出品：科普中國
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說無窮，道無窮
從古希臘始，畢達哥拉斯學派就開啟了對整數的研究。整數以及整數之比被認為是窮盡了自然界所有數字的奧秘，直到無理數的發現顛覆了人們對數的觀念。此後，人們小心翼翼地處理著和無理數相關的所有知識。然而，不管是有理數還是無理數，都是基於"有限"的數，沒有人會試圖回答"無限"的問題。
無限多，無限大，那隻對應著哲學上的概念，又或者人們仰望浩瀚的星空時對宇宙產生的卑微認識。那是一個自古即被認為是神所專屬的領域。每一個嘗試理解無窮的人，都會面臨著無法逾越的天塹。
兩千多年後，人類歷史上最偉大的數學家高斯（Gauss）在面臨"無限"這一高聳的科學險峰時，曾表達過他對"無窮"的恐懼。高斯說道：我反對把無窮做為一個完全的東西來使用，在數學中絕不允許有這樣的用法。無窮只是說話的一種表達方式，其真正的含義只能表示為一個數可以無限制地增大。
康託敏銳地發現了高斯斷言中的疑點。他認為高斯所表達的無窮僅僅是一個"潛無窮"，即這樣的無窮是一個可以增加到超出任何有限限制的、可變的有限量。康託認為還應該存在一個"實無窮"，即它是一個超出所有有限量的固定的常量。康託的這個觀點可謂石破天驚。也正是這個觀點，驅使著康託為所有可能的無窮量尋找可以辨認的規則。
事實上，19世紀下半葉，數學家對分析的嚴格化運動已經迫切需要對無窮概念的澄清。德國的另一位大數學家戴德金（Dedekind）首先嚐試對"無限"的初步解讀。他發現，一個無窮系統和有限系統有如下本質區別：無窮系統能和自身的一部分相似，而有限系統卻無法做到。
1873年，年僅28歲的康託也萌發對集合與無限等問題的濃厚興趣，並且以初生牛犢的無畏精神向這個問題發起了猛攻。功夫不負有心人，康託找到了研究無窮集合度量的方法。
在康託的設想中，一個擁有無窮多元素的集合可以計算其元素個數，而兩類無窮多事物的集合個數還應該能比較大小。更進一步，整數的集合個數所組成的無窮和實數的整體集合組成的無窮應該能加以區分。所有的這一切，都依賴於集合度量的關鍵概念：一一對應，以此作為衡量集合大小的一把標尺。
康託提出，如果兩個集合之間能夠建立一一對應關係，那麼它們的個數就應該被認為是相等的。
同年12月7日，他把自己的發現寫信告訴了戴德金。多年後，人們把這一天看作是集合論的誕生日。
一年後，康託遇到了戴德金。在和他進行充分交流後，康託將關於集合論的研究成果發表了出來。在這篇論文裡，康託建立了類似全部代數數集合的構想。該構想得出了匪夷所思的結論，卻極具開創性的意義。
此後十年，康託繼續在這個領域潛心耕耘，並陸續發展了基於無窮的超限數理論，還創造了類似於有限數運算的超限數算術。他的實無窮論，成了過去2500年來數學歷史上最具獨創性的貢獻之一，旋即在數學界引發了軒然大波。
在此觀點下，康託發現，任何一個無窮集合都至少包含一個自然數集合，因為每一個元素都至少可以被以自然數1,2,3…等等的順序標識出來。這樣，如果把全體自然數集合的個數記為"阿列夫零"（即最小的無窮），那麼任何無窮集合的個數最少也有"阿列夫零"個。康託沿著自己的想法步步深入這個從未被人窺視過的領域，一個令人驚愕的結論隨之誕生。全體實數組成的集合個數如果記為"阿列夫"個，那麼"阿列夫"不僅遠遠大於"阿列夫零"，而且恰好等於2的"阿列夫零"次方！原來無窮也可以比較大小，而且還有確定的恆等式揭示這一奇妙的關係。
此後，無窮世界的大門終於向世人敞開。儘管彼時還有很多人在門外觀望，甚至一些人還會不顧一切地攔住試圖進入門內的探險家們，但是樂園的芬芳已經溢出，門內透露出的點點金光預示著它將給予最勇敢的人以最慷慨的賞賜。
向無窮獻祭
康託的集合論認為，一個無窮的集合可以和它的子集擁有一樣多的元素。這大大超乎人們關於"整體大於部分"的直觀印象。因此，從一開始，康託的構想就得不到多數人的理解。法國大數學家龐加萊（Poincare）甚至認為康託的集合論是一種疾病。德國數學家外爾（Weyl）、克萊因（Klein）也不約而同地認為，康托爾關於集合基數的等級觀點是"霧上之霧"，其思想太過離經叛道。原本是康託的好友，數學家施瓦茲（Swartz），甚至由於反對集合論而同康託斷交。
在所有反對康託的數學家中，最激烈的莫過於他的導師克羅內克。
