高中物理系列模型之對象模型9.電容器模型

一模型界定

本模型中涉及高中階段中出現的電容器常見問題,包括動態分析、帶電粒子在電容器間一類運動、直流含容電路、交流電路中的電容及暫態分析等.

二模型破解

電容器的充放電過程

（i)電容器的充、放電

充電：使電容器帶電的過程，充電後電容器兩板帶上等量的異種電荷，電容器中儲存電場能.

放電：使充電後的電容器失去電荷的過程，放電過程中電場能轉化為其他形式的能.

(ii)電容器充電和放電過程的特點

（I）充電過程的特點（如圖1甲所示）

①有電流，電流方向流入正極板，電流由大到小.

②電容器所帶電荷量增加.

③電容器兩極板間電壓升高.

④電容器間的電場強度增強.

充電結束後，電容器所在的電路無電流，電容器兩極板電壓與充電電壓相等.

（II）放電過程的特點（如圖1乙所示）

①有電流，電流方向流出正極板，電流由大變小.

②電容器所帶電荷量減少.

③電容器兩極板電壓降低.

④電容器中電場強度減弱.

電容器放電結束，電路中無電流.

例１.某電容式話筒的原理示意圖如題圖所示，E為電源，R為電阻，薄片P和Q為兩金屬極板，對著話筒說話時，P振動而Q可視為不動，在P、Q間距離增大過程中，

A P、Q構成的電容器的電容增大

B P上電荷量保持不變

C M點的電勢比N點的低

D M點的電勢比N點的高

模型演練

１.如圖所示，A和B為豎直放置的平行金屬板，在兩極板間用絕緣線懸掛一帶電小球。開始時開關S閉合且滑動變阻器的滑動頭P在a處，此時絕緣線向右偏離豎直方向。（電源的內阻不能忽略）下列判斷正確的是（ ）

A．小球帶負電

B．當滑動頭從a向b滑動時，細線的偏角θ變大

C．當滑動頭從a向b滑動時，電流表中有電流，方向從上向下

D．當滑動頭停在b處時，電源的輸出功率一定大於滑動頭在a處時電源的輸出功率

2.如圖所示，平行板電容器的一個極板與滑動變阻器的滑動端C相連接，I₁和I₂分別表示流過變阻器上、下部分的電流。電子以速度V₀垂直於電場線方向嚮往並穿過平行板間的電場。在保證電子能始終穿出平行板間電場的情況下，下列說法中正確的是

A.若使滑動變阻器的滑動端C上移，則電容器極板上的所帶的電荷量Q增大，電子穿越平行板所需的時間t減小

B.在滑動變阻器的滑動端C下移的過程中，則I₁＝I₂

C.將兩板間的距離稍加大後，電子離開電場時，比未變前離開電場時偏向角增大

D.將兩板間的距離稍加大後，電子離開電場時，比未變前離開電場時動能小

電容器的動態分析

(i)動態問題的三種情況

分析有關平行板電容器的Q、E、U和C的關係時，主要有三種情況：

①保持兩極板與電源相連，則電容器兩板間電壓U不變.

②充電後斷開電源，則電容器帶電荷量Q不變.

○3保持電路連接，但電路中串有二極管，在二極管導通時電容器兩板間電壓U不變；在二極管截止時電容器帶電荷量Q不變.

(ii)動態問題的三個常用公式及解題思路

①確定不變量.電容器與電源相連時，電壓不變；電容器先充電後與電源脫離時，所帶電荷量不變.

○2用決定式

分析平行板電容器電容的變化.

○3用定義式C=Q/U 分析電容器所帶電荷量或兩極板間電壓的變化.

○4 E=U/d分析電容器極板間場強的變化.

(iii)三類動態問題的分析

(I)電壓不變

如圖２所示,開關S閉合，由於電容器始終連接在電源上，因此兩板間的電壓U保持不變，可根據下列幾式討論C、Q、E的變化情況：

①當電容器兩極板正對面積S變化時（假設εr、d不變）：

S變大時，,由

知C變大，由Q=C·U知Q變大，由

知因U、d均不變，故板間場強不變；同理,S變小時，C變小，Q變小，E不變.②當電容器兩極板間介質的介電常數ε_r變化時（假設S、d

εr變大時，C變大，Q變大，E不變.

