無論是量子物理還是複雜網絡，我們都能從中看到由關係、標度、自相似、雙曲幾何相互交織的大網。也許這是一種能夠統領宏觀與微觀的統一理論，這是一種面向關係的物理學。
撰文
張江（北京師範大學系統科學學院副教授、集智俱樂部創始人）
城市中的社交網絡
我們的社交圈子就是一張無窮無盡的大網，而每個人就像落入的飛蟲，無法看到整張網絡的全貌。
真實的社交網絡是什麼樣子的？起初人們猜想，那應該很像一個規則的網格，如圖1所示。
圖1. 規則網絡，每個節點都只與它的歐氏距離最近的節點相連
這種思考不無道理，由於我們的城市就好像一張規則的幾何平面，而每個人都生活在幾乎等大小的格點之中（如圖2所示），於是如果人和人之間的社交關係都僅僅限於鄰里之間的話，那麼規則網格就成為了必然結果。
圖2. 規則的城市，每個人都生活在規則的格子中
然而，我們很容易知道真實情況一定不是這樣子的。原因是，沒有哪個人願意成天宅在家裡，於是人們發明了城市道路來溝通，這樣真實的城市除了一些規則的社區之外，還存在著類似於血管網絡一樣的街道，如圖3所示。
圖3. 巴黎城市上空的夜光圖
這些血管不僅將城市支離破碎成一個個不規則的小區域，而且還成為了溝通兩個不同小區之間的超級“蟲洞”（或稱傳送門 Portal）——這是因為，人們可以通過現代化的交通工具快速地到達城市的遠方。於是，我們猜測，社交網絡也會隨著“蟲洞”的出現而變形：我們有大量的鄰居朋友們，但同時還保持著一些遙遠世界的朋友，這樣網絡中會出現一些長程鏈接（如圖4所示）。
圖4. 猜測的社交網絡
這種長程聯繫可以使得網絡的平均距離大大縮短，於是我們通過將近六步跳躍就可以通達整個網絡，這就是所謂的六度分離現象。而作為背景的網格則使得社交關係具有高度的集聚性，也就是說你的朋友們彼此相連的概率依然很大。科學家們將這類平均距離很短、集聚性很高的網絡稱為小世界網絡。
大量緊密相連的局部鏈接配上少數長程的“蟲洞”使得整個網絡處於一種牽一髮而動全身的臨界狀態。物理上，這些處於臨界態的系統通常具有標度對稱性。
圖5. 互聯網：節點為路由器，連線為物理鏈接
如圖所示，當我們用放大鏡去看這個複雜網絡的時候，會發現它彷彿是一座大型的分形城市，有中心，有社區，也有小鎮和村莊。當我們把放大鏡的比例不斷提升，就會發現大大小小的團簇躍然紙上，更重要的是，它們都是彼此相似的。在定量上，這種自相似性就體現為一系列的冪律關係和冪律分佈，著名的網絡科學家巴拉巴希（Albert Barabasi）將這種處於臨界態的網絡稱為無標度網絡。
複雜網絡的雙曲幾何
那麼，我們是否可能設計一個模型來複現出同時具備小世界和無標度特性的網絡呢？
讓我們仍然從城市的類比中尋找靈感。我們都知道，城市無非就是大量人口的聚集。然而，這些人口並不均勻地分佈在城市區域之中，而通常會形成中心密集、外圍稀疏的分佈形態。假如我們硬要將城市的形態繪製成等密度分佈，那麼城市就會發生一定的扭曲變形：中心區域會膨脹得很大，而外圍區域則會被擠壓變得很小。這在地理學中就叫做等人口密度圖（Cartogram map），如圖6所示。
圖6. 倫敦原圖（左）與它的等密度圖（右），圖中紅色圓圈圈起來的區域就是大倫敦區，它基本上是一個對稱的圓形區域，並呈現了中心人口密集，外圍稀疏的特性。將大倫敦區的等人口密度圖展現出來就彷彿是一個雙曲空間的龐加萊圓盤模型。
可以想象，這種扭曲其實很有道理。因為城市中心通常非常擁擠，它們消耗了大量的通勤時間；而另一方面，中心城區通常是各類新聞、各類新鮮事兒的發源地，它們理應在我們的頭腦中佔據更大的空間。
看著圖6右圖中被扭曲了的大倫敦區域，我們不禁想起了著名畫家埃舍爾的作品，如圖7所示：
圖7. 著名荷蘭版畫家埃舍爾的作品，用等大小的魚填充的整個雙曲空間的龐加萊圓盤模型
這是一個無限的雙曲空間（曲率為負常數的非歐空間），但是通過龐加萊圓盤（Poincare disk）表示方法，這個無限的空間被壓縮到了一個有限的圓盤上。圖中所有的魚都是全等的，但是，由於雙曲空間存在著扭曲變形，這就使得中心區域的魚顯得更大一些，四周的魚顯得非常小，以至於在邊界處，有限的圓擠下了無窮多條魚，這些魚的表觀面積是無窮小。
這啟發我們得到以下的猜想，既然城市的等人口密度圖可以展現得好像一個雙曲龐加萊圓盤，那麼有沒有可能我們的社會網絡本身也是生長在這種雙曲空間中的一種網絡呢？
