愛因斯坦說重力不是一種力，這是時空彎曲的表現。聽起來很棒，但曲率是多少？
在廣義相對論中，墜落或軌道上的物體不是被引力拉動的，它們只是在彎曲的時空中沿著直線等速運動。但它們實際上是什麼意思呢？
在接下來的文章裡，我會給你一個答案的感覺，一個概念的流程圖，以及它們是如何加起來的，這個想法就是根本沒有重力。如果世界是一個彎曲的時空，那麼熟悉的術語含義，如等速直線和加速度，將變得模糊不清。我們將被迫重新定義它們，一旦我們這樣做了，就不會再不一致地說下降的幀是慣性的，即使它們相對彼此加速。這一系列文章中的目標是即使沒有牛頓重力，如何解釋我們觀察到的運動。但需要先做一些基礎工作，所以我將把它分為三個部分。
在第一部分中，將把物理放在一邊，重點放在幾何上，特別是直線和曲線數學空間。在第二部分中，將瞭解4維平面時空的具體幾何結構，這已經很奇怪了，即使沒有曲率。在第三部分中，將把曲率和時空放在一起，把重力錯覺事件結束時提出的所有鬆散的端點綁在一起。最終會發現所有假設的引力對運動的影響都可以通過時空的幾何學來解釋。現在必須把這些事情打破，否則會有太多的邏輯上的空白，完全破壞了談論這個的目的。本文是第一部分，這是直線和曲線空間，沒有物理，只有幾何。從數學課的歐幾里得二維平面圖開始。
直觀地說，圖中的第一條曲線，連接點A和B是直線，而第二條曲線不是。但我們怎麼知道呢？如果我們想在任意的空間上做幾何學，比如在球體或馬鞍的表面上，或者在一些特別的山坡上，這不是一個空洞的問題。說這是從A到B的最短路徑並不能作為一般答案。
畫一個尾端在A點的微小矢量。可以沿著曲線1或曲線2將該向量從點A滑動到點B，同時保持其與原始方向平行。這種操作稱為沿曲線平行傳輸矢量。
在點A畫一個向量，特別是與曲線1相切的向量，然後平行地把這個向量沿著曲線1傳輸到B。在沿途的每一點，它都與曲線1相切。相反，如果取一個與曲線2相切的向量，並將其平行地沿著曲線2傳輸到B，它不會在所有點上都與曲線2相切。如果相切向量在沿該曲線平行傳輸時保持相切，則曲線是直線。數學家們很久以前就認識到，這個定義概括得很好，也很有用。
例如，想象一隻螞蟻被限制在一個普通球體的表面上，而不知道或無法接近離開表面的方向。從螞蟻的二維受限角度看，A和B之間的曲線是直的。當平行傳輸到點B時，在點A處與曲線1相切的向量沿著曲線1始終保持相切。但在第二條曲線上不是這樣的，這就是為什麼第二條曲線不是直的。現在從環境三維的角度，可以說這些切線向量並不是真正保持平行的，曲線也不是，實際上是直的，但是螞蟻非常扁平，不能像我們在四維中那樣看三維。它的整個世界就是球面，它需要平行、相切和直線的標準，這樣它就可以單獨應用於二維空間。螞蟻就是這樣做的。
在球體的微小區域，螞蟻可以假裝它在平面上，並且可以使用平行和相切的平面定義。因此平行傳輸一個切向量意味著將一條曲線分解成無數微小的步，並在每一步上應用平面規則來進行平行和相切。一旦螞蟻在連接A和B的許多曲線上做了這一點，它就會發現切線向量只會沿著一條特定的曲線（大圓的一段）保持相切。這段被稱為測地線，分段是直的。通過同樣的過程，你可以在馬鞍上、山坡上或三維空間中找到測地線。測地線並不總是兩點之間最短的曲線。大圓中指向相反方向的那條曲線也是直的，儘管它不是連接A和B的最短曲線。事實上，在一些有奇怪距離公式的空間中，比如平面時空，測地線有時是兩點之間最長的曲線。所以直線度的最短路徑規則並不是一般化的，而是切線向量平行傳輸規則。在其他彎曲空間中，多條直線可以連接同一兩點。因此在彎曲空間中兩點之間的距離概念是不明確的。所能談論的只是曲線的長度，以及它們的直線度或不直線度。直觀地說，知道平面是平面，球體是彎曲的。但這是為什麼呢？
同樣可以使用並行傳輸來定義曲率。沿兩條不同的曲線將矢量從A平行傳輸到B。如果得到的結果是相同的，同樣的向量在B點，那麼空間是平的，否則它是彎曲的。下面是另一種思考方法。平行傳輸一個向量圍繞一條閉合曲線，從a開始一直到a。如果以開始時的向量結束，空間是平的。如果不是，就是彎曲的。現在涉及並行性的曲率的另一個定義。也就是說，取兩個附近的平行測地線無限延伸。如果它們總是保持平行，你的空間是平的。但是如果這些測地線在任何點開始會聚或發散，那麼空間就是彎曲的。這並不明顯，但這個定義在邏輯上與已經給出的定義是相同的。彼此暗示對方。曲率的概念並不總是符合三維視覺的直覺。例如圓柱體的表面是平的。如果在一張平面紙上畫一些線和向量，然後把它捲成一個圓柱體，就可以驗證平行線確實保持平行。現在這些線可能會靠自己閉合，但在局部，由片段組成的片段，幾何和直線度，相切和平行度，都像在平面上一樣工作。柱面與平面在拓撲上的區別，即空間不同區域的連通性。拓撲是全局的，但幾何和曲率是局部的。不同的概念。現在在三維空間中，可以像描述的那樣測試曲率。只需在一個圓周圍移動一個與其平行的向量。從空間開始的向量是平面的，如果不是，它是彎曲的。
如果認為矢量的偏移量可能小於你所能測量到的值，只需使用一個更大的圓或者圍繞原始圓做很多循環，直到偏移量累積到你所能測量的水平。那麼地球周圍的三維空間是彎曲的嗎？答案是肯定的，但很難衡量。三維彎曲空間並不能解釋重力，而是四維彎曲時空。為什麼時空部分如此重要？為了理解這一點，我們需要更好地掌握在平面時空中幾何是如何工作的。即使沒有曲率，幾何也是非常奇怪的。
舉個例子。在平面時空中，這條線的長度為零，這兩條線是垂直的。
平面時空幾何是第二部分，下一篇文章裡面談到，為了做好準備，你可以看一下我的“時空是幻覺嗎？”我的這篇文章。
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