數學可以分為兩個最主要的分支——純數學和應用數學。二者所使用的數學（問題、技巧和嚴謹度）在本質上是完全相同的，不同之處或許在於它們的研究動機。純數學擁有一種內在導向的出發點，它關注的是數學本身，評估一個問題是否具有價值的重要標準是它是否能導致數學的新發展；而應用數學更偏向於關注建立現實世界感興趣的事實，更受外在導向的驅使。
在數學文化中，那些著名的數學難題是其中非常重要的一部分，它們既是對智慧的再創造，也是對智慧的檢測。與物理不同的是，數學問題並不是由必要性和實踐性決定的，它們擁有自己的生命，並且非常重視核心人物的意見。因此，受著名數學家所擁護的問題也便受到更多的重視。
1900年，數學家大衛·希爾伯特發表的23個問題或許是數學中最著名的問題，其中幾個問題在後來對數學的發展產生了巨大的影響。
2000年，克萊研究所選出了7個新的數學難題，被稱為千禧年大獎難題。無論是誰解決了其中一個難題，都將獲得100萬美元的獎勵。目前，在這7個問題中，只有一個問題已得到了解決。在本文中，我們將首先討論唯一被解決的龐加萊猜想，再探討6個未解決的問題。
龐加萊猜想
1904年，法國數學家亨利·龐加萊提出了一個與三維空間（“流形”）有關的關鍵問題。在龐加萊猜想中，他提出三維球面（可以通過在普通的三維歐幾里得空間的無限遠處添加一個點形成）是否是唯一一個能讓在球面上的環不斷縮減到一個點的三維空間。
我們可以通過觀察一個球（二維球面）和一個甜甜圈（圓環面）的邊界來將龐加萊猜想具象化：在二維球面上的任何環都可以在不離開球面的同時收縮到一個點，但如果是一個繞著甜甜圈上的洞的圓環，它就不能在不離開甜甜圈表面的情況下進行收縮。
人們對龐加萊猜想做了許多嘗試，直到2003年，年輕的俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼出現了，他公佈了一個絕妙的解決方案。
佩雷爾曼的思想建立在另外兩位傑出數學家威廉·瑟斯頓和理查德·漢密爾頓的工作之上。
在20世紀70年代末，瑟斯頓觀察到，已知的三維空間能以一種自然的方式被分割成小塊，讓每個小塊都具有統一的幾何形狀。他做了一個大膽的“幾何化猜想”，認為這對所有的三維空間都應該適用。這個幾何化猜想預言，任何一個能讓表面的環收縮到一個點的三維空間，都應該有一個圓形度規——它將是一個三維球體。如果這個猜想成立，那麼龐加萊猜想也隨之成立。
到了1982年，漢密爾頓提出了一種幾何分析的新技術——裡奇流（如上圖所示），他一直在尋找一種流函數，能讓函數的能量在達到最小值之前一直減小，這種流動與熱能在材料中的傳播緊密相關。漢密爾頓認為空間的幾何形狀應該有類似的流動。他指出，對於裡奇曲率為正的三維空間，流動會逐漸改變形狀，直到度規滿足瑟斯頓的這種幾何猜想。
漢密爾頓想到，可以讓空間的形狀在裡奇流的作用下不斷演變。他發現空間可能會形成一個奇點，出現一個變得越來越薄的區域，直到將空間分裂成兩個更小的空間。他希望能完全理解這一現象，讓這些空間的“碎片”在裡奇流的作用下不斷演化，直到出現瑟斯頓所預測的那種幾何結構。
就在這時，佩雷爾曼突然出現了。
佩雷爾曼是一個年輕有為的數學家。在他的職業生涯中，他曾“莫名的”神隱了將近十年的時間。當他再次出現時，便宣稱自己完成了漢密爾頓的想法。他上傳了一系列論文到arXiv，這些論文引起了極大的轟動。接下來的幾個月，許多小組開始相繼研究佩雷爾曼的工作。最後，所有人都確信佩雷爾曼確實成功了，幾何化和龐加萊猜想都得到了解答！
後來的故事相信大多數人都知道，佩雷爾曼因解決了這一千禧年大獎難題，而被授予菲爾茲獎和100萬美元獎金。但他拒絕了這些榮譽和獎賞，寧願在聖彼得堡過著平靜的生活。但他所作出的成果無疑是這個時代最傑出的數學貢獻之一。
P = NP？
為什麼有些問題比其他問題更難？數學家喜歡根據你需要投入的努力來給難題分類。上世紀30年代，艾倫·圖靈指出，有些基本任務是不可能通過算法來實現的。用現代術語來說，他所展示的就是我們無法用一個通用的計算機程序，為“另一個計算機程序在運行時是否最終會停止”這一問題給出肯定或否定的答案。