還真有人這麼想。俄羅斯裔的美籍數學家克里奧科夫（Dmitri Krioukov）和希臘科學家啪啪多普洛斯（Fragkiskos Papadopoulos）長時間合作研究複雜網絡的雙曲幾何模型。終於，2012年，他們在Nature發表了一篇題為《生長網絡中的流行性及其相似性》（“Popularity versus similarity in growing networks”）的長文，構造了一個雙曲幾何空間中的生長網絡模型。該模型不僅復現出來了小世界、高聚集性、無標度等性質，而且還能涵蓋幾乎所有重要的網絡模型。
讓我們還是用城市來做比喻。假設有一個雙曲幾何空間中的人類城市。在初始時刻，城市中僅有一個居民，他（她）就居住在城市的正中央（1號節點所在的位置，龐加萊圓盤的正中心）。然後，新的居民開始一個個地進入城市。假設先來的人靠近市中心，而後到的市民則只能不斷地往外圍擴張。每個節點都有一個極座標 (rt ,θt)，模型規定第 t 個人到市中心的距離 rt 是 ln t，並且角度 θt 則是從 0 到 2π 區間隨機選擇一個。每新加入一個節點，就會帶來 m 個新連邊（其中 m 是一個參數，比如 3）。那麼這 m 個新連邊應該跟誰連呢？答案是所有的雙曲空間中離這個新來的節點最近的 m 個點。
圖8. 雙曲空間下的生長網絡
如圖8所示，紅色的區域就是以新加入的節點20為中心的雙曲圓。我們看到這個雙曲圓（紅色區域）並不是一個對稱的圖形，而是好像舌頭一樣從邊緣伸向了中心。這恰恰是雙曲幾何的典型特徵。要想成為新節點 20 的鄰居，老節點要麼位居靠近城市中心的位置，要麼就是在與新節點差不多的角度方向上。
事實上，啪啪多普洛斯將每個點 N 到中心節點的長度解釋為該節點的流行性，如果 ln N 越小，則該節點越流行。反過來，作者將每個節點所在的角度解釋為節點的相似性指標，如果兩個節點的角度越靠近則它們彼此之間就會越相似。所以，要想競爭到新的鏈接，那麼老節點要麼非常流行，要麼與新節點足夠相似。在雙曲幾何中這就體現為讓老節點到新節點的雙曲距離最小化。
可以驗證該網絡具有小世界效應。事實上，那些連通到流行度比較高的連邊恰恰可以降低網絡整體的平均路徑長度。而由於整個網絡都是按照雙曲空間近鄰的方式建立，雙曲空間又是一個度規空間，其上的三角形必然滿足三角不等式。這樣，如果 A 和 B 是鄰居，B 和 C 也是鄰居，那麼根據三角不等式，兩邊之和大於第三邊，也就意味著 A 和 C 的距離要小於 AB+BC，所以 A 和 C 也就會有較大的概率發生連接。於是，網絡的集聚性也會很強。其實，只要一個網絡被嵌入到一個具有度規（定義了距離）的空間中，三角不等式就都可以成立，也就意味著集聚性會很高。
無標度網絡與雙曲空間
更重要的是，雙曲幾何自然蘊含著無標度網絡。事實上，早在2010年，克里奧科夫和啪啪多普洛斯就發現，基於雙曲空間的局域連接結構就天然是無標度的。比如我們在雙曲空間中隨機地灑下很多點，兩個點之間的雙曲距離如果小於某一個常數就連接一條邊，那麼生成的網絡就是無標度網絡。
這背後的原因是什麼呢？原來，雙曲空間其實本身就是一個連續版本的樹狀網絡，而不同分叉數的樹會對應雙曲空間中的不同曲率（如果樹的分叉率為 b，那麼所對應的雙曲空間的曲率就是 -(ln b)2）。
圖9. 雙曲空間中的樹（在圖中，每一個六邊形都是等面積的，將每個六邊形的中心連起來就形成了一棵樹狀結構，這是雙曲空間的離散版本）
這樣的樹狀結構恰恰對應了網絡的不同標度。讓我們對如圖5所示的複雜網絡結構進行放大縮小變換，我們可以將一些彼此連接緊密的節點捏到一起形成一團，並把它看作一個新的節點。這種操作在物理中叫做粗粒化（coarse graining），或者也有時叫做重整化（renormalization）。我們得到了一個樹狀結構，從樹根到樹葉，樹的每一次分叉就代表了將一個節點團做展開生成更細節的節點。所以，雙曲空間中的徑向方向便可以被理解為系統的標度，它是一個與時間和空間同等重要的變量，但卻常常被我們忽略。樹根處的節點就成為了超級中心（Hub），而樹葉上的節點自然形成了長尾分佈。大大小小的節點相互連接就構成了非常異質化、層級性的無標度網絡。
