老李151956671

幾何學包羅萬象，分支眾多，其分類其實並不是絕對的，我們從幾何學的發展大致可以將它分為歐氏幾何與非歐幾何，非歐幾何又分為羅氏幾何和黎曼幾何；當然還有仿影幾何和拓撲幾何等．

歐氏幾何

歐氏幾何開始研究的是直線和二次曲線（圓錐曲線：橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（長度、面積、角度等），當然平面幾何自然的過渡到三維空間的立體幾何，為了計算面積和體積問題，人們已經開始涉及微積分的概念．笛卡爾引入座標系之後，代數與幾何的關係變得明朗，且日益緊密，這就促使了解析幾何的產生，從解析幾何的角度出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質．總體來講，歐氏幾何的幾何結構是平坦的空間結構背景下考察，沒有真正關注彎曲空間下的幾何結構．歐幾里得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設引起了眾多數學家對它的質疑．由此，人們開始關注彎曲空間的幾何即非歐幾何．

非歐幾何

非歐幾何的分類主要分為羅氏幾何和黎曼幾何．歐氏幾何的第五條公設：若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。 也叫平行公理，也可以簡單的說：過直線外一點有且只有唯一一條直線與已知直線平行，這是歐氏幾何的理論基礎．

羅氏幾何也稱雙曲幾何是俄國數學家羅巴切夫斯基創立並發展的，它是獨立於歐氏幾何的公理系統，歐氏幾何的第五公設被替代為＂雙曲平行公理＂：過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行．在這種公理體系中，通過演繹推理可以證明一系列與歐氏幾何完全不同的命題，例如三角形的內角和小於180度．凡是涉及平行公理的結論，羅氏幾何的結論都是不成立的．

黎曼幾何：由德國數學家黎曼創立，也稱橢圓幾何，在這套公理體系下，並不承認平行線的存在，任何一個平面內兩條直線一定有交點，認為平面內的直線可以無限延長，但總的長度是有限的，黎曼幾何的模型我們可以看作一個經過改進的球面．隨著黎曼幾何的發展，發展出許多的數學分支，（代數拓撲學、偏微分方程、多複變函數理論等）成為

射影幾何

與此同時，為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點引入觀察範圍，人們開始考慮射影幾何．它研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換後，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科．也叫投影幾何學．射影幾何在航空、測量繪圖、攝影等方面有廣泛的應用．而作為射影幾何的子幾何仿影幾何又獨立發展．

拓撲幾何

拓撲學是確定幾何圖形或空間在改變開關後還能保持不變的一些性質的學科．它只考慮物體間的位置關係而不考慮形狀和大小，其中重要的性質包括連通性與緊緻性．它的發展促進了很多分支的進步，例如微分拓撲學、幾何拓撲、代數拓撲等．

以上只是就幾個比較重要的幾何學分支作了介紹，其實還有分形幾何、計算幾何、代數幾何等．其實要將幾何學嚴格的分類出來非常困難，很多幾何學分支獨立發展但又與其它分支緊密聯繫．例如歐氏幾何發展下的解析幾何直接促進了微積分的產生和發展，在研究彎曲空間的度量需要用微積分的方法去局部分析空間彎曲的性質，這樣就促進了古典微分幾何的發展，它又是黎曼幾何的基礎．而現代微分幾何開始研究更一般的空間：流形，它同時又與拓撲學緊密聯繫，幾何學各分支獨立發展又相互促進．隨著幾何學的發展，這種聯繫只會越來越緊密，要分類更加困難．

學霸數學

平面幾何

又稱為歐幾里得幾何

歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的“真命題”。

歐幾里得平面幾何的五條公理(公設)是：

任意兩個點可以通過一條直線連接。

任意線段能無限延伸成一條直線。

給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

所有直角都相等。

若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。 立體幾何

數學上，立體幾何(Solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統名稱—- 因為實際上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的後續課程。立體測繪(Stereometry)處理不同形體的體積的測量問題：圓柱，圓錐， 錐臺， 球，稜柱， 楔， 瓶蓋等等。 畢達哥拉斯學派就處理過球和正多面體，但是稜錐，稜柱，圓錐和圓柱在柏拉圖學派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測量法，證明錐是等底等高的柱體積的三分之一，可能也是第一個證明球體積和其半徑的立方成正比的。