這個停機問題的不可解性包含了一個更令人困惑的微妙之處：雖然我們無法預先發現一個程序是否會停機，但在原則上，存在一種顯而易見的方法可以證明，當它是一個停機程序時，那麼它就會停止。
圖靈在最廣泛的層面上展示了，從計算的角度來看，判斷一個陳述“是否正確”比“當它是正確時再去證實它的正確性”更難。從圖靈問題所衍生出的一系列問題中，P與NP之間的關係是其中最著名的一個。
P代表“多項式時間”，粗略地說，它對應的是具有有效解的計算問題的集合。換句話說，它描述的是相對容易的問題——那種普通臺式電腦就能解決的問題。NP的
N代表“非確定性”，NP對應的是那些當答案為“是”時，存在一個有效的證明來表明“答案為是”的問題。換句話書，NP列出的是一些可能很難，但卻很容易檢查其答案的問題。所以P vs NP問題所問的便是，P類問題與NP類問題是否相同？
看起來，P和NP類問題是不一樣的。我們以填字遊戲為例，這個小遊戲之所以流行，是因為你需要完成一項尋找答案的挑戰；但是，沒人會想要特地抽空來檢查已經完成的填字遊戲。再比如數獨遊戲也是如此，遊戲本身是一個真正的挑戰，但檢查已完成的答案的正確性卻沒有什麼娛樂價值。如果P=NP，那麼就好像這些謎題的“發現”部分與“檢查”部分的難度相同。聽起來這似乎不可置信，但我們並不能確定事實到底是怎樣的。
大多數數學家認為P與NP是不同的，只是至今他們都無法證明這一點。
霍奇猜想
如果把數學粗略地分成兩部分，它們可以是：用於測量的工具和用於識別的工具。比如說，如果用於測量的工具是一種收集某個物體的數據的技術，那麼用於識別的工具要處理的問題就是：當你拿到了一堆數據時，要如何從數據中識別出它來自於什麼物體？
霍奇猜想就是代數幾何中的一個有關於識別的大難題。在解決數學問題時，數學家經常把一個領域的問題轉換成另一個領域的問題，比如將代數問題轉化成幾何問題。這正是我們將一個方程畫成圖形時所做的。如果我們在紙上畫出的圖形是二維的，這意味著相應的方程只能有兩個變量。那麼如何對擁有三個、四個甚至更多變量的方程使用這個技巧呢？答案在代數幾何領域，這種轉換的思想被推廣到了更高的維度。
代數幾何學家使用的技術和概念要比簡單的方程和圖形複雜得多。在20世紀40年代，W·V·D·霍奇致力於開發一種改進版的上同調。上同調是一種用於測量曲面邊界上的流量和通量（例如流體跨過膜的流動）的工具。經典的上同調可用於理解電流和磁場的流動與分散。霍奇將它們精進，成為了後來的“上同調的霍奇分解”。
霍奇發現，對跨區域流動的實際測量總是對霍奇分解的一個特定部分特別有用。他的猜想是，在任何時候，當數據對霍奇分解的這個特定部分顯示出貢獻時，測量結果就有可能來自一個真實場景下的跨區域的通量和變化系統。或者用更通俗的話來說，就是霍奇發現了一個測試虛假數據的標準。如果霍奇測試的結果呈“陽性”，那麼就可以肯定這些數據是假的。
而霍奇猜想的問題在於：是否存在一個霍奇測試無法檢測到的虛假數據？
目前為止，霍奇測試似乎還從未失效過。但數學家還沒充分弄清楚它的運作原理，所以或許能繞過霍奇的“安全檢測”的方法是有可能存在的。
黎曼假設
乘法是我們在小學時最早接觸的運算之一，而就是這種看似簡單的數學，卻隱含著最深奧、最持久、最美麗的奧秘。
我們知道，每一個正整數都可以寫成是若干個1的和；但乘法運算就沒那麼簡單了。例如，數字12能以超過一種方式寫成兩個更小的因數的乘積，但11卻只能寫成1 x 11。12這樣的數被稱為合數，而11這樣的只能被自己或1整除的數被稱為素數（或質數）。
素數是數學領域最重要的研究對象之一，正如1是整數加法中的基本原子單位一樣，素數（1不是素數）是乘法的基本原子。根據算術基本定理，任何大於1的整數都可以寫成素數的乘積。
素數是密碼學的根基，早在公元前300多年，歐幾里得就證明了素數有無窮多個，但直到現在，數學家仍然不知道它們出現的頻率和模式。在歐幾里得的幾十年之後，另一位古希臘數學家埃拉託斯特尼所發現了一種可用於尋找素數的巧妙方法。
