今天的這道例題相對之前的全等例題稍微有些難度，本題的關鍵就體現在了輔助線的添加，要如何根據求證結果去添加正確的輔助線。基本圖形分析法給出此題的兩種輔助線添加方法，來滿足求證結果在直角三角形中，並根據軸對稱型全等三角形性質得到對應的等價條件，完成整個分析過程。來看看你是不是也想到了這兩種方法吧~
例18 如圖5-48，已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E是AB上的兩點 ，∠DCE=45°，求證：DE²=AD²+BE²。
圖5-48
分析 （1） ：本題條件中出現了∠DCE=45°，且∠ACB=90°，所以∠DCA+∠ECB=90°-45°=45°，這是一個兩個角之和的問題，所以可根據兩角和的定義，將∠DCA和∠ECB這兩個角拼起來，也就是以C為頂點，以CA為一邊，在△ABC的外面，作∠ACF=∠ECB，這樣就可得∠DCF=45°，∠DCF=∠DCE。而這兩個角相等的關係一出現，就出現了這兩個相等的角是關於CD成軸對稱的，從而就可以添加軸對稱型全等三角形進行證明，於是在所作的∠DCF的邊CF上，截取CF=CE，並聯結DF（如圖5-49），就可由CF=CE，∠DCF=∠DCE=45°和DC=DC，證得△DCF≌△DCE，DE=DF。
圖5-49
由我們所作的CF=CE和∠ECF=45°+45°=90°，可知CF、CE可組成一個等腰直角三角形，而已知△ABC也是等腰直角三角形，且這兩個等腰直角三角形有公共的直角頂點C，所以必定出現一對旋轉型全等三角形。找這對全等三角形的方法是將由公共頂點C發出的四條線段，即CF、CA、CE、CB兩兩組成全等三角形，於是聯結AF（如圖5-50），那麼在△ACF和△BCE中，由AC=BC，∠ACF=∠BCE和CF=CE，就可得△ACF≌△BCE，那麼AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°，進一步就可得∠FAB=45°+45°=90°，而在Rt△FDA中，應用勾股定理就有DF²=AD²+AF²，而DF=DE，AF=BE，所以分析可以完成。
圖5-50
分析 （2） ：本題條件中出現了∠DCE=45°，∠ACB=90°，所以就有∠DCA+∠ECB=45°=∠DCE，那麼根據角的和的定義，就可以在∠DCE內作∠DCF=∠DCA，然後可得∠ECF=∠ECB。
在作出了∠DCF=∠DCA後，就出現了這兩個相等的角是關於DC成軸對稱的（如圖5-51），從而就可添加軸對稱型全等三角形進行證明。
圖5-51
由於圖形中已經出現了對稱軸CD，所以添加的方法就是將△ACD沿對稱軸翻折過去，這時因∠DCA=∠DCF，所以CA就會沿CF落下，於是就可以在射線CF上截取CF=CA，聯結DF後（如圖5-52），就可得△ACD≌△FCD，∠F=∠A=45°和DF=DA。根據同樣的道理，在聯結EF後（如圖5-53），由CF=CA=CB，∠FCE=∠BCE和CE=CE，又可證明△FCE和△BCE也是一對軸對稱型全等三角形，所以FE=BE，∠EFC=∠B=45°，進一步就可得∠DFE=45°+45°=90°，這樣在直角△DEF中，就可應用勾股定理得DE²=DF²+EF²，從而也可完成分析。
圖5-52
圖5-53
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