1900年8月8日在巴黎第二屆國際數學家大會上，大數學家希爾伯特提出了新世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學研究的發展方向。2000年5月24日，美國克雷數學研究所公佈的千禧年大獎難題，這七道問題被研究所認為是“重要的經典問題，經許多年仍未解決。”解答任何一題的第一個人將獲頒予一百萬美元獎金。這兩次新世紀初的會議都被譽為是世紀的數學發展風向標。
希爾伯特
然而這兩次相隔百年的重大會議上卻有一個問題相同的，那就是黎曼猜想。
黎曼猜想不像費馬大定理那樣僅用一句話就可以說的很清晰明瞭，先說說素數的故事吧。
素數的發現歷史已經太久了，古希臘的數學先知們就已經知道了素數與別的自然數之間不同的特性，也發現了素數有無窮多個的經典結論。那個時代對於素數的研究是智者們的數學遊戲，普通人也難以看到素數的應用場景。古希臘過後數學經歷了長達一千多年的空白，當然素數理論的研究也停滯了上千年。直到文藝復興時期，西方對於自然科學和藝術的重新拾起，於是，各個領域都有了突飛猛進的發展。文藝復興過後的工業革命期間更是將文明成果發展到了一個前所未有的高度。素數理論的研究水平也水漲船高，在牛頓，高斯，歐拉，幾乎任何一個數學家都研究過數論，都仔細研究過素數的相關性質。提出各自各樣關於素數的猜想，定理等等，比如哥德巴赫猜想，算數基本定理。
雖然數論這麼學科的內容已經相當繁雜，但是不得不承認的是，人們對於素數的性質仍然知之甚少，或者說，仍然停留在一個十分粗淺的認識上。比如，我們僅僅知道素數的定義，並不知道素數在自然數里區別於合數的根本原因在哪裡，同樣的我們也並不知道素數在自然數里範圍內分佈情況，就更別提我們可以找出素數的通項公式，或者用某種方法可以很快檢驗出某個大數是否為素數的方法。上述的幾個關於素數自然而然的“小問題”只要你能解決一個，那麼你的成就足以和高斯，牛頓這樣的大數學家齊名！
黎曼
黎曼猜想就是關於素數領域的一個最重要的猜想，甚至可以說沒有之一。
歐拉
1735年 ，28歲的歐拉通過對巴塞爾級數問題研究得出下面的一般形式：
這裡的k為1時，就是著名的調和級數，k為2時就是讓歐拉名揚天下的巴塞爾問題。同時歐拉還得出一個重要的乘積式：
這是個很有名的公式，黎曼首先開始將k擴展成複數s，
當s為偶數的時候，函數值為0。按照黎曼大神的看法是這樣的結果是顯而易見的，所以他把這一的解s叫作平凡零點。同樣，還有更多不是那麼顯而易見的s也可以成為這個函數的零點，那麼這樣的s就叫作非平凡零點。黎曼猜想的內容就是這個函數的所有非平凡零點的實部都是1/2。
黎曼提出一個對數積分函數Li(x)，
多年前黎曼的老師高斯也曾提出一個素數計數函數π(x):
這個函數值的意思是在不超過x的範圍內有多少個素數，高斯本人並沒有證明，一直到幾十年過後，人們才證明了這個的函數是對的，但是很明顯這樣的誤差比較大，於是，人們開始尋求別的更加精準的預測分佈的公式。
素數分佈函數吻合度對比
黎曼猜想給出了Li(x),但是這個誤差仍然是存在的，人們通過把這個兩個函數在同一座標系中繪出圖形來，發現，Li(x)與實際的誤差要小的多。但即使如此，黎曼還不滿足，黎曼給出了誤差公式，就是下面這個曠古絕今的公式。
這裡的J(x)就是黎曼給我們奉獻的素數分佈公式，p為素數，ρ就是上面一開始說的非平凡零點。黎曼大膽認為，所有的ρ實部均為1/2!