比如若想要找出所有小於100的素數，我們可以先寫下從2到99的所有整數，然後劃掉所有2的倍數（不包括2本身），再劃掉所有3的倍數（不包括3本身），再劃掉5的倍數……以此類推。這樣，只需4步，就能得到25個素數。
這個方法現在被稱為埃拉託斯特尼篩法。看起來，這似乎是一個非常高效易行的方法，但其實若想要找到非常大的素數，則需要採用十分複雜的方法，並且要在計算機的幫助下才能實現。
許多偉大的數學家都嘗試過廣泛地研究素數，但直到今天，關於素數仍然是問題多過答案。對於數學家來說，關於素數的主要挑戰是如何理解它們的分佈。沒有人能預測下一個素數將在哪裡出現，但與此同時，素數又似乎呈現出某種驚人的規律性：它們精確地受到某一些定律的約束。
素數定理描述了素數的平均分佈，它指出，比任意整數字n小的素數的個數，大約近似於n除以ln(n)，當n變得越大，這個近似的相對誤差就會任意變小。在描述素數分佈的方面，素數定理做得很好，但數學家希望能更好地理解相對誤差，由此便引出了數學中最著名的開放性問題：
黎曼假設。1859年，黎曼在一篇論文中提出要如何收緊素數定理，從而控制相對誤差。
在預測素數方面，黎曼假設不僅僅是比素數定理“做得更好”，而是幾乎可以說“盡善盡美”。雖然黎曼假設的目的是為了理解素數的規律，但它需要運用到非常高等複雜的數學。現在，計算機已經驗證了這一猜想對大到數以萬億計的素數來說都成立，但我們還是缺少一個真正的證明來表明——這種模式適用於所有可能的素數。
去年，已故著名數學家邁克爾·阿蒂亞向這個猜想發起了他最後的挑戰，但並未成功。希爾伯特曾說：“如果我在沉睡了一千年後醒來，我的第一個問題將是‘黎曼假說是否得到了證實?’”
楊-米爾斯存在性與質量間隙
人類在20世紀作出的一項傑出突破就是發現了物理世界中的量子行為。在非常小的尺度內，世界的運轉與我們熟悉的“經典”世界非常不同。波粒二象性是量子世界的一個典型特徵：一個粒子（比如電子）既可以表現得像是具有特定位置的粒子，也可以表現得像是可以散開的波。這種奇怪的現象不僅具有理論意義，還是許多現代技術的基礎。
量子理論是一種基礎理論，它不僅要能主宰非常小的領域，還要能支配經典領域。這意味著物理學家和數學家不僅要開發出理解新的量子現象的方法，還要開發出相應的能取代經典理論的量子方法。
這個過程被稱為量子化。當我們具有有限的自由度時，比如一個有限的粒子集合，那麼我們可以用量子力學來應對量子化。但是當研究電場和磁場時，情況就複雜得多了，我們會有無限個自由度。隨著
量子場論的發展，物理學已經取得了一些我們從數學角度無法完全理解的進展。問題出在哪？
許多場論屬於規範場論的範疇，規範場論中有一系列作用於場和粒子的特殊對稱性，稱為規範群。在這些對稱性對易的情況下（即所謂的阿貝爾規範場論），我們對量子化有了合理的理解。對於電磁場和量子電動力學，這一理論都作出了驚人的準確預測。
歷史上出現的第一個非阿貝爾理論的例子是電弱相互作用理論，它需要一種能使自然界中的粒子具有質量的機制。這涉及到後來在歐洲核子研究中心找到的希格斯玻色子。這一理論的顯著特點是希格斯機制是經典的，並在量子化過程中延續到量子理論。
因此，“楊-米爾斯存在性和質量間隙”這一千禧年大獎難題所感興趣的楊-米爾斯規範論，是一種非阿貝爾規範論，我們希望用它來描述
夸克和強核力。正是在此處，我們遇到了經典理論和量子理論之間的衝突。而這個問題則是要試圖通過嚴格的數學來確定“質量間隙”的存在，也就是說，在楊-米爾斯論中不存在無質量的粒子。
很明顯，物理學家對此很感興趣，但數學家為什麼也認為它重要呢？在過去的幾十年裡，物理學家為量子場論開發的工具（尤其是路徑積分）對幾何和拓撲做出了精確的預測。但我們並不知道在數學上路徑積分是什麼，除了在一些非常簡單的情況下。而且在幾何學和拓撲學中，我們也能用物理學家在量子場論中發展的一些方法進行不嚴格的計算而得出正確答案。這表明有一些強大的技術仍有待發現。
因此，這個問題的解決方案將使人們瞭解這些新的技術是什麼。
納維-斯托克斯方程存在性與光滑性
納維-斯托克斯方程（NS方程）對我們理解我們所生活的這個物理世界有著根本性的關係。這個猜想探索的是NS方程解的存在性與光滑性。
