更多的導數例子（More Derivative Examples）
在這篇筆記中將給出一個更加複雜的例子，在這個例子中，函數在不同點處的斜率是不一樣的，先來舉個例子:
我在這裡畫一個函數，f(a)=a^2，如果a=2 的話，那麼f(a)=4。
讓我們稍稍往右推進一點點，現在a=2.001 ，則f(a)≈4.004 (如果你用計算器算的話，這個準確的值應該為4.004001 我只是為了簡便起見，省略了後面的部分)，
如果你在這兒點附近畫，一個小三角形你就會發現，如果把a往右移動0.001，那麼f(a)將增大四倍，即增大0.004。
在微積分中我們把這個三角形斜邊的斜率，稱為f(a)在點a=2 處的導數(即為4)，
或者寫成微積分的形式，當a=2 的時候，
由此可知，函數f(a)=a^2，在a取不同值的時候，它的斜率是不同的，這和上個視頻中的例子是不同的。
這裡有種直觀的方法可以解釋，為什麼一個點的斜率，在不同位置會不同如果你在曲線上，的不同位置畫一些小小的三角形你就會發現，三角形高和寬的比值，在曲線上不同的地方，它們是不同的。
所以當a=2 時，斜率為4；
而當a=5時，斜率為10 。
如果你翻看微積分的課本，課本會告訴你，函數f(a)=a^2的斜率（即導數）為2a。
這意味著任意給定一點a，如果你稍微將a，增大0.001，那麼你會看到f(a)將增大2a，即增大的值為點在a處斜率或導數，乘以你向右移動的距離。
現在有個小細節需要注意，導數增大的值，不是剛好等於導數公式算出來的值，而只是根據導數算出來的一個估計值。
為了總結這堂課所學的知識，我們再來看看幾個例子：
假設f(a)=a^3 如果你翻看導數公式表，你會發現這個函數的導數，等於3a^2。
所以這是什麼意思呢，同樣地舉一個例子：
我們再次令a=2，所以a^3=8 ，如果我們又將a增大一點點，你會發現f(a)≈8.012， 你可以自己檢查一遍，如果我們取8.012，你會發現[2.001]^3 ，和8.012很接近，
事實上當a=2時，導數值為3×2^2，即3×4=12。
所以導數公式，表明如果你將a向右移動0.001時，f(a) 將會向右移動12倍，即0.012。
來看最後一個例子，假設f(a)=log_e a(就是log以自然數e為底，a的函數），有些可能會寫作lna，函數loga 的斜率應該為1/a（學過高中數學或者微積分的人應該不陌生）
所以我們可以解釋如下：
如果a取任何值，比如又取a=2，然後又把a向右邊移動0.001 那麼f(a)將增大1/a×0.001，如果你藉助計算器的話，你會發現當a=2時f(a)≈0.69315 ；
而a=2.001時，f(a)≈0.69365。所以f(a)增大了0.0005，
如果你查看導數公式，當a=2的時候，導數值d/da f(a)=1/2。
這表明如果你把 增大0.001，f(a)將只會增大0.001的二分之一，即0.0005。
如果你畫個小三角形你就會發現，如果x 軸增加了0.001，那麼y 軸上的函數loga，將增大0.001的一半 即0.0005。
所以 1/a ，當a=2時這裡是 ，就是當a=2時這條線的斜率。這些就是有關，導數的一些知識。
在這個筆記中，你只需要記住兩點：
第一點，導數就是斜率，而函數的斜率，在不同的點是不同的。
在第一個例子中f(a)=3a ，這是一條直線，在任何點它的斜率都是相同的，均為3。
但是對於函數f(a)=a^2 ，或者f(a)=loga，它們的斜率是變化的，所以它們的導數或者斜率，在曲線上不同的點處是不同的。
第二點，如果你想知道一個函數的導數，你可參考你的微積分課本或者維基百科，然後你應該就能找到這些函數的導數公式。
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