εr變小時，C變小，Q變小，E不變.

③當電容器兩板間距離d變化時（假設εr、S不變）：

d變大時，C變小，Q變小，E減小.

d變小時，C

4當在兩極間加入金屬板時,效果上相當於減小了板間距離d,分析方法同③.

(II)電量不變

如圖２所示,C充電後開關S斷開.由於電容器充電後切斷與電池的連接，使電容器的帶電荷量Q保持不變.可根據下列幾式討論C、U、E的變化情況：

①當電容器兩極板間距離變化時（假設εr、S不變）：

d變大時，C變小，Q不變，E不變，U變大；d變小時，C變大，Q不變，E不變，U變小.

②當電容器兩極板間的正對面積S變化時（假設εr、d不變）：

S變大時，C變大，Q不變，U變小，E變小.

S變小時，C變小，Q不變，U變大，E變大.

③當電容器極板間電介質的介電常數εr變化時（假設d、S不變）

εr變大時，C變大，U變小，E變小.

εr變小時，C變小，U變大，E變大.

○4當在兩極間加入金屬板時,效果上相當於減小了板間距離d,分析方法同①.

(III)與二極管相連

如圖３所示,電鍵S保持閉合,帶有一定電荷量的電容器通過二極管保持始終與電源相連接.由於電容器的電容變化時，如果沒有二極管，電容器要進行充電或放電，從而在電路中形成不同方向的電流，而二極管具有單向導電的特性，則在這樣的過程二極管可能處於導通狀態，也可能處於截止狀態.所以在此類問題中，首先可假設沒有二極管，判斷電容器變化時是要充電還是要放電，進而可判定二極管是處於導通還是截止.當二極管處於導通狀態時可按（I）中電壓不變來處理，當二極管處於截止狀態時可按（II）中電量不變來處理.

(iv)雙電容器的動態分析

在高中階段最常見的是如圖４所示的連接方式,圖中極板M與極板P電勢相同、極板N與極板Q電勢相同,兩電容器處於並聯狀態.

圖示情況下的並聯電容器總電荷量不變,兩極板間電壓保持相等.當其中一個電容器電容增大或減小而另一個的電容不變時,兩電容器的總電容增大或減小,即變化情況相同.

並聯電容的動態分析的一種思路是先由其中變化電容器確定總電容的變化情況,再利用總電荷量不變確定電壓的變化情況,再確定固定電容的電量變化,進而確定變化電容的電量變化情況.

當兩個電容器的電容相差很大時,並聯電容器的總電容取決於大電容,總電容近似等於大電容器的電容.改變大電容時可近似認為大電容上的電荷量不變.

例２.如圖所示，平行板電容器與直流電源

A．油滴帶正電

B．油滴帶負電

C．保持開關S閉合，增大電容器兩極板之間的距離，油滴將向下運動

D．若將開關S斷開，減小電容器兩極板之間的距離，油滴將向上運動

例３.如圖所示，D是一隻理想二極管，水平放置的平行板電容器AB內部原有帶電微粒P處於靜止狀態。下列措施下，關於P的運動情況說法正確的是

A．保持S閉合，增大A、B板間距離，P仍靜止

B．保持S閉合，減少A、B板間距離，P向上運動

C．斷開S後，增大A、B板間距離，P向下運動

D．斷開S後，減少A、

例４.如圖所示，將平行板電容器兩極板分別與電池正、負極相接，兩板間一帶電液滴恰好處於靜止狀態．現貼著下板插入一定厚度的金屬板，則在插入過程中

A．電容器的帶電量不變

B．電路將有逆時針方向的短暫電流

C．帶電液滴仍將靜止

D．帶電液滴將向上做加速運動

例５.如圖所示的兩個平行板電容器水平放置，A板用導線與M板相連，B板和N板都接地。讓A板帶電後，在兩個電容器間分別有P、Q兩個帶電油滴都處於靜止狀態。AB間電容為C₁，電壓為U₂,帶電量為Q₁，MN間電容為C₂，電壓為

