神評陳毒繡
數學上，球體與平面相切，只有一個點。不過，真如題主所問，實際中球體與面接觸的面積不等於零，具體是多大，主要看兩者的材料屬性。下面，我以算例的形式，來解答這個問題。
1、基本原理
實際生活中，任何物體都是變形體，即物體在外載作用下都會發生或大或小的變形。完全不發生變形的稱之為剛體，不過這個世界上絕對剛體不存在。
對於材料的變形能力，力學上有一個物理量來衡量——彈性模量。這個物理量基本上就可以反應出材料的“軟硬”。彈性模量越大，材料越不容易變形。
2、算例分析
以鐵球接觸鐵板為例，鐵這種材料相對來說是比較“硬”的，其彈性模量200GPa。我們來看下在自重的作用下，接觸面積有多大？鐵球直徑2m。
上圖是位移結果，從位移上來看，鐵球的變形幾乎為零，鐵板在接觸處有變形。放大後下圖。對於兩者來說，變形都非常小。
通過目測，接觸大約是鐵球上網格的一半，即1.3e-2m，面積為5.3e-4平米。這個面積大約是2個手指那麼粗。顯然，這個面積不能近似為零。
3、總結
物體受力會發生變形，變形量的大小除了與外載有關，還與材料的屬性有關。彈性模量越大，變形量就越小，兩者接觸的面積也就越小。通過鐵球的算例，我們發現半徑1m的鐵球靠重力放置於鐵板上，其接觸面積越是2個手指那麼大。
如果鐵球更大，重量更重，那麼接觸面積也會更大。此外，如果鐵球換成其他“軟”的材料，鐵板不變，那麼接觸面積也會更大。如下圖，球彈性模量取2GPa，是鐵球的1/100。對比上下兩圖，顯然下圖接觸面積更大了。
雖然，這個算例在仿真裡面算簡單的，但是由於非線性接觸，非常容易出現不收斂的情況，這時候就得不斷地修改模型，直至能夠計算處結果。所以，這麼一篇小回答，花了我2個小時。
力學Nerd王小胖
答：從數學角度看，接觸位置是一個點，面積為零；從物理角度看，單個原子無法支撐起整個球體重量，所以接觸點存在形變，接觸面積不為零。
完美球體放在平坦的地面上，理論上接觸位置是一個點，但這只是對於理想剛體而言，實際當中不存在理想剛體，於是分為兩種情況。
數學上
在數學上，不考慮受力情況和物質的微觀組成，一個完美圓和直線相切，切點是一個面積為零的點，切點和圓心連線垂直於切線。
物理上
在物理上，根據受力情況和物質的微觀組成，可以分析出接觸面的大小；因為實際當中不存在理想剛體，所以地面要支撐起整個球體的重量，就需要通過形變來產生應力，形變大小和物質的性質有關。
物質由原子組成，原子通過化學鍵或者範德華力相互連接起來，單個原子間的力量是存在極限的，一個平面要支撐起一個球體，肯定會在微觀層面產生形變，使多個原子的相互作用支撐起整個球體，從而達到平衡。
強相互作用材料
從本質上說，物質的這種形變，均是庫侖力發揮作用，而強力是庫侖力強度的100倍，在劉慈欣的小說《三體》中，就描述了一種強相互作用材料製成的“水滴”，具有幾乎無限大的彈性模量，受到外力時幾乎不產生形變。
強相互作用材料是否真的存在，目前還不得而知，但是對於人類能製造的材料，製成球體後壓在平面上，球體和平面必定會產生形變，接觸面積肯定不為零。
另外一位答友“王小胖老師”，定量計算了直徑2米的鐵球，彈性模量為200GPa，放在鐵板上的接觸面積，大家可以去看看，作為參考。
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艾伯史密斯
這要看你是從數學角度討論還是物理角度討論了。
如果是數學角度，一個完美的球體，放到一個完美的平面上，那麼接觸面就是一個點，而一個點有面積嗎？無窮小。（注意：這裡的“完美”也就是剛體的意思，球和平面都不發生形變）
如果從物理角度，那就很簡單了，因為世界上沒有絕對剛體存在，所以球和地面都會形變，一旦形變，那麼接觸面就是一個圓面，自然有面積。
如果不形變，你就會發現，接觸面的壓強會趨向於無窮大，這是不切實際的。
實際生活中，數學世界和物理世界的區別也有體現，比如下面這個：
