9月21號這一天網上突然被黎曼猜想刷屏，原因是有個英國的大數學家宣佈黎曼猜想被他證明，並說將在9月24號公佈證明結果。這個數學家是英國著名數學家邁克爾·阿蒂亞(MichaelAtiyah, 1929.4.22－)，他是菲爾茲獎和阿貝爾獎的得主，所以似乎很有權威。加上果殼網編輯的佐證，似乎這個新聞是真的，黎曼猜想真的被證明了嗎？
到了今天，阿蒂亞已經去世，至今還留下懸案。
大家好，今天偉崗也來趕趕時髦，聊聊黎曼猜想的問題。文章開始還有要感謝朋友同學的鼓勵打賞，這是偉崗能夠堅持寫下去的重大動力。
首先表明偉崗的觀點，偉崗認為這個證明的消息不可靠，至少24號如果要宣佈證明結果的話（關於這個偉崗都強烈懷疑），這個證明肯定是不完整的，甚至是錯誤的。為什麼這樣說呢？我們先來談談什麼是黎曼猜想。
黎曼我們前面提到過，他只活了40歲。在他短暫的生涯中對數學做出了巨大的貢獻。黎曼猜想就是其中的一部分。
黎曼猜想的橫空出世是在黎曼唯一一篇關於數論的論文中。這篇論文發表於1859年，那時黎曼33歲。這篇論文只有10頁，但是被後來的數學家譽為最偉大的數論論文，沒有之一，原因就是因為它揭示了數論中最偉大的定理：素數定理的一些規律。
我們先把素數定理放到一邊，談談黎曼猜想到底是什麼。這裡可能要涉及一些數學知識，請朋友同學耐心讀下去，其實不去追求細節，任何只有高中水平的人都能讀懂偉崗的文章，關鍵是不要輕易放棄。
談到黎曼猜想，首先要談到歐拉，這個歷史上最多產也被很多人認為是最偉大的數學家。歐拉的一大特長就是解決無窮級數的求和。下圖的結果就是歐拉證明的。
這個級數的和能夠跟π聯繫在一起，不是天才真是很難得想到，更不用說嚴格證明了。所以說歐拉在數學上的地位不可撼動。
從這個級數推廣，黎曼研究了一個非常重要的級數，那就是所謂的zeta級數（用希臘字母ζ表示）（見下圖）：
在黎曼之前，這個zeta級數的指數s只能是整數，黎曼把它做了推廣，把s當做一個複數，這引出了一個全新的數學學科：複分析。
複數我們在高中就學過，無非是因為負數開方引出來的，也就是說，根號負一我們把它寫成i，這個作為複數的虛部，在加上覆數的實部就構成了一個完整的複數。比如說1+i就是一個複數。不過黎曼把複數放到了自然數n的指數上，這會產生一些問題，首先n的i次方怎麼算？這個有特定的計算公式，簡單地講就是在複平面上進行圓周運動。大家不理解怎麼計算也不要緊，只是知道數學家有約定的方法計算就可以了。
最嚴重的問題是，zeta函數如果指數是任意複數，會產生級數發散的現象，比如說讓上面的s等於1，這時的zeta函數就變成了這樣的級數求和：（見下圖）：
這構成了一個數學上稱為調和級數（英語叫Harmonic Series）的和，而這個級數的和是發散的，也就是說趨向無窮大，沒辦法求出來。這樣我們就是遇到黎曼zeta函數的第一個難題，級數和不存在怎麼辦？
這時複分析要登場了，黎曼做了一個複分析中最重要的步驟，數學名詞叫解析延拓（英語叫analytic continuation）。不太準確簡單地說，解析延拓就是當計算公式不成立時，我們用另外的計算公式代替原來的計算公式。可能很多朋友同學看到這裡有些頭大，計算公式怎麼可以隨便改的？
數學家可以說是最有想象力的人群，只要是不違背數學邏輯，他們會想出外行打破腦袋也想不到的招數。解析延拓只是小小的招數而已。
我們這裡不去探討為什麼可以改變計算公式，這個講起來就非常複雜，我們只是粗略的描述一下結果，以便讓大家更好地理解黎曼猜想。
簡單地講，黎曼通過解析延拓使得zeta函數對s等於所有的複數值完全都可以計算（準確的講s=1不行，不過這一個點不重要）。比方說，s=-1時級數的和值，按照黎曼的解析延拓等於-（1/12），也就是負12分之一。也就是說，1+2+3+4+……=-(1/12)，這似乎有點不可思議。
有較真的朋友同學讀到這裡肯定有很多疑問，第一個疑問肯定是，這樣的延拓會不會破壞了整個數學運算？
