一個受盡欺凌的民族，如何孕育出聞名世界的數學學派

丁玖 美國密西西比大學數學系教授

波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基。圖源：Wikipedia

波蘭數學家謝爾賓斯基非常高產，在集合論、數論、函數的理論和拓撲學上都做出了傑出的貢獻。

然而，他對整個數學世界、對他飽受苦難的祖國最偉大的貢獻，卻在於他一生致力於波蘭數學學派的建立與壯大。他漫長的一生，充分展示了這位波蘭數學領袖的眼光、智慧及其對一代代青年數學家的教導。

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10月21日，是波蘭數學家謝爾賓斯基（Waclaw Sierpiński，1882-1969）逝世50週年的日子。一百年來，全世界的數學家從他的724篇學術論文和50本書中獲得思想、靈感和知識：集合論得益於他關於連續統和選擇公理的基礎性研究；數論學者從他眾多的數論文章和教科書中中獲取信息與養料；他和俄羅斯傑出數學家魯金（Nikolai Nikolaevich Luzin，1883-1950）的長期合作，為實變函數論的雄偉大廈添磚加瓦；作為不規則點集的先驅構造者，他留下的“謝爾賓斯基三角形”成為現代分形中的璀璨之作。

01 多產的數學家

謝爾賓斯基的出生日期很 “數學”，那天是3月14日，即當今熟知的 “π日”，而且他的第一本著作專門研究無理數。受到博士導師之一、數論學家 Georgy Voronoy（1868-1908）的影響，他在早期的科學生涯中特別鍾情於數論，大學畢業前研究的獲獎題目也跟數論有關，並與數學王子高斯（Friedrich Gauss，1777-1855）的一項工作結下了歷史淵源。去世前的二十年，他又回到所鍾愛的數論領域繼續耕耘。

說到謝爾賓斯基的數學貢獻，對混沌尤其是分形學科有點了解的人馬上就會想起謝爾賓斯基三角形的構造：給定一個等邊三角形，去掉連接它的每條邊中點所形成的那個每邊尺寸減少一半的等邊三角形，但保留它的三條邊，然後對剩下的三個同樣尺寸的等邊三角形做同樣的事情，接下來再對剩下的九個同樣大小的更小的等邊三角形重複做，這樣一直做到無窮；所有那些沒有被拿走的點組成一個集合，它處處稀疏，像海綿一樣處處有洞，但包含有不可數個點。這就是謝爾賓斯基在一百年前構造的 “奇怪點集”，它是集合論創始人康托爾（Georg Cantor，1845-1918）在閉區間 [0, 1] 上構造的著名 “康托爾三分集” 在平面上的類似物。這兩個圖形由於 “分形之父” 芒德布羅（Benoit Mandelbrot，1924-2010）於1960年代開創的分形領域而變得大放異彩。

謝爾賓斯基三角形 圖源：Wikipedia

科學巨人革命性工作的出現之初常常步履維艱，甚至有被扼殺在搖籃的危險。謝爾賓斯基的前輩同胞哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473-1543）的 “日心說” 就是最好的例子。與謝爾賓斯基同時代的法國數學家勒貝格（Henri Lebesgue，1875-1941）創造了他的積分理論，但習慣於可微函數黎曼積分的人根本理解不了他，遂使他成為不受歡迎的 “沒有導數的函數人”。但是，真理最終會戰勝偏見，如今勒貝格積分早已成了現代分析數學的 “通用語言”。同樣，謝爾賓斯基的 “分形三角形” 和其它幾個經典的具有 “自相似性” 特點的漂亮點集，經過半個多世紀的冷遇和滄桑，如今被視為對於眾多自然現象的比光滑幾何更自然和更恰當的數學描述。

二十年前，美國一所大學的華人幾何學教授張新民，把經典的謝爾賓斯基三角形推廣到任意的三角形，所得到的分形構造的方法是對三角形的各頂點作對邊的垂線，再去掉由三個垂足所構成的那個中間的 “垂足三角形”。對謝爾賓斯基無比崇拜的張教授將這一大類新的分形命名為 “謝爾賓斯基垂足三角形”，儘管謝爾賓斯基三角形只是其中的外形三個角都是60度的那一個。