實際上，克里奧科夫和啪啪多普洛斯並不是發現系統無標度性和雙曲幾何之間聯繫的第一人，這套方法可以追溯到量子物理中的 AdS/CFT 變換。
量子糾纏
有人說，物理學給人類帶來最偉大的財富可以用三個E來代表。第一是 Energy，能量；第二是 Entropy，熵；第三個就是 Entanglement，糾纏。由此可見量子糾纏在物理中的重要性。
所謂的量子糾纏是指兩個量子粒子存在的一種很強的聯繫，在這種聯繫下它們彷彿就是一個整體，甚至這兩個粒子已然相隔萬里。這就是讓大科學家愛因斯坦也唏噓不已、不願意接受的量子糾纏：兩個明明分離的部分卻表現得像一個整體。
然而，對於一個量子多體系統來說，糾纏，特別是長程的糾纏卻不一定是好事。這是因為物理學家通常無法用他們熟悉的局域化的數學工具來分析這類系統。於是，物理學家們試圖尋找出一種能夠將長程糾纏轉化為局域聯繫的途徑。
這個時候，物理學家們忽然想到了蟲洞。所謂的蟲洞，就是一種時空結構，可以將兩個原本相隔非常遠的空間重新聯通到一起。不過，這種結構是非常不穩定的，它的壽命也極其短暫。
再來看量子糾纏，它也具有非局域特性，而且也是極其不穩定的。為了避免退相干，人們需要精心製備實驗條件，這也是為什麼量子計算機極其難以製造的原因。我們很難長時間維持一個長程的糾纏。
正是由於量子糾纏和蟲洞之間的相似性，才使得人們大膽猜測，量子糾纏實際上就是蟲洞。當兩個相隔很遠的量子比特處於相互糾纏狀態的時候，它們彼此之間實際上有著空間中的蟲洞相連。
於是，當我們將量子多體中的糾纏一個個地替換成蟲洞，並將通過蟲洞相互聯繫的遠程空間點拉到一起，我們就得到了一個全新的空間，一個具有負曲率的雙曲空間。如果原來的量子多體系統位於一個圓環邊界，那麼新空間就是被這個圓環所包圍的圓形雙曲區域——一個龐加萊圓盤。因此，這種對應也被稱為邊界－體對偶。在這個體空間（雙曲）中，長程的複雜糾纏消失了，取而代之的是一個彎曲的時空。由於彎曲的時空就意味著萬有引力，於是，原來的無引力的量子多體系統就轉化成了一個引力場。這就是物理中著名的 AdS/CFT 對應。其中，AdS 是 anti-de Sitter的縮寫，它是一個具備負曲率的體空間。CFT是共形場理論（Conformal field theory）的縮寫，它是邊界上的處於臨界的多體量子系統。
這種對應在理論物理研究中有著非同尋常的作用，它可以將一個萬有引力問題轉化為一個量子多體問題；反過來，它也可以將一個存在著長程糾纏的量子多體問題轉化為一個無糾纏的引力問題。
走向統一
除了空間和時間，宇宙中的萬事萬物還需要用一個基本的量去刻畫，這就是標度。一隻螞蟻和一頭大象看到的世界是不一樣的，因為它們在不同的標度上。而有意思的是，大自然中的很多複雜事物都具有標度對稱性。也就是說，當你拿著一個放大鏡去看整個系統，無論放大鏡的倍數有多大，你所看到的都是非常相似的景象——這就是分形。於是，作為一個觀察者，你已經無法分辨自己在什麼樣的標度下，這就是標度對稱性或無標度性。
在過去的數十年中，人們在各種複雜系統中發現了花樣繁多的冪律，或稱臨界現象。在這背後隱藏的是系統的無標度性或自相似性。同樣的道理，這種無標度性也展現在量子糾纏系統之中。從關係的角度說，這種臨界性就意味著長程關聯，即所謂的牽一髮而動全身。於是，傳統的數學物理工具通常無法直接應用到這類體系中，因為它們大多都是局域化的。重整化幾乎是目前唯一一種能夠分析這類無標度系統的有效方法，它牢牢抓住了系統在尺度變化下的不變性，從而總結出規律。然而做重整化操作存在著太多的特殊技巧。
通過本文所講的邊界－體對偶變換，我們就能將處於臨界的系統映射到一個具有負曲率的更高維度的空間中，這樣那些長程聯繫就全部變成了局域聯繫。而我們的代價則是多出了一個維度，這個維度正是標度。這樣，沿著雙曲空間的徑向軸，也就是標度，系統被一層一層展開，所有的複雜耦合都變成了雙曲空間中的局部聯繫——這便是我們熟悉的重整化操作。更重要的是，我們熟悉的那些基於局域聯繫的分析手段又可以有用武之地了。也就是說，在雙曲空間中，人們獲得了全新的視角。
無論是量子物理還是複雜網絡，我們看到了由關係、標度、自相似、雙曲幾何相互交織的大網。也許這是一種能夠統領宏觀與微觀的統一理論，這是一種面向關係的物理學。
後記
