我們上學的時候都學過，我國的海岸線全長一萬八千餘公里(北起鴨綠江口,南止北倉河口)。這個長度是以1公里長的標尺測量得到的。然而如果我們採用短些的標尺,例如1 釐米長的標尺,則測得海岸線長度為381.2萬公里,這是地理書上給出長度的212倍。為什麼呢？
原因是由於港灣海角的存在,海岸線是相當的曲折,用大的標尺去測量會忽略掉其很多的彎曲的細節。海岸線的長度與測量單位有關，以1km為 單位測量海岸線，就會將短於1km的遷回曲折長度忽略掉;若以1m為單位測量，則能測出被忽略掉的遷回曲折，長度將變大;若測量單位進一步地變小，測得的長度就會愈來愈大，這些愈來愈大的長度將趨近於一一個確定值，這就是海岸線的長度。
其實早在1967年Mandelbrot就提出“英國的海岸線有多長?”的問題
Mandelbrot發現:當測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。他認為海岸線的長度是不確定的，或者說，在一定意義上海岸線是無限長的。這就是因為海岸線是極不規則和極不光滑的。
在自然界中，幾乎沒有什麼東西是平緩的，大多數事物都是有皺褶的、不規則的、細圓齒狀的，通常都以一種自相似的形式存在。想想森林、山脈、蔬菜、雲和海洋表面。由此看來，大多數自然物體都沒有絕對的客觀長度，在陳述測量結果時，很重要的一點是分辨率是多少。
人類在設計和製造人類工程學產品時，無論是原始的罐子和工具，還是現代化的複雜汽車、計算機和摩天大樓。我們都使用並且追求直線、平滑曲線和平滑表面的簡單性。量化測量的發展及數學的發明，尤其是歐幾里得幾何的理想化範式，完美地展現了這一點。
在這個人工製品的新世界中，我們不可避免地習慣於通過蒙蔽我們的歐幾里得幾何(直線、平滑曲線和平滑表面)的濾鏡觀察世界。但是，自然界大多數的圖形都是十分複雜而且不規則的。例如：海岸線、山形、河川、岩石、樹木、森林、雲團、閃電、海浪等等，用歐幾里德幾何學是無能為力的。
複雜科學認為，客觀世界是高度複雜的，而且被褶皺、波紋和小褶皺主導。正Mandelbrot簡單明瞭地概述:“平緩的形狀在野外很少見，但在象牙塔和工廠中極為重要。”
所以科學家們認為“世界在本質上是非線性的”。在非線性世界裡，隨機性和複雜性是其主要特徵，但同時，在這些極其複雜的現象背後，存在著某種規律性。
產生於上世紀70年代的分形理論使人們能以新的觀念、新的手段來處理這些難題，透過撲朔迷離的無序的混亂現象和不規則的形態，揭示隱藏在複雜現象背後的規律、局部和整體之間的本質聯繫。
分形是一門新的學科，它的歷史很短，目前正處在發展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，然而分形理論具有強大的生命力。世界上1257種學術刊物在80年代後期發表的論文中,與分形有關的佔據37.5%。從發表論文來看，所涉及的領域包括哲學、物理、化學、材料化學、電子技術、表面科學、計算機科學、生物學、醫學、農學、天文學、氣象學、地質學、地理學、城市規劃學、地震學、經濟學、歷史學、人口學、情報學、商品學、電影美學、思維、音樂、藝術等。
一、什麼是分形
1、分形的定義：部分以某種形式與整體相似的形狀叫分形。（Mandelbrot）
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的狀態，是沒有特徵長度的圖形和構造以及現象的總稱。描述分形的幾何，稱為分形幾何。 分形幾何也是目前最前沿的學科。
我們知道，經典幾何研究規則圖形，平面解析幾何研究一次和二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，分形幾何是研究自然界大量存在的不規則形體。
偉大的數學家美籍華人陳省身認為幾何學可分為以下階段:
第一階段：公理(歐幾里德) ;
第二階段：座標(笛卡爾、費馬) ;
第三階段：微積分(牛頓 菜布尼茲) ;
第四階段：群(克萊因、李)
第五階段：流形(黎曼) ;
第六階段：纖維叢(嘉當、惠特尼)。
第七階段：分形幾何(曼德勃羅特)
所以分形幾何是二十一世紀的幾何。
2、分形的提出者：Mandelbrot