令謝爾賓斯基成名的第一項數學工作是他在大學畢業前最後一年中做的，研究了著名的格點問題，通常被稱為“高斯圓問題”。平面上的格點是那些座標為整數的點。用N(r)表示以原點為中心、以r為半徑的圓所包含的格點個數，則存在常數C和k使得對所有半徑r都有

|N(r) –πr²| < C r^k

令d為滿足上述不等式的最小的指數k。高斯於1837年證明d ≤ 1。謝爾賓斯基的主要貢獻是他證明可以將它改進到 d ≤ 2/3。隨後的一百年，這一數值在不斷被數學家們精確。到目前為止，最佳結果大概是 d ≤ 7/11。

02 波蘭數學學派建立

謝爾賓斯基是為數不多的多產數學家，但他對整個數學世界、對他飽受苦難的祖國最偉大的貢獻，卻在於他一生致力於波蘭數學學派的建立與壯大。他漫長的一生，充分展示了這位波蘭數學領袖的眼光、智慧及其對一代代青年數學家的教導。

近現代的波蘭既是一個長期遭受外來侵略的國家，也是世人皆知的幾大歷史偉人的誕生地，哥白尼、肖邦都誕生於此。20世紀的上半葉，集中在華沙和利沃夫形成了兩大波蘭數學學派。

華沙學派的強項在於集合論、數理邏輯、點集拓撲和函數論，它們大都與數學的基礎密切相關，在其幾十年的發展和壯大過程中，謝爾賓斯基是名至實歸的主要領袖。

利沃夫學派是新興學科泛函分析的主要設計師，以泛函分析幾大定理的發現和證明著稱於世，直到第二次世界大戰結束那年因病去世，巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）始終是其當之無愧的王者，另一個領袖是發現巴拿赫天才的斯坦豪斯（Hugo Steinhaus，1887-1972）。

波蘭數學學派湧現出一大批的傑出學者，包括領袖數學家謝爾賓斯基、泛函分析集大成者巴拿赫、調和分析權威贊格蒙（Antoni Zygmund，1900-1992）、拓撲學家博蘇克（Karol Borsuk，1905-1982）、美國氫彈之父烏拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）、另一位拓撲學家艾倫伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）、概率論名家卡茨（Mark Kac，1914-1984）。其他的幾大波蘭數學家，如馬祖凱維奇（Stefan Mazurkiewicz，1888-1945）、紹德爾（Juljusz Schauder，1896-1943）、庫拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski，1896-1980）、薩克斯（Stanislaw Saks，1897-1942）、塔爾斯基（Alfred Tarski，1902-1983）等，都是在國際數學界如雷貫耳的名字。

為什麼受盡周圍列強欺凌，於東邊俄國、西邊德國之夾縫中掙扎生存的波蘭民族，在一百年前能孕育出一個聞名世界的輝煌數學學派，為人類貢獻出如此強大的數學家群體？回答這個問題的一條線索，來自於19與20世紀之交的波蘭狀況以及謝爾賓斯基的 “數學履歷”。

在謝爾賓斯基的青少年時代，德、奧、俄三國瓜分了波蘭，德國人在其佔領區幾乎摧毀了波蘭文化，華沙和利沃夫分別由俄羅斯和奧地利佔領。在華沙俄國人統治的大中小學校，俄國語驅逐了波蘭語，直到進入20世紀不久才由於俄國革命的興起而慢慢改變，波蘭語終於進入中小學，波蘭文化得以繼承。利沃夫的情況稍好，那裡的兩、三所大學，保持了波蘭的科學傳統。但是，由於山河破碎，許多有志青年留學國外，如在巴黎大學獲得博士學位的亞尼謝夫斯基（Zygmunt Janiszewski，1888-1920）以及在哥廷根大學求學過的謝爾賓斯基、斯坦豪斯和馬祖凱維奇。第一次世界大戰的爆發，導致第二年俄國撤離華沙，波蘭人民終於建立了自己管理的華沙大學，謝爾賓斯基曾經的助手亞尼謝夫斯基和學生馬祖凱維奇隨即被聘為華沙大學的教授。

至於謝爾賓斯基，他於19世紀的最後一年進入了俄國人統治的華沙大學數學與物理系就讀，四年後畢業時由於上文所述的關於高斯圓問題的文章而獲得一枚金質獎章。他不想用被當局強迫使用的俄語發表他的工作，又等了四年才在一份波蘭語的雜誌上刊登。那一年他由於康托爾工作的激勵開始了集合論的研究。1906年在拿到 Jagiellonian 大學的哲學博士學位後，他先去了華沙的一所中學教書，兩年後受聘於利沃夫的 Jan Casimir 大學擔任助理教授，1910年被提升為副教授。在那裡的六年中，除了撰寫了許多高質量的論文外，他還出版了三本書，分別是《無理數的理論》（1910）、《集合論概要》（1912）及《數論》（1912）。1914到1918是世界大戰的四年，大戰爆發時謝爾賓斯基滯留在俄國，於是待在莫斯科與剛從哥廷根大學回國的魯金合作研究，碩果累累。大戰一結束，他回到了利沃夫，但同年秋，新生的華沙大學向他招手了。謝爾賓斯基接受了聘書，當年就去了華沙，第二年成為那裡的正教授。

