如圖：正方形ABCD中，已知∠MAN=45º，其兩邊與BC、CD分別交於M、N兩點

記正方形邊長為a，根據全等及相似：

簡單證明：

• 對於(1)：如圖將△DAN繞點A旋轉90º

根據正方形條件

∠MAN＝∠MAN'＝ 45º,AN＝AN'

易得△MAN≌△MAN'(SAS)

BN'=DN ，MN=MN'

MN＝BM+DN

根據均值不等式得

BM+DN≥2√BM*DN

當M、N是所在邊中點

BM＝DN時

MN最小為：√2a /2

當AM與AB或AN與AD重合時

MN最大為：a

• 對於(2)由(1)結論計算周長可得
• 對於(3)由全等對應高相等可得

AH＝AB＝a

• 對於(4)

因為EF、BE、DF在一條線上，通過變換構造直角三角形

參照(1)的方法

將△DAF繞點A旋轉90º ,連接PE

可得△PAB≌△FAD

∴PA=FA, PB＝DF(i)

∠PAE＝∠FAE＝ 45º

∴△PAE≌△FAE(SAS)

∴PE=EF(ii)

又BD是正方形對角線

∴∠PBA＝∠ABE＝ 45º

∴∠PBE＝ 90º

∴PE²=BE²+PB²

∴EF²=BE²+DF²

• 對(5)如下圖，以△AFM為例

在△FMA與△FMB中

結合正方形對角線等條件得

∠FAM＝∠FBM＝ 45º

∴A、B、M、F四點共圓(兩個三角形頂角相等且底邊在同側)

∵∠ABM＝ 90º

∴AM是直徑

∴∠AFM＝ 90º

∴△AFM是等腰直角三角形

• 對於(6)根據(5)可得

在等腰Rt△AFM中

AM:AF=√2

同理AN：AE＝√2

即AM:AF=AN:AE

∴△AMN∽△AFE(注意對應邊)

∴S△ᴀᴍɴ：S△ᴀғᴇ＝2

• 對於(7)

因為△AMN的高與正方形的邊長相等，所以易得

小結：本模型相關結論主要以幾何變換中的旋轉為基礎，放轉後其實又出現了對稱圖形，所以初中幾何三大基本變換是角決幾何問題的基本思路，數學在證明定理或結論的過程中探究其由來有助於更好地掌握相關知識點便於應用。

知識應用

例1、如圖，已知E是正方形ABCD的邊AB上一點，A關於DE的對稱點為F，∠BFC＝ 90º，求AB:AE=?

[思路導航]題中沒有數量關係求線段比值，結合正方形我們考慮利用勾股定理設數解決，根據對稱可得由Rt△ADE≌Rt△FDE，EF像我們上面的模型中的“MN”一部分(參考結論1)，延長EF正好與Rt△BFC產生聯繫

如圖：延長EF與BC於M，連接DM與FC交於N

∵點F、A關於DE對稱

∴Rt△ADE≌Rt△FDE

∴DF＝AD, ∠ADE=∠FDE(i)

易得Rt△DFM≌Rt△DCM（HL）

∴∠FDM=∠CDM(ii)

∴∠EDM＝ 45º

DN是FC的垂直平分線

則MN是Rt△BFC的中位線

M是BC中點

設正方形邊長為1，AE＝x

則BM＝CM＝1/2

FM＝CM＝1/2

由Rt△BEM計算得

X=1/3

AB:AE=3

例2、如圖在△ABC中，AD⊥BC於點D，∠BAC＝ 45 º ，BD＝2，CD＝3，求AD的長

[思路導航]有45º角及垂直條件，結合模型中三角形高與正方形的邊長相等(參考結論3)，可考慮以A為頂點構造正方形（其實是分別以AB、AC為對稱軸進行對稱變換後連接）

根據AD＝AE設數可解

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