我們的古人是不是很聰明呢？這樣看來，"最速降線"這個名字倒是名符其實的。
（三）旋輪線的物理意義
旋輪線又稱擺線，它有個很重要的性質：就是當單擺沿著該曲線擺動時，擺動週期與振幅無關。因此其在精密鐘錶的製作中發揮了重要作用。
根據擺線原理製作的行星傳動齒輪機構，具有傳動比大、結構緊湊、運行平穩、效率高、壽命長等特點，在機械傳動領域得到廣泛應用。另外，擺線還是最速降線問題的唯一解。對它的研究，導致數學上一個重要分支：變分學的出現。
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