新加盟的謝爾賓斯基與亞尼謝夫斯基及馬祖凱維奇馬上強強聯手，很快形成了一個集合論和點集拓撲學的研究中心。然而波蘭學派尚未形成，因為一戰之前的波蘭人辦的兩所大學總共只有四名數學教授，包括謝爾賓斯基和他的兩名博士導師，分別研究解析幾何、數論和集合論、微分方程和微分幾何，力量相當薄弱，新生的一代還未有環境和機會成長。這時候，波蘭數學學派的先驅者亞尼謝夫斯基提出了目光深遠的

“要把波蘭的科學力量集中在一塊相對狹小的領域裡，這個領域應該是波蘭數學家共同感興趣的，而且還是波蘭人已經取得了世所公認成就的領域。”

這是發展數學的一個正確思路，與中國革命戰爭史上的“集中力量打殲滅戰”的指導思想相一致。亞尼謝夫斯基接著寫道：

“對一個研究者而言，合作者幾乎是不可少的。孤獨的環境多半會是他一事無成。……孤立的研究者知道的只是研究的結果，即成熟的想法，卻不知道這些想法是怎樣及何時搞出來的。”

更進一步，亞尼謝夫斯基還提出了具體的措施，其中關鍵的一個就是 “辦好一份自己的有特色的數學期刊”。他創辦了波蘭民族自己的專業雜誌《數學基礎》（

1920年，隨著謝爾賓斯基和馬祖凱維奇編輯的《數學基礎》第一卷的出版，華沙數學學派，步履堅定地登臺亮相。隨後，在巴拿赫的帶領下，利沃夫學派成長了，與華沙學派雙雄並立，一起構成了屹立於世界數學之林、獨樹一幟的 “波蘭數學學派”。

在華沙，謝爾賓斯基等幾位數學教授，開始實施亞尼謝夫斯基提出的戰略設想。他們將一批青年才俊集合在麾下，集中研究集合論、拓撲學、函數論等基礎數學的幾大新興分支，用討論班的形式助其成長，庫拉托夫斯基、薩克斯、贊格蒙、塔爾斯基等就是從這裡起步的。

波蘭青年數學家很快成長起來，《數學基礎》刊登的大都是波蘭人高質量的文章。為了擴大影響，儘早讓波蘭數學傳播出去，文章大都是用歐洲通行的英文和法文寫就，儘管國家已經獨立，母語可以合法使用。在勒貝格信告謝爾賓斯基的

在謝爾賓斯基的主持下，《數學基礎》辦得很成功，後來成名的波蘭數學家的早期論文很多登在上面，如巴拿赫1920年在利沃夫技術大學完成的博士論文，以及烏拉姆18歲時在利沃夫技術大學聽庫拉托夫斯基課時解決一個集合論問題所寫的第一篇文章，都發表在這個雜誌上。可以說，《數學基礎》雜誌是那一代年輕波蘭數學家成長的搖籃和成名的場所。15年後它被譽為在集合論和函數論領域最吸引國際數學界注意的專業期刊，那年的紀念特刊上記錄了一位波蘭數學家的自豪之語：

“波蘭一向擁有偉大的人物，他們往往工作得十分成功，能夠屬於整個領域和那一時代的亦非少見。但是，現在的波蘭數學家不僅有傑出的個人，而且有一個人數眾多的組織起來的全力進行創造性科學工作的團體，它已經有了自己的數學學派。”

上段評述概括了波蘭數學學派為何迅速崛起的前因後果。首先是歷史的傳承，這是一個產生過哥白尼的偉大國家，尋求真理而不是尋求功利已成人們精神層面上的常態。其次有謝爾賓斯基為首的 “華沙三劍客” 和巴拿赫及斯坦豪斯 “利沃夫兩先鋒” 這樣的領路人。剩下的就是這個學派的主體——一批既有數學天才又像肖邦那樣有家國情懷，力圖讓祖國在科學上強盛的青年才俊。

03 “謝爾賓斯基數”