A．C1減小，C2增大 B．U1減小，U2增大

C．Q1減小，Q2增大 D．P向下動，Q向上動

例６.在圖所示的實驗裝置中，平行板電容器的極板A與一靈敏的靜電計相接，極板B接地。若極板B稍向上移動一點，由觀察到的靜電計指針變化作出平行板電容器電容變小的結論的依據是[ ]

A.兩極板間的電壓不變，極板上的電荷量變小

B.兩極板間的電壓不變，極板上的電荷量變大

C.極板上的電荷量幾乎不變，兩極板間電壓變小

D.極板上的電荷量幾乎不變，兩極板間電壓變大

模型演練

1.在如圖所師的閃光燈電路中，電源的電動勢為E，電容器的電容為C。當閃光燈兩端電壓達到擊穿電壓U時，閃光燈才有電流通過併發光，正常工作時，閃光燈週期性短暫閃光，則可以判定

A．電源的電動勢 一定小於擊穿電壓

B．電容器所帶的最大電荷量一定為

C．閃光燈閃光時，電容器所帶的電荷量一定增大

D．在一個閃光週期內，通過電阻 的電荷量與通過閃光燈的電荷量一定相等

2.如圖所示，一個平行板電容器，板間距離為d，當對其加上電壓後，A、B兩板的電勢分別為＋φ和－φ，下述結論正確的是 ( )

A．電容器兩極板間可形成勻強電場，電場強度大小為E＝φ/d

B．電容器兩極板間各點的電勢，有的相同，有的不同；有正的，有負的，有的為零

C．若只減小兩極板間的距離d，該電容器的電容C要增大，極板上帶的電荷量Q也會增加

D．若有一個電子水平射入穿越兩極板之間的電場，則電子的電勢能一定會減小

3.給平行析電容器充電，斷開電源後A極板帶正電，B極板帶負電。板間一帶電小球

A．若將B極板向右平移稍許，電容器的電容將減小

B．若將B

C．若將B板向上平移稍許，夾角θ將不變

D．輕輕將細線剪，小球將做斜拋運動

4.如圖所示，D是一隻理想二極管，電流只能從a流向b，而不能從b流向a.平行板電容器的A、B兩極板間有一電荷，在P點處於靜止狀態．以E表示兩極板間的電場強度，U表示兩極板間的電壓，

A．E變小 B．U變大

C．Ep不變 D．電荷仍保持靜止

5.一平行板電容器兩極板間距為d 、極板面積為S，電容為

，其中 是常量。對此電容器充電後斷開電源。當增加兩板間距時，電容器極板間

A．電場強度不變，電勢差變大

B．電場強度不變，電勢差不變

C．電場強度減小，電勢差不變

D．電場強度較小，電勢差減小

6.如圖所示，C為中間插有電介質的電容器，a和b為其兩極板；a板接地；P和Q為兩豎直放置的平行金屬板，在兩板間用絕緣線懸掛一帶電小球；P板與b板用導線相連，Q板接地。開始時懸線靜止在豎直方向，在b板帶電後，懸線偏轉了角度α。現取出a、b兩極板間的電介質，則下列說法中正確的是：

A．電容器C的電容減小

B．極板a和b的帶電量減小

C．平行金屬板P、Q間的電勢差減小

D．懸線的偏角α變大

7.題圖1是某同學設計的電容式速度傳感器原理圖，其中上板為固定極板，下板為待測物體，在兩極板間電壓恆定的條件下，極板上所帶電量Q將隨待測物體的上下運動而變化，若Q隨時間t的變化關係為

（a、b為大於零的常數），其圖象如題圖2所示，那麼題圖3、圖4中反映極板間場強大小E和物體速率v隨t變化的圖線可能是

３.有關電容器中某點電勢、粒子電勢能的動態分析

(i)明確零電勢的位置即接地極板的位置

(ii)判定極板間電場強度的變化情況

(iii)判定極板間某點與接地極板間的電勢差變化情況

①當E不變時直接由U′=Ed′判定

②當E變化但移動的是沒有接地的極板時,也直接由U′=Ed′判定

③當E變化且移動的是接地的極板時,可先由U′=Ed′判定該點與固定極板間的電壓變化情況,再結合極板間總電壓來判定該點與接地極板間的電勢差變化情況

(iv)確定該點電勢的正負,由該點與接地極板間的電勢差的變化情況確定該點的電勢變化情況

(v)明確處於該點的帶電粒子的正負,結合該點電勢的變化情況判定粒子電勢能的變化情況.

