昌於森
維基百科的定義如下：
簡諧運動，或稱簡諧振動、諧振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最簡單的一種機械振動。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力跟位移成正比，並且力總是指向平衡位置。
01 簡諧運動的公式推導
簡諧運動中的彈簧振子是最常見的例子之一。
彈簧連接的小球在平衡點兩側的點A和B之間來回運動。
公式推導第一步是將彈簧的力和小球M的運動相關聯。這就用到兩個定理：胡克定律和牛頓第二定律。
上述公式中的負號請參見動態圖中的箭頭指向，它表明力的方向永遠與形變方向相反。
而牛頓第二定律成功的將力與加速度連接在了一起。
這時候會第一次用到微積分，形變量 x 的一階導數為小球運動的瞬時速度，而二階導數則是小球運動的加速度。
上圖中最後的運動公式即使推導的關鍵，我們假設 k/m = ω^2。
ω代表的是角速度，之後詳細講解。
推導的過程如下：
二階導數轉換是第一個難點
而之後將x做三角代換是第二個難點。
如有不懂，請留言。最後我們即可得到簡諧運動的一般公式了。A代表的是振幅。
02 ω的物理意義
ω的物理意義是角速度，剛開始接觸很難理解，但是結合上述動圖，你就可以輕而易舉的找到ω的位置。由於簡諧運動遵從三角函數，我們將彈簧的運動理解成B點在圓上的運動，那麼ω則是B點運動的角速度。這樣是不是很容易理解
03 總結
動圖教學可以讓知識的理解更加簡單。
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逃學博士
簡諧振動在物理學中是非常重要的，有些人甚至說物理學家只研究簡諧振動（勻速直線運動太簡單了，不是簡諧振動的運動又太難了），同一系列的推導會在後續的學習中反覆出現，比如學量子力學的時候還會推一編（簡諧振子的量子化），學固體物理的時候還會推一編（聲子），學量子場論的時候還會推一編（電磁場的量子化）……
現在我們在高中物理（牛頓力學）的知識背景下進行推導。
假設有一根彈簧，彈簧的彈性係數是k，彈簧的一端是質量為m的滑塊，假設彈簧和滑塊是水平放在桌面上的（忽略摩擦），這樣我們就不需要考慮滑塊本身重量對彈簧的拉長了。
假設我們不對滑塊施以任何力，此時滑塊會位於一個“平衡”位置不動，我們假設這個位置是0，即座標的原點。
現在假設我們水平地向右拉動滑塊到x位置，彈簧被拉長了x，彈簧的彈性力是-kx，負號表示彈力和x的方向正好相反。
根據牛頓第二定律，此時滑塊的運動由這個方程描述：F=ma，即：
在上式中我們已經把滑塊的運動表示成了一個“二階常微分方程”，二階常微分方程的求解需要知道兩個初始條件，在這裡我們可以假設t=0時，滑塊的位置是a，滑塊的速度是0。
我們把上面的二階常微分方程寫成更好看的樣子：
我們一般把k/m改寫為：
“x上面有兩點”，表示的是x對時間t求兩次導數：
我們要求的就是x(t)，即位置x隨時間t變化的規律。
現在考慮試探解：
這裡A和φ是兩個待定係數。
x對時間求一次導數：
繼續再求一次導數：
我們發現這樣的x(t)就是我們要找的解，而且是個通解，因為裡面有兩個待定係數，正好可以用初始位置x(0)和初始速度v(0)來確定。
針對我們這裡的初始條件，x(0)=a，v(0)=0，我們得到的解是：
物理思維
既然是簡諧振動，那複數不是更方便？設x=ae^（iωt）
-kae^（iωt）=m（iω）^2ae^（iωt）
ω^2=k/m
x=ae^（i√(k/m)t）