NS方程被用來描述流體的行為，例如流出水龍頭的水，或流過飛機機翼的氣流。從物理學的角度，這些方程運作良好；但在數學家心中，它們的數學合理性卻一直存疑。他們想知道，有沒有可能在某些情況下，這些方程會出現故障，產生不正確的答案，或者根本無法給出任何答案。
我們可以把NS方程（如上圖所示方程）看作是牛頓第二定律的流體版本。在牛頓第二定律中，作用在物體身上的力 = 質量 × 加速度。對應於流體來說，在等式左邊的是密度和加速度，或者說是流體粒子的速度隨時間的變化；右邊是壓強的變化、內力的變化，還有作用在流體上的外力的變化。這個方程將流體速度的變化率與作用於流體上的力聯繫起來。在這裡，我們需要對流體施加另一個物理約束，那就是質量守恆！即流體既不可以被創造也不會從系統中消失。
關於NS方程的這一難題可以被分為兩個部分：第一個是關於方程解的存在性；第二個是關於這些解是否有邊界（是有限的值）。
第一個部分說的是，對於一個數學模型來說，無論它多麼複雜，若要想代表這個物理世界，那麼它首先必須有解。乍一看，你可能會想，如果我們都不能確定這些方程是否有解，為什麼還在用它們呢？其實在實踐中，這些方程為流體的運動提供了許多很好的預測，但是這些解是NS方程的完整解的近似值。而之所以會產生近似值，是因為我們通常沒有簡單的數學公式可用，只能用計算機進行近似的數值計算以求解這些方程。雖然我們非常自信這些近似解是正確的，卻缺乏一個能正式地表明解確實存在的數學證明。
第二部分則需要探討這些方程的解是否會出現奇點（或者說無窮大）。這個問題為什麼重要？我們相信，NS方程描述了流體在很多情況下的運動，但如果存在一個奇點則表明我們可能漏掉了某些重要的、尚未可知的物理學。流體力學的歷史充滿了簡化版的NS方程的解，這些方程產生奇異解。在這種情況下，奇異的解往往暗示著一些以前在簡化模型中沒有考慮過的物理現象。識別出這種新的物理現象促使著研究人員進一步地完善他們的數學模型，從而提高模型與現實之間的一致性。
所以，對存在性和光滑性問題的追問是為了讓我們徹底地明白在物理世界裡真正發生了什麼。許多數學家都嘗試過尋找這個問題的答案，但都以失敗告終。一些物理學家認為，對強耦合的理解的新進展，或許會有助於破解NS方程。
貝赫和斯維訥通-戴爾猜想
橢圓曲線有著悠久的歷史，它們存在於現代數學的許多分支中，並且被廣泛地應用於密碼學。我們可以用一個三次方程來描述這些曲線。
方程中，A和B為固定的有理數。比如當我們將這兩個常數分別設定為A = -1和 B = 0時，就會得到一張這樣的圖：
這時你可能就會發現，儘管它們名為“橢圓曲線”，但其實它們和橢圓並沒有什麼關係。造成這種迷思的原因在於這些曲線與橢圓積分有很強的聯繫，而橢圓積分是在描述行星在空間中的運動時產生的。
在古希臘數學家丟番圖的著作《算術》中，他概述了許多求解多元多項式方程的工具，並以他的名字將它們命名為丟番圖方程。丟番圖考慮的一個主要問題是找到有理數Q域中的一個特定多項式方程的所有的解。對於如圓、橢圓、拋物線、雙曲線等二次方程來說，我們已經有了這個問題的完整答案。
類似的，對於橢圓曲線E來說，我們的問題就變成了要找到所有滿足定義了E的方程的所有有理解(x, y)。如果我們將這些解稱為點集E(Q)，那麼我們想知道的是，是否存在存在一種算法，可以讓我們獲得屬於E(Q)的所有點(x, y)。
這時，我們需要引入一個規定，使我們能以一種奇怪的方式將橢圓曲線上的兩個點融合在一起，得到一個全新的點。這個過程類似於數字的相加或相減。
數學家莫德爾是第一個求出這組有理點的結構的人。1922年，他證明了
其中，整數Z的數量被稱為r(E)，即“橢圓曲線E的秩”。
數學家會用一類名為L-函數的方程來研究橢圓曲線的行為。貝赫和斯維訥通-戴爾猜想說的是，如果橢圓曲線上有無窮多個解，那麼它的L函數在某些點上應該等於0。如果能夠證明這是正確的，將能讓數學家們更深入地研究這類方程，儘管它們可能並沒有太多實際應用。
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