本篇文章的靈感來源於凱風基金會贊助集智俱樂部於2016年10月初舉辦的“網絡、幾何與機器學習”研讀營活動。在這次活動中，尤亦莊、張潘、吳令飛等年輕學者圍繞著複雜網絡、統計物理、量子物理、機器學習、計算社會科學等多個主題展開了密集式的討論。本篇文章是筆者針對研讀營活動內容所思所想的一個感悟，後經文小剛老師的點撥撰寫成文。由於文中很多觀點對於筆者來說都是初次接觸，故而如果文中有錯誤或不當之處，還請各位讀者海涵。
張江：北京師範大學系統科學學院副教授，集智俱樂部創始人。2006年獲北京交通大學經濟與管理學專業博士學位，2006-2008年在中科院數學與系統科學研究院的複雜系統研究中心從事博士後研究工作。自2008年6月進入北京師範大學學院工作以來，共發表SCI論文十餘篇，譯著1本，編著2本。主要關注領域：複雜系統中的流網絡、異速生長、人工智能、機器學習等。長期積極參與國際學術交流活動，曾先後訪問過美國密西根大學（Michigan University）、佛蒙特大學（University of Vermont）、聖塔菲研究所（Santa Fe Institute）、瑞士弗雷堡大學（University of Fribourg）等地。
閱讀材料
[1] 關於複雜網絡的基礎知識，可以參考Mark Newman的經典教材：Mark Newman, "Networks: An Introduction", OUP Oxford, 2010
[2] 關於雙曲幾何的入門介紹，可以參看：Francis Bonahon, "Low-dimensional geometry - From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots", American Mathematical Society, 1995
[3] 複雜網絡的雙曲生長模型（原載於Nature）：Papadopoulos F, Kitsak M, Serrano M Á, et al. Popularity versus similarity in growing networks [J]. Nature, 2012, 489(7417): 537-540.
[4] 雙曲空間中的隨機幾何圖模型（將雙曲幾何引入複雜網絡研究的最早論文）：Krioukov, D. (2010). Hyperbolic geometry of complex networks. Physical Review E 82: 036106.
[5] 關於複雜網絡與雙曲空間（集智的百科介紹）：http://wiki.swarma.net/index.php/%E5%A4%8D%E6%9D%82%E7%BD%91%E7%BB%9C%E7%9A%84%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A8%A1%E5%9E%8B
[6] 2016年11月《科學美國人》發表的科普文章：Juan Maldacena, “Black Holes and Wormholes and the Secrets of Quantum Spacetime”, Scientific American 315, 26 - 31 (2016)
[7] 關於量子信息與量子糾纏（尤亦莊在集智百科上面的介紹）：http://wiki.swarma.net/index.php/2016%E7%A0%94%E8%AF%BB%E8%90%A5%E4%B9%8B%E5%BC%A0%E9%87%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C
[8] 關於量子信息與量子計算（經典教科書）：Michael Nielson & Issac L. Chuang, "Quantum computation and quantum information", Cambridge University Press, 2001
[9] 關於 AdS/CFT 對應（維基百科上的詞條）：https://en.wikipedia.org/wiki/AdS/CFT_correspondence
賽先生系今日頭條簽約作者
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