分形這個名詞是由曼德勃羅特在1975年首次提出（創造）的，其原義是“不規則的，分數的，支離破碎的”物體。曼德勃羅特是美國IBM公司沃特森研究中心自然科學部高級研究員，哈佛大學應用數學兼職教授，美國國家科學院院士。曾先後在哈佛大學教過經濟學，在耶魯大學教過工程學，在愛因斯坦醫學院教過生理學。研究領域橫跨數學、物理學、地學、經濟學、生理學、計算機、天文學、情報學、信息與通訊、城市與人口、哲學與藝術等眾多學科與專業，是一位真正的跨學科的博學家。正是這些不同學科或問題的雜交，才結出一個完全新穎的果實一一分形理論。他出版的專著《自然界的分形幾何學》，代表著分形理論初步形成。
二、分形的特徵
1、自相似性
分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點。一個系統的自相似性是指某種結構或過程的特徵從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統或結構的局域性質或局域結構與整體類似。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有比較複雜的表現形式，而不是局域放大一定倍數以後簡單地和整體完全重合。例如菜花、樹葉等。
人們在觀察和研究自然界的過程中，認識到自相似性可以存在於物理、化學、天文學、生物學、材料科學、經濟學，以及社會科學等眾多的科學之中，是自然界普遍的規律之一。下面舉幾個例子來說明自相似性。
太陽系的構造與原子的結構作一對比，就會發現這兩個系統在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個系統在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質系統之間存在著自相似的性質。
物質系統之間的自相似性在生物界也廣泛地存在著。以人為例，人是由類人猿進化到一定程度的產物，解剖學研究表明，人體中的大腦、神經系統、血管、呼吸系統、消化系統等在結構上都具有高度的自相似性。
一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與該棵大樹相比，在構成形式上完全相似。又會發現該樹枝上分叉長出來的更小的細枝條，仍具有大樹構成的特點。當然，這隻能是在一定尺度上呈現相似性，不會無限擴展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現出明顯的自相似性。再仔細觀察樹葉的葉脈，也可以發現類似的自相似結構。
佛說：一沙一世界，一花一天堂；袖裡有乾坤，壺中有日月； 在每一粒灰塵中都呈現出無數的佛。《易經》認為:“無極生兩儀，倆儀生四象，四象生八卦。《道德經》認為：道生一、一生二、二生三、三生萬物、以今天分形幾何的觀點來看，古人的思想裡包含有自相似概念。
2、標度不變性
所謂標度不變性，是指在分形上任選一局部區域，對它進行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態特性。因此,對於分形，不論將其放大或縮小，它的形態、複雜程度、不規則性等各種特點均不會變化。所以標度不變性又稱為伸縮對稱性。通俗一點說，如果用放大鏡來觀察一個分形，不管放大倍數如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無法判斷所用放大鏡的倍數。
自相似性與標度不變性是密切相關的。自相似性和標度不變性是分形的兩個重要特性。
三、分形理論的應用
分形理論是一個交叉性的橫斷學科，從振動力學到流體力學、天文學和計算機圖形學，從分子生物學到生理學、生物形態學，從材料科學到地球科學、地理科學，從經濟學到語言學、社會學等等，無不閃現著分形的身影。
美國著名物理學家惠勒說過：今後誰不熟悉分形，誰就不能稱為科學的文化人。說明了分形理論的巨大科學價值。下面從哲學、經濟等幾個維度闡述一下分形理論的應用。
1、哲學
（1）整體與部分
分形理論打破了整體與部分之間的隔膜，找到了部分過渡到整體的媒介和橋樑即整體與部分之間的相似。從認識事物的途徑或思考問題的方法來看，分形論與系統論分別體現了從兩個端點出發的思路。它們之間的互補，恰好完整地、全面地體現了辯證的思維方法。系統論由整體出發來確立各個部分的系統性質，它沿著從宏觀到微觀的方向考察整體與部分之間的相關性。而分形論則由部分出發來確立整體的性質，沿著微觀到宏觀的方向考察部分與整體之間的相似性。也就是說，系統論強調了部分依賴於整體的性質，體現了從整體出發認識部分的方法，分形論強調了整體依賴於部分的性質，體現了從部分出發認識整體的方法。於是，兩者構成的互補，即系統論和分形論相互輝映，極大地提高了人類對自然界認識的能力。