托里拆利小號
我們將y=1/x的圖像，取x≥1部分，繞x軸轉一圈，就變成了下圖模樣（形狀類似於一個小號）
我們來算一下它的容積和內表面積(如下）：
結果就有意思了，它的容積是個定值π，但是內表面積卻是無窮大。
換句話說，如果給它裡面上一層漆，因為表面積無窮，所以永遠也抹不滿；而如果將油漆直接倒進去，由於容積是定值，所以很快就滿了。
但以上的結論均是數學世界得出的，實際上這個小號我們根本連造都造不出。
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賽先生科普
一個完美的球體放在一個絕對平坦的地面上，理論上來說，它們之間的接觸面是一個點，面積無窮小。嚴格來講，點沒有面積概念，因此不能說他們之間的接觸面積幾乎為0。
如果一個完美的球體放在並不是絕對平坦的地面上，它們的接觸面積可以認為幾乎為0。
事實上，在現實世界中，兩個物體的接觸面積永遠不可能為0。在重力的作用下，球體會對地面產生壓力，根據P=F/S，若面積無窮小，壓強就變成無窮大了。
從微觀角度來看，世界上的一切都是由粒子構成的，都是凹凸不平的，只是在宏觀世界中看起來近似光滑。就算沒有重力，一個球體與地面接觸，在電磁力的作用下，接觸面也會產生形變。從原子級別來看，兩個物體也根本不存在真正的接觸。
由此可見，現實世界中並不存在這樣完美的物體，任何物體都存在形變，理想中的剛體是不存在的。沒有完美的球體，也沒有絕對平坦的的地面，它們只存在於數學世界中。
科學探索菌
這個問題有點類似微積分。當球體小到縮為一個“點”時是點接觸，而R無窮大時還是點接觸？
假如在絕對的平面上放置一個圓球，它們的接觸“點”或者說“面”與球體的半徑R有直接關係。
從剖面圖來分析。球半徑越小，直至球體本身縮小成一個點那麼接觸部位一定是一個點。反之在球的半徑逐漸增大，直至球體成為一個R無限大的球時，那球體底部幾乎與平面平行。可是圓的定義與平面的定義告訴我們它們的接觸部分應該是一個點。
“點”的定義是無限小，而兩條線卻近乎平行。那麼在這種R越來越大近乎無限大的情況下怎麼可能還是隻有一個無限小的點接觸呢。
所以，在概念上是答案是肯定的。但我覺得它們的接觸部位跟球體半徑R有關係。
ooO孫悟空Ooo
這就是數學與物理（現實）的區別，數學只是人類瞭解世界的工具，它並不等於現實，很多時候我們都不能用數學概念去解釋現實世界！
就像問題中所說，或許上過初中的都應該知道，一個圓形和平面相切，切點就是一個點，沒有大小沒有體積的點，或者說無窮小的點！
但現實中不可能出現這種情況！首先不會存在一個完美的球體，也不會存在絕對的平面，球體和平面都是相對的。其次，也不存在絕對的剛體，也就是絕不變形的物體！
所以即便有完美的球體和平面，當它們接觸時，接觸面積也不可能是無限小的點，有會有一定的面積！這就是理想與現實的差距！
事實上，這種問題牽扯到無窮小以及極限的概念，同時還有數學與物理的區別！數學並不等於現實，比如說，數學上存在無窮小，你永遠找不到一個比0大的最小的數，但在物理和現實中，這樣的數是存在的，它就是普朗克長度，任何小於普朗克長度的單位都沒有意義！
宇宙探索
事實上所有的接觸放到微觀上都是0，原子和原子是不可能直接接觸的，他們之間是巨大的空間，靠電磁力維持。
修行的害蟲
數學裡點是沒有面積的，球體和平面接觸是點所以面積為零，但真實物理世界點卻是不存在的，所以當拿一個球體與平面接觸時，就算是絕對的剛體，無論接觸面它多小，始終有面積
手機用戶4175924909
理論上講，標準球體與標誰平面的接觸面無限趨近千於零但絕不等於零。(極限慨念)球體的重量減去空氣的浮力後，其餘重量全壓在與平面接觸的無限趨近於零但又不等於零的那個無限小的"點"，這個"點"上所承受的壓強足趨近於無窮大的。
19480407
注意“完美的”這個限定，在此限定之下已經排除了材料，質量，重力等等因素。