例７.一平行板電容器充電後，開關保持閉合，上極板接地，在兩極板間有一負電荷（電量很小）固定在P點，如圖所示，以E表示兩極板間的場強，Q表示電容器的帶電量， 表示P點的電勢，Ep表示負電荷在P點的電勢能。若保持下極板不動，將上極板移到圖中虛線所示的位置，則 （ ）

A．不變，E不變 B．E變小，E_p變大 C．Q變小，E_p不變 D．變小，Q不變

模型演練

1.如圖所示，平行板電容器與電動勢為E的直流電源（內阻不計）連接，下極板接地。一帶電油滴位於容器中的P點且恰好處於平衡狀態。現將平行板電容器的上極板豎直向上移動一小段距離

A.帶點油滴將沿豎直方向向上運動

B.P點的電勢將降低

C.帶點油滴的電勢將減少

D.若電容器的電容減小，則極板帶電量將增大

2.一定行板電容器充電後與電源斷開，負極板接地。在兩極板間有一正電荷（電荷量很小）固定在P點，如圖所示。以E表示兩極板間的場強，U表示兩極板間的電壓，ε表示正電荷在P點的電勢能。若保持負極板不動，將正極板向右平移一小段距離。則

A．U變小，E不變 B．E變大，ε變大

C．U變小，ε不變 D．U不變，ε不變

3.帶電粒子能否穿出極板的一類動態分析

有一類題目是,帶電粒子在電容器間運動時恰好能到達極板邊緣,若在改變電容器的極板間距離後,判定帶電粒子在極板間運動的過程中還能否穿出兩板之間,一種基本方法是利用動能定理:

(i)首先假定粒子能穿出極板,利用動能定理求出粒子到達極板邊緣時的動能表達式

(ii)由求得的動能的符號判定粒子運動情況:

① 粒子能穿過極板邊緣

② 粒子恰好能到達極板邊緣

③ 粒子在到達極板邊緣前已返回

(iii)表達電場力做功的技巧:

若板間電壓不變,電場力做功利用 表示;若板間電場強度不變,電場力做功利用 表示.

例８.如圖所示，A、B為平行放置的兩塊金屬板，相距為d，且帶有等量的異種電荷並保持不變，兩板的中央各有小孔M和N.今有一帶電質點，自A板上方相距為d的P點由靜止自由下落，P、M、N在同一豎直線上，質點下落到達N孔時速度恰好為零，然後沿原路返回，空氣阻力不計.則（）

A.把A板向上平移一小段距離，質點自P點自由下落後仍然到達N孔時返回

B.把A板向下平移一小段距離，質點自P點自由下落後將穿過N孔繼續下落

C.把B板向上平移一小段距離，質點自P點自由下落後仍然到達N孔時返回

D.把B板向下平移一小段距離，質點自P點自由下落後將穿過N孔繼續下落

例9.如圖所示，A、B為平行金屬板，兩板相距為d，分別與電源兩極相連，兩板的中央各有小孔M、N。今有一帶電質點，自A板上方相距為d的P點由靜止自由下落(P、M、N三點在同一豎直線上)，空氣阻力不計，到達N點時速度恰好為零，然後按原路徑返回。若保持兩板間的電壓不變，則：

A.若把A板向上平移一小段距離，質點自P點下落仍能返回。

B.若把B板向下平移一小段距離，質點自P點下落仍能返回。

C.若把A板向上平移一小段距離，質點自P點下落後將穿過N孔繼續下落。

D.若把B板向下平移一小段距離，質點自P點下落後將穿過N孔繼續下落。

模型演練

1.如圖所示，a、b是沿水平方向放置的平行板電容器，兩板的中央沿豎直方向各有一個小孔，電容器充電後與電源斷開，a板帶正電、b板帶負電，電場僅侷限在平行板之間。有一帶負電的油滴從小孔正上方P點由靜止開始自由落下，先後穿過兩孔的速度均為V1，現將a板或b板向上或向下平移一小段距離，相同的油滴仍從P點由靜止開始自由落下，穿過b板小孔後的速度為V2，下列說法正確的是

