三角形的三邊關係為:三角形，任意兩邊的和大於第三邊，任意兩邊的差小於第三邊.由於是線段的不等量關係，我們在遇到求邊或周長的範圍以及一些不等量的習題時，就要想到利用這一性質，常見的應用如下:
一.判斷三條線段能否組成三角形(最直接的方法是，若兩條短線段的和大於最長的線段，則此三線段可構成三角形)
1.下列各組數中，不可能成為一個三角形三邊長的是(____)
A.2，3，4.B.5，6，7.C.5，6，12.D.6，8，10.
2.下列長度的三條線段不能組成三角形的是(____)
A.5，5，10.B.4，5，6.C.4，4，4.D.3，4，5.
二.求三角形第三邊的長或取值範圍
3.若a，b，c為三角形的三邊長，且a，b滿足|a²一9|+(b一2)²=0，則第三邊長a的取值範圍是______.
4.若一個三角形的兩邊長分別為5和8，則第三邊長可能是(______).
A.14.B.10.C.3.D.2.
5.若三角形的兩邊長分別為3和5，則周長L的取值範圍是(_____).
A.6 6.一個三角形的兩邊長分別為5㎝和3㎝，第三邊的長是整數，且周長是偶數，則第三邊的長是(_____). A.2㎝或4㎝.B4㎝或6㎝.C.4㎝.D.2㎝或6㎝. 三.求等腰三角形的邊長及周長 7.已知實數x，y滿足|x一4|+(y一8)²=0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是(____). A.20或16.B.20.C.16.D.以上均不對. 8.若等腰三角形的周長為10㎝，其中一邊長為2㎝，則該等腰三角形的底邊長為(_) A.2㎝，B.4㎝.，C.6㎝，D.8㎝. 9.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的長為奇數. (1)求△ABC的周長; (2)判斷△ABC的形狀. 解:(1)∵AB=5，BC=2，∴3 (2)∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形 四.化簡含絕對值的式子 10.已知a，b，c為三角形的三邊長，化簡:|b+c一a|+|b一c一a|一|c一a一b|一|a一b+c|. 【分析】化簡絕對值，關鍵判斷絕對值裡邊的代數式是正數、負數還是零.是正數或零，去掉絕對值，代數式保持不變;是負數，去掉絕對值後，代數式變為原來的相反數，之後，能合併的再合併同類項.本題通過三角形三邊關係判斷絕對值裡邊代數式的正、負情況. 解:∵a，b，c為三角形的三邊長，∴b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴b+c一a>0，b一c一a<0，c一a一b<0，a一b+c>0，∴原式=(b+c一a)一(b一c一a)+(c一a一b)一(a一b+c)=2c一2a. 五.證明線段不等關係 10.如圖，已知P是△ABC內一點，求證:PA+PB+PC>(AB+BC+AC) 【分析】AP，BP，CP把△ABC分為三個三角形，每個三角形兩邊和大於第三邊，AP，BP，CP正好各用兩次，也即2PA+2PB+2PC>AB+BC+AC，也即得證. 證明:在△ABP中，PA+PB>AB，在△ACP中，PA+PC>AC，在△BPC中，PB+PC>BC，∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)/2. 11.如圖，P是正方形ABCD的邊DC延長線上的一點，連結PA交BC於點E，求證:AP>AC. 【分析】證明線段不等關係，想到三角形三邊關係，可AC，AP，PC是在一個三角形中，但又引進了PC，那麼就想到把AP折成兩條線段和AC圍成一個三角形，那麼又怎樣把AP分成兩段呢？從圖看∠ECP=90°，想到直角三角形斜邊的中線，如圖 
取PE的中點F，連結CF，則PF=CF，這樣成功的把AP段分成AF，PF兩段，CF等量代換PF，在△ACF中利用三邊關係可證.
證明:取PE的中點F，連接CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥DP，∴CF=FP=PE/2，在△AFC中，有AF十FC>AC，∴AF十FP>AC，即AP>AC.
12.如圖，已知:D是△ABC的外角∠EAC的平分線上的一點.求證:DB+DC>AB+AC.
【分析】要證DB+DC>AB+AC，可用三角形三邊關係定理，但必須把BD、DC、AB+AC移到一個三角形中，可以從構造AB+AC入手，由於AD平分∠EAC，利用角平分線的對稱性，將AC，AB移在一條線上，同時能將CD邊進行轉換，如圖，
在BA的延長線AE上截取AN=AC，連接DN則可構造出△DAN≌△DCA，則AC=AN，DC=DN，達到了所要的目的在△BDN中，BD+DN(DC)>AN(AB+AC).
證明:在BA的延長線AE上截取AN=AC，連接DN，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，AD=AD，AN=AC，∴△ADN≌△ADC，∴DN=DC，在△BDN中，BD+DN>BN，∴BD+DC>AB+AC.
13.如圖，P為△ABC內一點，求證:AB+AC>PB+PC.
【分析】直接運用圖中的△ABC和△PBC得到的AB+AC>BC，PB+PC>BC，不能解決問題，為使PB和CP同時出現在大於號右側，則應構造新的三角形，可延長BP交AC於點D，或過點P作一直線.
證明:(一)如圖，延長BP交AC於點D，
在△ABD中，AB+AD>BD，即AB+AD>BP+PD，在△CDP中CD+PD>PC，∴AB+AD+CD+PD>BP+PD+PC，∴AB+AD+CD>BP+PC，即AB+AC>BP+PC.
證明:(二)如圖，過點P任作一直線交AB於E交AC於F
在△AEF中，AE+AF>EP+PF，在△BEP中，BE+EP>PB，在△PFC中，FC+PF>PC，∴(AE+BE)十(AF+FC)十EP+PF>PB+PC+EP+PF，∴AB+AC>PB+PC.
六.利用三角形三邊關係求最值
13.如圖∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A，B分別在OM，ON上，當點B在邊ON上運動時，點A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，在運動過程中，點D到點O的最大距離是多少？
【分析】動點問題，總的方法是，以靜制動，取AB的中點H，OH=AB/2不變，由勾股定理得AD²+AH²=DH²，∴DH=√2，也不變，在△DOH中，OH在變，有OH+DH≥DO，則點D、H、O三點共線時取等號，所以點D到點O的最大距離為OH+DH=√2+1，如圖.
前八題答案如下:
1.C，2.A，3.1
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