前段時間，阿蒂亞的一個斷言興奮了整個中國科普屆，真沒想到中國人那麼關心數學的發展。眾多十萬加的文章紛紛出籠，不知是喜是悲？
大家好，今天偉崗跟大家聊聊偉崗對費馬猜想跟黎曼猜想的一些感想，這裡面很多偉崗的個人觀點，當然存在偏見甚至錯誤，也希望大家批評指正。
文章開始前還是要感謝朋友同學的鼓勵打賞，這是對偉崗的最大支持。
費馬和黎曼，可以說是兩個留有缺憾的數學巨匠。費馬的缺憾在於跟當時主流數學界若即若離，這也許是他跟發明微積分擦肩而過的一大原因。
黎曼的缺憾在於他的身體不好。如果他能多活20年，數學也許能進步上百年。這不是偉崗誇大其詞，黎曼很多思想都大大地超前，如果都能整理出版，數學真有可能是另一番景象。
當然黎曼的性格過於低調，這也是一大遺憾。數學史專家一般把黎曼稱為害羞靦腆的小男孩（英語叫shy and timid boy）。
本來高斯是非常欣賞黎曼的，正好高斯又是黎曼的老師。可以說黎曼提出的黎曼非歐幾何以及數論方面的黎曼猜想都是高斯非常想發展的方向，如果兩個數學天才能夠深入交流探討，那也許會有奇蹟發生。
可惜，我們查不到一絲黎曼跟高斯交談的記錄。高斯，我們前面提到過，有一個缺陷，那就是不太願意上課和帶學生。不過如果黎曼主動一點，也許情況會得到改善。總之，歷史給了兩個天才相碰撞的機遇，要是兩個人能夠哪怕有一方比較主動，一個數學的新思想也許就產生了。
當然黎曼在數學上可不靦腆，他開創性的思維甚至超過了高斯。這也是數學的魅力之一。一個有數學天分，不太懂人情世故的人也能在數學史上創造奇蹟，這應該算人類文明的一大優勢。永遠要記住的是，任何時候數學都是科學發展的先鋒，一旦數學失去了發展方向，人類就會慢慢陷入只有技術的年代。而只講究技術的年代，人類的思維慢慢會被壓抑住，並失去創新的動力，這一點，古羅馬和中國歷史都可以說是已經被驗證了。
黎曼猜想可以說是給數學發展指出了一個方向，目前數學家也無法確認黎曼猜想的證明會把數學帶到哪裡。這個證明甚至可以說連一步都沒有邁出！
雖然我們知道數學家證明了至少三分之一的零點符合黎曼猜想，但這個離真正的證明還差十萬八千里，可以這樣說，也許以後的證明跟這個三分之一的確定完全沒有關係。黎曼猜想的證明需要新的數學理論做為支撐。這一點可能說得有點抽象，我們就以費馬猜想的證明來說明一下，也許大家可以有所理解。
從表面上看，費馬猜想的證明也不會涉及任何高深的數學知識。不就是一個方程式沒有正整數解嗎？雖然絕大多數人都無從下手，但是你要告訴他證明費馬猜想需要群論中的表示理論，還需要深刻理解橢圓函數以及模形式，偉崗相信在費馬猜想被證明之前，世界上極少有人認為這些是真的。即使是頂尖數學家也是如此。
群論可以說是數學家偉大的發明之一。它的精妙在於，在群論裡，數學家已經不研究具體數以及數的運算，而是研究數的結構。這句話要動點腦筋才好理解。簡單講，我們一般人心目中，數學就是有一定的量（比如，2,5,8等），這些量經過一些運算變成了其它的量（比如，10,15,18等）。一般數學就是研究這些量和運算就行了。
然而群論不同，群論是把一組數組合起來，讓它們滿足一些條件（比如跟加法類似的條件，封閉性，交換性等），然後整體研究這一組數的性質，我們甚至可以忽略這一組數具體是什麼，我們只研究一些跟這組數整體有關的性質。就像我們研究建築物，不研究它具體是什麼磚什麼土建的，而是研究這個建築物整體看起來是什麼樣子的，這就叫研究結構，而不研究具體的對象。
之所以數學家要研究一組數的結構，主要是有些性質必須要通過研究結構才能探明。比如說對稱性。數以及數的運算很難確定一組數是不是對稱，而群論就比較容易得出對不對稱的結果。打個不準確的例子，你通過建築物裡面的磚頭等肯定判斷不了這個建築物對不對稱，但是看整體就一眼就能判斷，這就是研究結構的厲害。而這類對稱性方面的信息，對研究諸如方程式有沒有根式解可以說是至關重要。所以群論是發源於研究五次及以上方程有沒有根式解，這個困擾數學家上千年的難題。
當然要真正理解群論，還有很多東西要學，我們後面會稍微詳細一點介紹。可以說群論是現代數學的精華。你如果理解了群論，對現代數學的認識就加深了很多。
而橢圓函數和模形式更是比較高深的現代數學知識。在懷爾斯之前，誰也不敢把這些理論跟費馬猜想的證明完全等同起來。雖然在懷爾斯之前，有日本數學家把費馬猜想跟橢圓函數和模形式等價起來。但是這樣的等價，數學家也不敢保證是把費馬猜想簡單化了還是更加複雜化。也就是說，能不能用橢圓函數和模形式理論去證明費馬猜想，在懷爾斯之前，沒有任何數學家有信心。
