地面上的蚂蚁认为，它的世界是平的，而不是弯曲的球体表面。球面上的每个小区域看起来都是普通的欧几里德空间，处于不同经度的城市仿佛有着平行的时空。
流形就是这样的几何空间，其上的每个小区域看起来都像普通的欧几里德空间。例如，球面、圆环面在局部上与二维的欧几里得空间类似，地球仪的表面可以从南极和北极（或东半球和西半球）投影到两张平面地图上。然而，从总体来说，它们却并不相同：麦哲伦绕着地球一直前行最终会回到起点，而不会走到无限远处，在地球表面奔跑的夸父永远不可能追逐到太阳。
卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）是一种复流形，可以分解成一片一片，看起来就像是复空间的平面。卡拉比-丘流形之所以特别，是因为它分解的片状结构只能通过旋转在复空间的类似物连接起来。在复一维（实空间的二维，因为复数的实数部分和虚数部分占据实数空间的两个维度）空间，唯一特别好的（紧致的）解是是环面，但是在更高维度，事情会变得非常有趣。虽然很难用图像来描绘任何超过两个实数维的流形，但用代数方程来构造流形的例子却并不困难。
我们知道，处于二维平面的一维圆形可以用方程x^2+y^2=r^2的实数解来描绘，平面上与原点距离为r的所有点(x,y)构成整个圆。嵌入三维空间的二维球面可以用方程x^2+y^2+z^2=r^2的实数解来描绘，空间中与原点距离为r的所有点(x,y,z)构成整个球面。在更高维度上，我们则可以用方程
的（实数）解来描述n维球体。与此类似，复三维卡拉比-丘流形是通过方程
的复数解来描述的。这个著名的卡拉比-丘流形被称为“5次多项式（quintic）”。
卡拉比-丘流形最初是由意大利数学家卡拉比（Eugenio Calabi）提出的猜想，丘成桐证明了这个猜想，并表明卡拉比-丘流形具有物理学上非常有趣的性质。爱因斯坦的广义相对论表明，时空按照能量与动量的分布弯曲，然而，如果空间是空的呢？根据丘定理，不仅平坦空间是广义相对论方程的解，卡拉比-丘流形也是。
因为这个原因，卡拉比-丘空间是弦论中额外空间维度（6个实数维度）形状的可能候选对象。在弦论中，人们尤其感兴趣的是复三维卡拉比-丘流形，例如5次多项式流形。（进一步阅读《十个问题，带你认识弦理论》）
卡拉比-丘5次多项式流形的每一个例子都会给出一个不同的宇宙，每一个宇宙具有一套不同的基本粒子和相互作用。这就使得分类问题——卡拉比-丘5次多项式流形的哪一个例子对应哪一个宇宙，它们的性质是什么——变得非常有趣。然而，到目前为止，我们还不清楚这些例子的数量是否为有限。迄今为止，物理学家和数学家已经构建了大约5亿个例子[2]。
在构建卡拉比-丘流形的例子时，物理学家们做了一个奇怪的观察：它们似乎自然地成对出现，每一个卡拉比-丘流形与一个不同的“镜像”卡拉比-丘流形相关联。
只要稍微调整一下弦理论，就可以将卡拉比-丘流形与它的镜像交换，而不会让物理学发生任何变化。这使得物理学家在卡拉比-丘流形的几何结构与其镜像之间提出许多对应关系。最著名的是由牛津大学的数学家推导出的公式，可以用来计算任何曲线嵌入到一个卡拉比-丘流形有多少种不同的方式。这可是一个数学难题！令人惊讶的是，许多“弦”定理随后被严格证明，并启发了许多数学研究。
博科园-科学科普｜文：Andreas Braun/原理/principia1687
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