A. 若向上移動a板，則V₁<V₂

B. 若向上移動b板，則V₁<V₂

C. 若向下移動a板，則V₁<V₂

D. 若向下移動b板，則

4.含電容的直流電路

(i)解決含容電路問題的基本思路

①首先確定電路穩定時的連接方式，必要時畫出等效電路.

分析電路結構時在電容器所在處電路可看做是斷路，簡化電路時可去掉它.在確定其電壓、電荷量時再在相應位置補上.

②確定電容器兩端電壓

a電容器兩端電壓與其所在支路相併聯部分的電路（或電阻）的電壓相同

b由於電容器所在支路中無電流，則與電容器直接串聯的導體,無論其阻值的大小,都可作為一根無阻值的導線處理.(故改變與電容器串聯的導體阻值時,對電路無影響)

c若電容器與其他元件不是簡單的串並聯關係時，如在圖5中，要確定C

③搞清楚電容器是充電還是放電過程，以確定充放電的暫態過程中電流的方向;再結合Q=CU進行進行定性判定或電荷量的定量求解.

(ii)幾種基本問題

①電壓與電荷量變化情況的定性判定

可應用直流電路的動態分析方法解決.

○2電荷量的定量計算

○a電路中電容器所帶電荷量的變化量等於通過與其串聯的導體橫截面的電荷量.

○b計算電容器所帶電荷量的變化量時,若始末狀態電容器兩板所帶電荷電性不變,則電容器所帶電荷量的變化量等於始末狀態下所帶電荷量的差值,否則等於始末狀態

下所帶電荷量之和,如在圖6中將電鍵S2由位置1板到位置2時.

○c在導體並聯時,相同時間內通過導體橫截面的電荷量與其阻值成反比.

○d若有電容器充放電時的電流時間圖象,則圖線與時間軸所圍圖形的面積等於該段時間內電容器所帶電荷量的變化量.

○3電流方向與電勢高低的判定

由於在電容器充放電時其所在支路中存在電流,從而與其串聯的導體兩端電壓也不為零.但在判定電流方向及電勢時,不能僅從電源的極性考慮,還需考慮電容器是處於充電狀態還是處於放電狀態.在電容器充電時,電流從電容器的負極板流出,流入電容器的正極板;放電時則相反.

○4與帶電粒子結合

在直流含容電路中,常與帶電粒子在極板間的平衡或運動相結合.無論是哪一種情況,都涉及到粒子的受力,進而與極板間電場強度、極板間電壓相聯繫,從而與電路中的電壓相結合.在這類題目中，通常需要利用粒子的平衡條件或牛頓運動定律來確板間場強的大小及方向，利用 確定板間電壓，再通過電路結構與直流電路聯繫起來.

例10.平行板電容器C與三個可變電阻器R1、R2、R3以及電源連成如圖所示的電路。閉合開關S待電路穩定後，電容器C兩極板帶有一定的電荷。要使電容器所帶電荷量增加，以下方法中可行的是

A.只增大R1，其他不變

B．只增大R2，其他不變

C．只減小R3 ，其他不變

D．只減小a、b兩極板間的距離，其他不變

例12.如圖所示的電路，電源電動勢E=8V，電阻R與一個電流傳感器相連，傳感器可以將電路中的電流隨時間變化的曲線顯示在計算機屏幕上，先將S接1給電容器C充電，再將S接2，結果在計算機屏幕上得到如圖所示的曲線，將該曲線描繪在座標紙上(座標紙上的小方格圖中未畫出)，電流座標軸每小格表示0.1mA，時間座標軸每小格表示0.1s，曲線與AOB所圍成的面積約為80個小方格。則下列說法正確的是