我們來看一下這個函數與素數實際個數的吻合程度，我們會發現吻合度令人咋舌！
J(x)與實際分佈值的吻合分佈
乍眼望去，計算這樣的零點絕非易事，在那個沒有計算機的年代，沒有證據表明黎曼進行過任何一個非平凡零點的位置，僅憑藉他超凡脫俗的數學功力和驚人的創造力認為這樣的結論是幾乎成立的！
計算一時難以展開，直到1903年，這距離黎曼在1859年提出該猜想已經過去44年時間，才由丹麥數學家格拉姆費盡千辛萬苦計算得出了15個非平凡零點。由於計算量實在過大，用這種最笨拙直接的方法來找，推進過程太過緩慢，直到1932年，也僅僅找到了區區138個零點。務必要採用新方法來找零點，要不然真不知道此項工作要進行到什麼時候。然後誰都沒有想到最大的突破卻還是來自黎曼本人，1932年，德國數學家西格爾在對紛繁複雜的黎曼手稿進行了長達2年多時間的研究，發現了一個非常有效的公式，這個公式大大推進了零點的尋找過程。同時，人們也意識到了一個非常深刻的事情，那就是黎曼雖然提出猜想的論文僅有8頁，但是論文中的每一個公式，甚至到每一句話的詞，黎曼都是經過深刻思考，並且精雕細琢的，原來黎曼的論文中經常出現的“顯而易見，此處省略”的內容都是建立在他完全得出確定的結論下才進行的，沒有半點糊弄數學界的意思。
來到計算機時代，速度不可同日而語，從幾十萬，到數百萬，再到幾十億，2004年，德國人維德涅夫斯基採用分佈式計算方法找出了10萬億的非平凡零點！如果作圖來看，這十萬億個點通通位於那條1/2的亮閃閃的實部直線上。
類似於人們對於費馬大定理的驗證，即使驗算到再大，也不能就說明猜想一定成立，必須要從理論上來進行處理。
從理論上推進的第一個突破來自猜想誕生之後的第37年，1896年，法國數學家哈達瑪和比利時數學家從不同的方向分別證明了，黎曼ζ函數的非平凡零點通通位於某個帶狀區域內，這個帶狀區域就是複平面實部介於0到1之間的所有點，當然，這其中不包括邊界。如果黎曼還在世，看到這樣的一個突破，可能他還是會以“顯而易見”這幾個字一帶而過。這個一帶而過的結論雖然只是在黎曼猜想證明途中是一個幾乎算是微不足道的結論，可是，這個結論卻證明了另外一個重大定理——素數定理，這是一個研究素數大範圍分佈規律的定理。
英國數學家——哈代
1914年哈代證明了一個相當有分量的結論，那就是那個臨界線上存在無窮多個非平凡零點。這個結論可謂跨進一大步，無窮多個零點都在這條線上，這意味著黎曼猜想真的很有可能是對的。注意這裡只是很有可能，我們即使發現了無數多個這樣的零點，也並不能說明什麼，因為黎曼猜想的內容是，所有的非平凡零點都位於這條線上。這也根本不是一個概念。無窮和所有之間的關係可以是等價，也可以是毫無關係！
可能哈代本人對這個結論也不太滿意，再接再厲換了一種思維來推進猜想的解決。1921年，哈代開始對無窮這個結論做了具體的估計。他考慮的是這個臨界線上零點的無窮多個相對於所有非平凡零點的無窮多個做比較，然而結果讓他大失所望，這個比例竟然是0！
再後來直到1942年，這個比例才突破0 ，終於不再是0 ，用了將近60年時間，這個比例提高到了40%。這裡提一下，我國數學家樓世拓和姚琦在1980年證明了至少35%的非平凡零點位於臨界線上，這是一個很了不起的成果。
從八十年代到現在就幾乎沒有誕生過關於證明黎曼猜想的新成果了，這裡說的新成果指的是被數學界廣泛承認的事實。2018年9月24日，英國數學家阿提亞爵士，菲爾茲獎和沃爾夫獎雙料得主發表了一篇黎曼猜想的完全證明，論文有且僅有5頁，在這5頁里居然只有1頁是直接描述黎曼猜想的！我大致看了一下論文原版，雖然我沒有深刻去研究過黎曼猜想，但是我覺得一個如此重大艱深的問題，僅用這麼短的篇幅是根本不可能達到一個完全的證明效果，充其量阿提亞老爺子只是提出了一個解決思路。只是他在9月21日透的風實在太誇張，當然這篇論文的具體價值還要等專業數學家評定之後才能評價出來。
英國數學家——阿提亞爵士
希爾伯特年輕時候意氣風發，對黎曼猜想的證明很有信心，但隨著自己年紀的增大以及數學界關於黎曼猜想的研究進展讓他越來越悲觀，以至於他最後說出一段經典的話：
“如果500年以後上帝讓我復活，那麼我醒來的第一個問題就是黎曼猜想被證明了沒有？”
倘若黎曼猜想被證明，那麼我們就將跨入一個嶄新的素數研究2.0或者3.0的新時代。
目前看來，黎曼猜想解決的的契機還尚未形成。可能還要等待幾十年或者上百年，如果21世紀沒有解決，那麼我相信在2100年的數學家大會上黎曼猜想仍然會是其中之一！
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