你會計算這個三角形的面積嗎——兩種思路的比較

如圖，在正方形ABCD內有一點P，PB=27,PD=23,求三角形PAC的面積。

有人會問了，正方形的邊長是多少啊？題目是不是少條件啊？

題目沒問題。事實上，“沒告訴邊長”這一事實，本身就是一個關鍵的條件 。後面再說為什麼。

回到原題，思考一下。

1，

2，

3，

可直接看出，答案應該是（27^2-23^2)/4，平方差公式立得，面積是50。

先說常規思路。

計算三角形面積，無非兩個方法：直接法和間接法。

直接法就是利用三角形面積公式，底×高/2，三斜求積（海倫-秦九韶公式），正弦求積，行列式求積，矢量法求積等等，直接計算三角形面積。從本題來看，三角形PAC無論哪一條邊、哪一個角都是未知數，顯然不太適合用直接法。

間接法，或者叫割補法，尤其適合不規則圖形的面積計算。本題中，三角形PAC，可以說是一種“不規則”的三角形，採用割補法，顯然有

三角形PCD和PAD是比較規則的三角形，面積用底乘高除以２即可。

過P點作CD的垂線，垂足Ｅ，作AD的垂線，垂足Ｆ,作AB的垂線，垂足為G。設正方形ABCD的邊長是a,PE=x,PF=y。

那麼根據勾股定理，有

前兩個式子相減，得

於是

再來思考一下這道題，之前說過，“沒告訴邊長”這一事實，本身就是一個關鍵的條件。什麼意思呢？意思就是邊長無論等於多少，三角形PAC的面積都是一個定值。

一般性包含於特殊性之中，特殊性蘊含了一般性。

只需要考慮一種三角形PAC的面積很容易計算的特殊情況，比如說，P點落在邊AD上。

如圖，P點在AD上

仍然設正方形邊長為a（就只有這一個未知條件了）,利用勾股定理，有

第一個式子心算一下，很容易就得到a^2-23a=(27^2-23^2)/2,從而三角形的面積是（27^2-23^2)/4=50.

比較一下兩種思路，第一種常規思路，找準方向，步步為營，適合絕大多數題目，需要紮實的數學功底和比較豐富的解題經驗。第二種則利用特殊性解題，比較適合不需要過程的填空、選擇題。其實這也可以加以推廣，對完全約束的幾何題目，也就是邊、角、點都限制死了，相對位置不能變動，就可以採用草稿紙按比例縮小、尺規作圖，再量出未知參數，最後等比例放大的方法，得到所求參數。對於沒有完全約束的幾何題目，可以採用“一般性包含於特殊性之中，特殊性蘊含了一般性”這一哲學思想，只需要對特殊的簡單情形進行求解計算即可。

最後，感謝評論區的朋友( )想出的更簡單的方法：令P點位於對角線BD上

此時，三角形PAC是等腰三角形，底邊AC=BD=PB+PD=50,高PH=(PB-PD)/2=2,面積=50*2/2=50.

受到這個方法的啟發，小編髮現P點甚至可以在正方形的外部，題目中的結論仍然成立。只需要考慮特殊情形，P點在BD的延長線上：

此時，三角形PAC仍是等腰三角形，底邊AC=BD=PB－PD=４,高PH=(PB＋PD)/2=25,於是面積=25*4/2=50.

真是意想不到呢！