A．該圖象表示電容器的充電過程

B．電源給電容器充電完畢時，電容器所帶的電荷量約為

C．電容器的電容約為

D． 點的座標乘積表示此時電容器已放掉的電荷量

例13.一電路如圖所示，電源電動勢E=28V ，內阻r=2Ω ，電阻

，C為平行板電容器，其電容C=3.0pF，虛線到兩極板距離相等，極板長 L=0.20m，兩極板的間距d=1.0×10-2m

（1）若開關S處於斷開狀態，則當其閉合後，求流過R4的總電量為多少？

（2）若開關S斷開時，有一帶電微粒沿虛線方向以 的初速度射入C的電場中，剛好沿虛線勻速運動，問：當開關S閉合後，此帶電微粒以相同初速度沿虛線方向射入C的電場中，能否從C的電場中射出？（要求寫出計算和分析過程，g取10m/s2 ）

模型演練

1.如圖所示電路中，電源電動勢為Ｅ、內阻為r•，電阻 R3為定值電阻，R1R2 為滑動變阻器A B為電容器兩個水平放置的極板。當滑動變阻器R1R2 的滑動觸頭處於圖示位置時A,B兩板間的帶電油滴靜止不動。則下列說法中正確的是

A.把R2的觸頭向右緩慢移動時，油滴向下運動

B.把R1的觸頭向右緩慢移動時，油滴向上運動

C.緩慢增大極板A、B間的距離，油滴靜止不動

D 緩慢減小極板A、B的正對面積，油滴向上運動

2.如圖所示，為了使白熾燈泡L在電路穩定後變得更亮，可以採取的方法有的

A. 只減小電容器C兩板間的距離

B. 只增大電容器C兩板間的距離

C. 只增大電阻R1的阻值

D. 只增大電阻R2的阻值

3.如圖所示，R₃處是光敏電阻，a、b兩點間接一電容，當開關S閉合後，在沒有光照射時，電容上下極板上電量為零，當用光線照射電阻R₃時

A．R₃的電阻變小，電容上極板帶正電，電流表示數變大

B．R₃的電阻變小，電容上極板帶負電，電流表示數變大

C．R₃的電阻變大，電容上極板帶正電，電流表示數變小

D．R₃的電阻變大，電容上極板帶負電，電流表示數變小

5.交流電路中的電容器

(i)在交流電路中,從對電流的阻礙作用角度來看,電容器相當於一個導體,其容抗相當於導體的阻值,只是其容抗隨交變電流的頻率發生變化:頻率越高,容抗越小.

(ii)交流電路中,通過電容器的電流與交變電流的電壓、電容器的容抗之間仍遵從部分電路的歐姆定律.

(iii)電容對交變電流的阻礙與電阻對電流的阻礙本質不同,能量轉化的情況也不同:電阻是將電能向焦耳熱的單向轉化;電容器是將電能與電場能的相互轉化,在不考慮輻射時電能與電場能總量守恆.

例14.在圖示的電路中，由於電源變化，燈l變暗、燈2變亮、燈3亮度不變，則可能的情況是

A．保持電壓不變，使頻率增大 B．保持頻率不變，使電壓增大

C．保持頻率不變，使電壓減小

三模型演練

1.某同學在研究電容、電感對恆定電流與交變電流的影響時，採用瞭如圖所示的電路，其中 、 是兩個完全相同的燈泡。當雙刀雙擲開關置於3、4時，電路與交流電源接通，穩定後的兩個燈泡發光亮度相同。則該同學在如下操作中能觀察到的實驗現象是

A．當開關置於1、2時，穩定後 亮、 不亮

B．當開關置於3、4時，頻率增加且穩定後， 變亮、 變暗

C．當開關從置於1、2的穩定狀態下突然斷開， 將會立即熄滅

D．當開關從置於1、2的穩定狀態下突然斷開， 不會立即熄滅

2.如圖甲所示，理想變壓器原、副線圈的匝數比為10：1，R1＝20Ω ，R2＝30Ω ，C為電容器。已知通過R1的正弦交流電如圖乙所示，則

A.交流電的頻率為0.02 Hz

B.原線圈輸入電壓的最大值為200 V

C.電阻R2的電功率約為6.67 W

D.通過R3的電流始終為零

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