分形論作為認識世界的一新方法，不僅在於從整體與部分之間的信息“同構”中，找到了從部分過渡到整體的媒介和橋樑，為人們從部分中認識整體、從有限中認識無限提供了可能和根據，而且分形論的提出使人們對整體與部分關係的認識方法、思維方法由線性階梯進展到非線性階梯，揭示了它們之間多層面、多視角、多維度的聯繫方式。
（2）生成論和構成論的自然觀
自然觀與自然科學的發展緊密聯繫，任何關於自然界的科學理論，原則上都可以成為建立某種自然觀的根據，並形成一種研究綱領。例如，隨著物理學的發展出現過以牛頓力學為基礎的力學世界圖景、以熱力學為基礎的能學世界圖景、以電磁學為基礎的電磁世界圖景以及基本相互作用統一的物理世界圖景，隨著生物學的發展出現進化世界圖景，隨著非平衡態熱力學的發展出現自組織世界圖像。分形幾何作為描述複雜自然形態及其生成機制的有力工具，又為人類建構新的自然圖景提供了新的科學根據，形成一種新的自然圖景。
分形理論已經對自然觀產生強烈影響，從分形的觀點看世界，我們發現，這個世界是以分形的方式存在和演化著的世界。
在人類探索宇宙的本原之始，就存在著事物是由本原生成的還是由本原構成的爭論。生成論認為事物是由本原生成的，它的變化是“產生”、“消亡”或“轉化”；構成論認為事物是由本原構成的，它的變化是要素之間的結合或分離。構成論思想產生於古代希臘的原子論，深深地影響著科學家的思維。構成論認為自然界的一切事物都歸結為基本粒子的結合或分離。這種思考和分析問題的方法推動了科學技術的進步，取得一系列成果，諸如汽車、電視機、電腦等產品給人類的生活帶來了許多方便和舒適。但是，根據構成論思想，把一個東西不斷分割下去，以便給出一切問題的解答，遇到很大困難。所以科學家們開始轉向生成論。宇宙的演化、生物的進化、思維的形成無不表現為一個生成的過程，這一切無不支持生成論，但因其缺乏理論支持，而未能被科學界普遍接受。分形生成過程的迭代性(或遞歸性)為生成論自然觀提供了理論根據，而且分形幾何已經證明，任何複雜的事物形態原則上都可以通過迭代法生成。
2、經濟學
股票價格變動圖因價格漲落得非常厲害，而且完全是隨機的，因此使人感到幾乎無規律可循。但若從統計學觀點解析這一變動，就會發現有很好的規律。Mandelbrot發現下面兩個法則：
⑴每個單位時間內的股票價格變動分佈，服從特性指數D≈1.7的對稱穩定分佈。
⑵單位時間不論取多大或多小，其分佈也是相似的。也就是說，適當地改變尺度，就可成為同樣的分佈。
因此，我們可以從分形的角度去思考股票價格的波動，雖然不能夠幫助我們預測未來，但為我們提供了一個分析維度。
3、其他領域（音樂、藝術、圖形壓縮等）
著名的電影“星球大戰”就是利用分形技術創作的。由於分形的最重要特徵是自相似性，所以信息科學家對其情有獨鍾，分形圖像壓縮被認為最具前景的圖像壓縮技術之一，分形圖形學被認為是描繪大自然景色最誘人的方法。
分形音樂是利用分形理論來建構一些帶有自相似小段的合成音樂，由一個算法的多重迭代產生的，主題在帶有小調的三番五次的返復循環中重複，在節奏方面可以加上一些隨機變化，它所創造的效果，無論在宏觀上還是在微觀上都能逼真地模仿真正的音樂。
總結
分形理論是一門重要的新學科，它的歷史很短，但是捲入分形狂潮的除數學家和物理學家外，還有化學家、生物學家、地貌學與地震學家、材料學家等，在社會科學與人文科學方面，大批哲學家、經濟學家、金融學家乃至作家畫家和電影製作家都蜂擁而入。分形理論正處於發展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，對它爭論也不少，但是由於已被廣泛應用到自然科學和社會科學的幾乎所有領域，所以成為當今國際上許多學科的前沿研究課題之一。
參考文獻：
分形的哲學漫步——林夏水
分形理論的科學和哲學意義——張國祺
獲取50個思維模型、加入大群討論，參與刻意討論小組 微信公眾號 模型思維
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