康託關於集合論的結論主要是基於存在性的證明，而克羅內克一生所秉持的信念則是構造性。他堅定地認為一切東西只有構造出來才能談存在，而不能用無法確定的古典式邏輯以推理形式給出斷言。一個沒有具體構造方法得出的證明，在克羅內克看來，都是虛妄的廢話。因此克羅內克將康託的結果看成是危險的數學存在。
克羅內克不能容忍數學被康託帶領進入瘋人院，他狂熱地認定自己堅持的真理才是數學的正道，因此動用他所有的權勢開始對康託展開反攻。康託論文的稿件被他長期壓制扣發，他在公開場合批判康託是神經病，是科學的騙子和叛徒，其思想不啻為"近十年來最具獸性的見解"。
康託任職於哈雷大學，由於薪金單薄，他曾希望進入柏林大學任教。但是受到身為柏林大學教授克羅內克的處處阻撓，康託終身沒能進入柏林大學的殿堂。在長期的壓力下，康託脆弱的神經終於崩潰。康託在"眾叛親離"的學術環境下感到深深的自責與沮喪，少年時養成的性格讓他更加自卑。他不敢去和克羅內克據理力爭，甚至開始懷疑起自己工作的正確性，一度要求哈雷大學將自己從數學系教授轉為哲學系教授。1884年，年僅39歲的康託罹患精神分裂症。
此後多年間，康託只能在身體稍有恢復、頭腦清醒時，繼續開展他的研究。直到1891年克羅內克去世，反對康託最大的聲音終於消失。數學界對康託的誤解才漸漸消除。1895年，康託發表了他一生最後一部重要的數學著作——《對超窮數論基礎的獻文》，他的理論很快引起世界各國同行的重視。
1897年，在第一屆世界數學家大會上，法國數學家阿達瑪（Hadamard）報告了康託的工作。此後，人們逐漸意識到康託的集合論在分析、測度論、拓撲理論等研究中有巨大的應用價值。康託終於得到了應有的榮譽。
1918年1月6日，康託在哈雷的精神病院辭世。
世人終於將榮譽還給遲暮的英雄。大數學家希爾伯特（Hilbert）高度讚譽康託的集合論"是數學天才最優秀的作品，是人類純粹智力活動的最高成就之一，是這個時代所能誇耀的最巨大的工作，沒有任何人能將我們從康託所創造的伊甸園中驅趕出來"。
現代數學的基石
幾乎所有數學都會研究特定的對象。這些對象，從具象化的數、點、圖形，到抽象的概念，都組成一個個研究的集合。因此，集合論從誕生起就是研究一般集合的性質。
兩千多年來，人們對有限集合的研究已經漸入佳境，但是隻有從康託將無限集引入到集合論開始，人們才意識到無限集合與有限集合的重大差別。分析中關於實數、極限、連續等等的概念都涉及到無窮集合的性質，康託的發現無疑為分析的嚴格化奠定了堅固的基礎。不僅如此，對基本元素和集合普遍性質的研究很快就滲透到數學的各個分支當中，康託的集合論逐漸成為整個現代數學的基礎。儘管如此，這個基石依然很快被發現了裂痕。1902年，英國數學家羅素（Russell）在康託一般集合論的邊緣發現了一個悖論。該悖論直指集合論的核心——關於集合的定義。並非所有具有某種性質的抽象概念都能作為元素，並組成一個集合。此後，眾多數學大家開始為修補數學大廈的裂痕而提出非同尋常的見解。
此後三十多年，集合論後續的發展陸續為數學的廣大版圖添加新的領地——包括全新的邏輯理論。為了徹底解決羅素悖論，希爾伯特提出了一個宏偉的計劃。他希望遵循古希臘的科學傳統，通過建立一套類似歐幾里得的公理體系來排除悖論的產生。然而這個計劃很快被奧地利數學家哥德爾（Godel）顛覆。哥德爾在他的"不完備定理"中指出：任何一個數學的公理化體系都不是"完美的"。任何數學公理化系統都需要人為地從外界注入新的公理才能讓它日趨完善，而它自己並不能完全自動避免矛盾產生。
由康託開創的集合論衍生出越來越多超乎想象的成果。一方面，康託在集合論中發明的一一對應的對角線方法，成了哥德爾證明不完備定理的利器。該定理揭示了完美的數學並不存在，其威力不亞於數學天空下的核子彈，並很快衝擊到自然科學的每一個角落，甚至影響了人們的世界觀和價值觀。不僅如此，該方法也啟示了圖靈在20世紀早期發明了圖靈機，為計算機的誕生鋪平了理論的道路。
如今，距離康託去世已整整一百週年。人們不應忘記每個為追求真理而獻身的科學英雄。人們也應該瞭解到科學研究的道理，從來都是蜿蜒曲折，巨大的獨創性甚至往往不會受到科學界的歡迎。因而顛覆傳統的人，即使被發現具有巨大的價值，也可能受到頑固正統觀念的束縛和壓迫，從而走得步履蹣跚。尊重創新，不僅僅是一句口號，更是需要行動的巨大支持。
但願，人類歷史上的悲劇不再重演，所有為真理做出巨大貢獻的人的名字，都能在當世得到應有的讚譽和頌揚。
（本文中標明來源的圖片均已獲得授權）
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