如果人的心靈會被化簡為幾條僵化的規則，那會是一件令人極度悲哀的憾事。幸運的是，哥德爾證明了，情況不會是這樣。——霍夫斯塔特

哥德爾與愛因斯坦

歷史總是相似，命運總是相惜。談到愛因斯坦，人們想到的或許是玻爾，而愛因斯坦本人想到的是哥德爾。1905年，愛因斯坦在《論動體的電動力學》中提出狹義相對論，開創了物理學的新紀元；1931年，哥德爾在《論“數學原理”及相關係統中的形式不可判定命題》中提出不完備性定理，開創了數學的新紀元。1951年愛因斯坦為哥德爾頒發了首屆“阿爾伯特·愛因斯坦獎”，稱其工作是“近年來對科學所做的最偉大貢獻之一”。至於後來呢，倆人就在一起了。

當然是在一起上下班，愛因斯坦曾說“去上班不過是為了和哥德爾一起走路回家”

愛因斯坦的相對論表明，所有的參考系中，物理規律都是等形式的，沒有一個參考系比其它的更特殊。哥德爾的不完備性定理則表明，數學系統中總存在一些不可證明亦不可證偽的命題，沒有一個數學系統比其它的更優越。由此看來，這一定理完全等價於數學中的“相對論”。

哥德爾與愛因斯坦談笑風生

現在很少有人瞭解哥德爾不完備性定理，這不足為奇，因為當年哥德爾推翻數學和邏輯學的基本假設時，也很少有數學家能夠理解它的複雜證明。但正如愛因斯坦所說，這是科學偉大的貢獻，也是我們必然要正視的存在。

在接下來的多篇文章中，我們將一一展開哥德爾的數學證明。雖然不像物理那樣新奇，讓思維跳躍，但是數學的枯燥必使思想沉澱。

一致性問題

十九世紀，數學的日益發展和抽象化引發了一個十分嚴肅的問題：作為一個理論體系基礎的一組公理是否是內部一致性的，是否能確保不會推出相互矛盾的定理?

以上是數學基本概念，需要注意的是，有矛盾的公理體系可以推導出任意命題都成立。例如，假設1+1=2和1+1=3兩個矛盾的命題成立，則可以推出0=1，繼而0=1=2=3=n，即任意數。

那個時代的數學，同物理學一樣飛躍式發展，很多曾付出極大努力而無所收穫的基本問題得到了解決。例如，2000多年前希臘人提出的三大尺規作圖問題：三等分角、倍立方體及化圓為方，終於從邏輯上證明是不成立的。

尺規作圖與五種運算的對應：加減、乘除及開方。

三大尺規作圖問題的實質在於特定方程的根的類型，這催生了伽羅瓦的群論，促進了對數的性質和連續統結構的研究，為數學系統填補了新的邏輯基礎。

伽羅瓦理論：用群論的方法來研究代數方程的解。

千年之問的解決，讓希爾伯特意識到，數學理應是一致性的，於是他提出了建立數學大廈的構想：完善堅實的數學公理體系，證明一切存在的命題。

你能通過純思維找到答案，因為在數學中沒有不可知。——希爾伯特。

或許上帝是擲骰子的，歷史總喜歡開玩笑，因為阻礙希爾伯特構想進程的同樣也是希臘人提出的另一個問題——平行公理到底能否從歐幾里得的其他的公理中推導出來？這一問題直接關係到了歐氏幾何的一致性和完備性。

歐氏幾何平行公理：過直線外一點，有且只有一條直線與之平行。

最終這個問題由羅巴切夫斯基和黎曼創立的非歐幾何，證明了在歐氏幾何中從其他公理推導出平行公理是不能被證明也不能被證偽的。確切的說，平行公理其實是決定非歐幾何和歐氏幾何的公理基礎，是區分二者的分界線。

羅氏幾何平行公理：過直線外一點，有無數條直線與之平行。

黎曼橢圓幾何的一致性問題：通過建立橢圓幾何與平面幾何的一一對應關係，將橢圓幾何公理中的“平面”對應為一個歐氏幾何球面，將“點”解釋為在球面上的頂點，而“直線”解釋為球面上的一個圓等等。每一條橢圓幾何的公理都變成了一條歐幾里得定理。因此，歐氏幾何的一致性可以保證橢圓幾何的一致性。

黎曼幾何平行公理：過直線外一點，沒有直線與之平行。

問題在於非歐幾何中是否仍存在像平行公理這樣不可證明或證偽的命題？歐氏幾何的一致性怎麼證明？為了最終解決一致性問題，一勞永逸地消除對數學基礎以及數學邏輯可靠性的懷疑，希爾伯特在《幾何基礎》中建立了純粹演繹系統和元數學理論，這時候哥德爾卻告訴他，《幾何基礎》中最初的基礎是錯的，希爾伯特的數學大廈轟然倒塌。

數學：人類歷史發展中不可替代的科學。

至此，什麼是元數學理論？還有接下來哥德爾的重要工作，包括形式邏輯的編碼、元數學的算術化以及哥德爾論證等內容，我們下篇再論。

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