如果我們檢視一下波蘭數學家的 “家族樹”，就可看出謝爾賓斯基有多少個 “徒子徒孫”。他於1913年指導了馬祖凱維奇的博士論文，後者分別於1922、1923及1930年指導了薩克斯、贊格蒙和博蘇克的博士論文，並與亞尼謝夫斯基於1921年共同指導了庫拉托夫斯基的博士論文，而庫拉托夫斯基則於1933年指導了烏拉姆的博士論文，三年後又指導了艾倫伯格的博士論文。這些傑出學生後來在波蘭、美國等地帶出了大量的數學博士。

在謝爾賓斯基指導下於1924年完成博士論文的奈曼（Jerzy Neyman，1894-1981），後來成了世界著名的數理統計學家。在到美國加州大學伯克利校區任教前，他於

謝爾賓斯基最優秀的學生之一庫拉托夫斯基，於1980年在波蘭科學出版社出版過歷史回顧《波蘭數學五十年》，在導師逝世三年後也專門在謝爾賓斯基生前擔任主編的數論學術期刊 Acta Arithmetic上著文回憶老師，感情真摯而豐富，評述客觀而貼切。對於謝爾賓斯基對集合論的貢獻，庫拉托夫斯基這樣評價：“這個學科形成系統理論主要歸功於謝爾賓斯基。他基於1909年所寫教材，1912年出版的《集合論概要》是世界上對這一理論最早的系統闡述之一。”

在庫拉托夫斯基眼裡，兩次世界大戰之間的二十年是謝爾賓斯基的科學生涯最輝煌的時期，那是他從36歲到57歲的壯年期間：無數的學術論文、關於 “Zermelo-Fraenkel 集合論及廣義連續統假設隱含選擇公理” 的傑出工作，以及像華沙科學會主席等繁忙的學術領導行政事務。這個階段波蘭年輕學者的茁壯成長，庫拉托夫斯基如此寫道：“大量學生的教育，數目如此之大以至於幾乎每一個年輕的波蘭數學家直接或間接地都是謝爾賓斯基的學生。”由此可見，人們可以對數學家像定義 “埃爾德什數” （關於埃爾德什，詳見“提攜數學天才陶哲軒的伯樂是誰？“）那樣定義 “謝爾賓斯基數” 了——將定義所依據的 “合作論文作者關係” 改為 “博士論文師生關係”。

04 數學強國夢

二戰的爆發起始於1939年9月1日納粹對波蘭的閃電式入侵。這場浩劫，僅僅波蘭籍數學家的非正常死亡，人數就達到將近一半，尤其是具有猶太血統的。創造出著名不動點定理的紹德爾和對積分論貢獻不凡的薩克斯被德寇槍殺，馬祖凱維奇和巴拿赫遭受德國人迫害，分別在1945年二戰勝利日前兩個月和前兩天去世。烏拉姆和卡茨因戰前去了美國，保住了性命，也為美國做出了巨大的貢獻。其他逃到那裡的波蘭數學家，如贊格蒙、塔爾斯基和艾倫伯格等，為美國培養了新一代的數學家，如贊格蒙於芝加哥大學指導的博士斯坦（Elias Stein，1931-2018）獲得1999年度的沃爾夫數學獎，他眾多的優秀博士生中，有費弗曼（Charles Fefferman，1949-）和陶哲軒（Terence Tao，1975-）兩位菲爾茲獎獲得者。

在那殘酷的戰爭年代，謝爾賓斯基沒有離開祖國，幫助愛國同胞的抵抗運動，在 “地下華沙大學” 為少量學生教授數學，並繼續研究學問，完成了十幾篇文章和幾本書。他設法將他的論文寄到意大利，這些文章的最後一句話都是：“這些定理的證明將在《數學基礎》的出版中出現。”這是他堅信他的研究結果將會在祖國解放之日發表的鏗鏘之言！在他的一生，愛國是生命中的主旋律。早在1919-1921的波蘭-蘇聯戰爭中，他就和馬祖凱維奇幫助國家密碼局破譯對方的軍事密碼。後來三位年輕的波蘭數學家為破譯德國的密碼立下了汗馬功勞，其中的雷耶夫斯基（Marian Rejewski，1905-1980）為之證明的一條定理被譽為 “打贏第二次世界大戰的數學定理”。