其實黎曼選擇zeta函數的延拓是非常有數學基礎和想象力的。具體的延拓公式見上圖。這些公式看不懂不要緊，只是心裡有這樣的結論，黎曼這裡的解析延拓對他後續研究素數定理不會產生任何數學上的問題。這樣的延拓當然不能應用到任何場景，但是在黎曼的這個關於素數定理研究的範圍，它沒有任何問題。到了這裡，你如果還要較真，問為什麼沒有問題，那你就需要深入地研究複分析。
朋友們的第二個疑問肯定是，為什麼要做這樣的延拓？首先當然是為了zeta函數能夠計算出來。其次，為了後面素數定理的證明，延拓也是必須的。這句話又是什麼意思呢？簡單地講吧（當然是不嚴格的），沒有延拓，黎曼想完成的素數定理的推導就進行不下去，因為你沒有辦法把參數限定到可以計算zeta函數的範圍，有了延拓，證明才能嚴格進行下去。
好了，如果大致理解了上面的內容，黎曼猜想就可以出籠了。黎曼通過他的延拓公式發現了一個很奇怪的結果，那就是如果zeta函數等於零（也就是所謂黎曼的零點），那麼參數s值的實部都等於1/2，也就是二分之一。這裡有個小問題要注意，按照黎曼的延拓，s的值為一些負整數時，黎曼的zeta函數也等於零，這些叫zeta函數的平凡零點，不計算在上面的零點之內。
這非常不可思議，因為黎曼做他的解析延拓時，並沒有特別關注zeta函數的零點。而這些零點竟然會有特殊的值，是誰也想不到的。
更令人想不到的是，如果黎曼猜想成立，也就是說如果黎曼zeta函數所有非平凡零點的參數s值的實部都等於二分之一，那麼素數定理會有很多特殊的結果，這就更令人奇怪了。那麼什麼是素數定理呢？這裡就要牽涉一門學科叫解析數論。
素數是數論研究的重點（如果不強調說是唯一的研究對象的話），其中素數的個數也是數學家非常想知道的。數學家專門定義了一個函數叫π（x）,這裡x是一個正整數，而π（x）代表小於x的所有素數的個數。也就是說π（4）等於2，π（6）等於3，以此類推。
數學家當然想找到π（x）的計算公式，但這個目前看可能性不大。數學家只能退而求其次，找到π（x）的大致範圍，也就是說當x越來越大時，π（x）會趨向於什麼值。數學家還真找到了這樣的公式，這就所謂的素數定理，是解析數論研究的範圍。
第一個在素數定理上有突破的是偉大的數學家高斯，後來法國數學家勒讓德把它總結為下圖的結論：
有下圖的結果我們可以看到上面的估值公式還是非常厲害的。
後來又有了更好的估算公式，那就是Li(x)函數的引進。我們不去管它計算的複雜性，我們只要知道有這樣的公司就可以了。
而黎曼猜想如果成立，素數定理就可以大大改善。簡單地講由下面三個圖說明。
第一個圖限定了π（x）跟Li(x)的範圍。第二個圖更加厲害，相隔兩個素數的最大差值都可以確定。我們知道張益唐就是求得了孿生素數存在的最大差值。他也是利用了當前的素數定理，只不過他把估值計算公式變成了一個確定的值，這個非常了不起。如果黎曼猜想成立，那麼孿生素數方面應該還會有更大突破。
第三圖對一些數學家很有意義，它牽涉到一些大素數的計算方法。比如一些關於素數的常數。這些偉崗這裡就不多講了。
更為厲害的是，如果黎曼猜想成立，一個較弱化的哥德巴赫猜想也就成立。也就是說如果黎曼猜想成立，大於5的奇數可以表示成三個素數的和。
從上面的討論看，黎曼猜想的內涵非常地豐富，所以說證明它也非常困難。事實上黎曼猜想現在被稱為百萬美金猜想，因為誰證明了它就可以獲得百萬美金。這個可不是土豪任意撒錢的100萬，是貨真價實的100萬。
錢當然不能說明一切，但是偉崗的觀點，從目前的進展看，黎曼猜想的證明可以說是毫無頭緒。一個這樣難的大猜想是不可能被一舉證明的。
而且偉崗也用谷歌查了一下新聞，竟然沒有一點新聞，要是被證明了不可能谷歌搜索不到，這更增加了偉崗的懷疑。
當然偉崗也希望黎曼猜想被證明了，當良好的願望不代表現實，權威的說話也要分析分析，盲從是我們中國人最需要改變的習慣。
好了今天也聊了很多了。由於倉促出手，難免有很多寫得不對的地方，希望朋友同學批評指正。
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