橢圓函數有個特點，就是它的雙週期性。也就是說它沒隔一段就會性質復原（這就叫週期性）。有了週期性就有了模的問題。這個模的問題也很困擾我們一般的人。要深入理解它還有一定難度。我們只能簡單地瞭解一下。
所謂模跟餘數是密切相關的。最簡單的例子，我們平時常見的10進位數，模就是10。這個怎麼理解呢？
我們有的時候，看一個數，只看它的個位，也就是說1跟11，2跟12，3跟13等我們往往認為是一類數。把10忽略掉，只研究11剩下的1（或者12剩下的2，以此類推），這個就是模跟餘數的研究方法。用普通語言講就是忽略模，只研究餘數。數學上還有專門的符號：11≡1（mod10）。也就是說以10為單位，我們把1跟11等同起來。這在數學上叫同餘研究，也是數論的一大研究範圍。
當然用橢圓函數做同餘研究，事情就複雜得多。首先你要確定模。由於橢圓函數是週期性的，模肯定是存在的（因為可以在一個週期中提煉一個數出來，而忽略在哪一個週期，而忽略的部分就是模），但是要確定模並計算出餘數，這一點就非常複雜了。所以這時候模被數學家稱為模形式。它是一個複雜的表達式，而不是一個簡單的數。
懷爾斯能夠把這些理論連在一起，並用它們證明了費馬猜想，使費馬猜想變成了費馬大定理（或者叫費馬最後定理），這一方面說明懷爾斯的天才，另一方面也說明了費馬猜想的難度超過所有人的想象。差不多400年，費馬猜想才得到證明，其中的辛酸，只有全身心地投入證明的數學家才會理解。
費馬猜想的證明走過很多彎路，最後以驚豔的現代數學畫上了一個完美的句話。相比較而言，黎曼猜想的證明進展就要艱難更多。數學家花了40多年才真正計算出了黎曼zeta函數的零點。基本上講，數學家還必須假設黎曼猜想成立才找得到零點，也就是說還跳不出黎曼猜想的圈子，用更高的視野來俯視黎曼猜想。換句話說，如果數學家找不到不受黎曼猜想限制的零點計算方法，那麼數學家就不可能有真正意義的證明。第一步大概率是簡單直接的黎曼零點計算算法，然後再探討黎曼零點位置的數學邏輯。
相比較費馬猜想，黎曼猜想甚至一般人理解都理解不了，這更會增加證明的難度。從另一方面講，如果黎曼猜想成立，會有很多關於素數的定理會成立。也就是說，黎曼猜想牽動了非常多的數學內容，而且都是非常高深的數學內容。這也會增加黎曼猜想的證明難度。因為很多數學內容靠黎曼猜想來連接，為了完成這樣的連接，數學家要做的工作非常多。任何連接出現問題，都會給黎曼猜想的證明留下陰影。偉崗估計甚至現階段的數學理論都無法完成這樣的連接，所以黎曼猜想的證明需要嶄新的數學理論和超強的數學想象力。
如果中國人很多對黎曼猜想的理解有一定深度就好了，那麼就不會因為阿蒂亞的一個聲稱加上果殼網編輯的背書就盲目興奮起來。其實這次對黎曼猜想虛假的狂歡，果殼網這個編輯有重要責任。國外的科學博客也報道了阿蒂亞的斷言，不過這些科學博客就有深度得多，它們首先挖出了阿蒂亞原來以前有兩次聲稱證明了數學難題，結果被證明是放空炮。如果果殼網編輯把這個歷史事實放到他的微博上，我相信大多數中國人就不會那麼盲目。
當然把責任都推向果殼網，顯然是不公平的。各個流行的數學公眾號充滿了樂觀的報道，甚至百度搜索和百度知道都把這個證明跟黎曼猜想聯繫在一起（也就是說你搜索黎曼猜想會彈出阿蒂亞已經證明了黎曼猜想的消息），全民狂歡都是基於阿蒂亞是一個真正的數學家這個事實。阿蒂亞得過菲爾茲獎和阿貝爾獎，這兩項可以說是數學界的最高獎項。有了這兩個光環，很多中國人（包括偉崗）都不太敢質疑阿蒂亞在數學方面的能力。什麼時候中國人能放下對權威的敬畏，中國的科學發展就有了希望。
好了，今天的篇幅也算長了，很多內容我們以後有機會再繼續深入地聊。
文章結尾還是做點小廣告，希望偉崗的淘寶小店：偉崗飛鏢能增加一些流量。也感謝朋友同學們對偉崗的厚愛，因為偉崗飛鏢默默無聞的小店竟然有了一些成交！不過，偉崗賣的絕對是真貨，這一點可以向大家保證。在飛鏢廠家中，目前似乎只有哈路士堅持飛鏢全部都在英國生產，這個非常不容易。飛鏢源於英國，又在英國根植幾百年，其文化底蘊之深，只有愛好飛鏢的朋友才會體會。英國原產就能保持英國的原汁原味，就更容易生產精妙的飛鏢。
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