追尋上個世紀的波蘭數學發展史以及與此密切相關的謝爾賓斯基個人奮鬥史，給當今希望早日實現數學強國之夢的中國數學界不無啟發。

歷史上，稱之為“數學學派”的團體並不多見，著名的有以克萊因（Felix Klein，1849-1925）和希爾伯特為領袖的德國哥廷根學派、以切比雪夫（Pafnuty Ljvovich Chebyshev，1812-1894）為旗幟的俄國聖彼得堡學派、以魯金為代表的莫斯科函數論學派、以卡斯泰爾諾沃（Guido Castelnuovo，1865-1952）、恩裡奎斯（Federigo Enriques，1871-1046）和塞維裡（Francesco Severi，1879-1961）為代表的意大利代數幾何學派、以維諾格拉多夫、亞歷山大羅夫（Pavel Sergeevich Aleksandrov，1896-1982）、柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）等為中心的蘇聯多個學派。

在中國的現代數學史上，即便陳建功（1893-1971）和蘇步青（1902-2003）在浙江大學於各自的領域培養了一批人才，但他們與成長中的學生尚未形成在本專業傲視群雄的一代學派。40年代還在國內的陳省身（1911-2004）儘管在微分幾何領域做出了世界級的成果，也提攜了吳文俊（1919-2017）等一批數學新秀，但由於他隨即赴美並長期定居那裡，也未能有機會幫助祖國建立微分幾何的中國學派。只有從50年代起，由於華羅庚（1910-1985）的歸國，一批傑出青年數學家快速成長，逐步形成了一個規模不大的中國數學學派，尤其在解析數論方面在世界數壇佔有一席之位。這個解析數論的學派迄今已經傳承了至少三代，丘成桐對其中的佼佼者讚譽有加。

然而，華羅庚時代的中國數學學派，還是未能像波蘭學派那樣，在數學的幾個前沿領域成為世界的翹楚。華羅庚1960年代前的數學成就可能直追謝爾賓斯基，其開創性甚至可能與之旗鼓相當，他也和對方一樣具有強烈的愛國情懷，希望通過發現、挖掘數學天才，幫助他們迅速成長，做出舉世聞名的工作，籍以提高整個中華民族在世界數學之林中的地位。這也是他當年毅然回國的根本原因之一。

但是，中國不像波蘭，科學啟蒙的歷史沉澱太少，儒家文化的消極影響太大，功利主義的影子隨處可見，加上有時非學術因素的客觀干擾，使得形成穩固學派的努力難以奏效。憶往昔，看今朝，中國數學界在某些方面長期缺乏團結精神，缺乏寬容氣度，缺乏民主意識，這都是路人皆知的事實。

近幾十年來，國內數學界缺少像華羅庚和陳省身那樣具有崇高威望的領袖數學家，部分有影響人士缺乏寬闊胸襟， “公說公有理婆說婆有理” 的事常有所聞。如果一盤散沙、山頭主義的現象難以消去，就會繼續妨礙數學家們擰成一股繩攜手並進，共同努力培養人才，結果是追求真理和學問似乎必須讓位於追求權力和地位。在這樣的背景下，成就一個眾望所歸的數學學派絕非易事。

中國數學界一直想求解本世紀成為數學強國的 “陳省身之問”。陳省身晚年回國定居，對提升中國的數學不遺餘力。雖然他對採訪者也直言 “數學研究主要是個人的事”，但他心目中的中國數學應該像蘇聯時代的俄羅斯那樣人才濟濟一堂、學派百花齊放；像巴拿赫麾下以烏拉姆為骨幹的利沃夫數學學派成員那樣在附近的咖啡店整日不停地討論數學，並留下記錄在案、舉世聞名的 “蘇格蘭數學筆記”。

中國有眾多的可塑之才，只要環境合適，傑出人物總會脫穎而出，目前的發展勢頭正朝這方向前進。但僅僅靠個人的奮鬥對於形成一個受人尊崇的科學學派還不充分。“一花齊放不是春，萬花齊放春滿園。”一個學派的誕生與持續，靠的是一部分本領域精英的共同努力，靠的是學問高、凝聚力強的德高望重人士。他們需要有共同的目標和理想，他們必須要團結一致，他們要做到心胸寬廣，他們必定要克服私心。總之，他們一定要讓自己成為好的研究者、好的教育者、好的組織者、好的領導者、好的行動者、好的青年導師。

謝爾賓斯基的一生實踐，以及與他不可分割的波蘭數學學派的輝煌歷史，給我們提供了值得借鑑和學習的經驗。

寫於2019年10月14日星期一 美國哈蒂斯堡

審核：管晶晶

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