我們從一道簡單的題目談起：

已知a1=1,b1=4。且當n≥1時，有

求

解：

一方面，注意到對任意n≥1,an+1是an和bn的調和平均數，bn+1是an和bn的算術平均數，由基本不等式，有

而0

且

結合數列{an},{bn}的有界性可知，{an}和{bn}的極限存在且相等。

另一方面，注意到

記{an}和{bn}的極限是M,則有

M其實就是a1和b1的算術-調和平均數。

根據上面的過程，我們得到如下結論：

任意兩個正數的算術-調和平均數等於這兩個數的幾何平均。

這也是小編研究了“算術-幾何平均數”之後的一個小小發現。仿照高斯的研究結果，做了一點的簡單的推廣。與高斯的算術-幾何平均數相比，算術-調和平均數具有非常簡單的形式。（一開始很高興，後來查了資料，才知道這個別人早就發現了。。。）

高斯研究的是兩個數的算術-幾何平均，一方面，我們可以推廣得到其他不同組合的平均，比如剛剛的算術-調和平均，或者其他如”幾何-調和平均“，”平方-算術平均“，”平方-調和平均等“。另一方面，我們還可以對更多的數加以推廣。

比如，對三個正數，我們可以定義以下”算術-幾何-調和平均“：

任取三個正數a,b,c,不妨設0≤a≤b≤c。定義如下三個數列：

則數列{an},{bn}和{cn}收斂到同一個極限，我把極限稱為a,b,c的算術-幾何-調和平均，記為AGH(a,b,c)。

對於更多正數的情形，一樣可以推廣。

還有其他推廣嗎？不妨發散思維，放飛自我一試。這個問題留給讀者們。

雖然現在我也不知道推廣得到的這些不同平均數有什麼實際意義，但是，誰能肯定在將來也沒有意義呢？之前的文章中介紹了高斯研究算術-幾何平均數，對於研究橢圓積分以及圓周率的快速數值計算就具有很大意義。而且就現階段而言，從中體會數學家們的思考過程，也是很能鍛鍊數學思維的啊！

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關鍵字: 數學 平均數 簡單