必修一
一、集合
一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性:
(1) 元素的確定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的無序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。
u 注意:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集) 記作:N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R
1) 列舉法:{a,b,c……}
2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn圖:
4、集合的分類:
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合間的基本關係
1.“包含”關係—子集
注意:
有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A
B或B
A
2.“相等”關係:A=B (5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即:① 任何一個集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就說集合A是集合B的真子集,記作A
B(或B
A)
③如果 AÍB, BÍC ,那麼 AÍC
④ 如果AÍB 同時 BÍA 那麼A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
u 有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集
二、函數
1、函數定義域、值域求法綜合
2.、函數奇偶性與單調性問題的解題策略
3、恆成立問題的求解策略
4、反函數的幾種題型及方法
5、二次函數根的問題——一題多解
&指數函數y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b屬於Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬於Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b屬於Q)
指數函數對稱規律:
1、函數y=a^x與y=a^-x關於y軸對稱
2、函數y=a^x與y=-a^x關於x軸對稱
3、函數y=a^x與y=-a^-x關於座標原點對稱
&對數函數y=loga^x
如果
,且
,
,
,那麼:
1
·
+
;
2
-
;
3
.
注意:換底公式
(
,且
;
,且
;
).
冪函數y=x^a(a屬於R)
1、冪函數定義:一般地,形如
的函數稱為冪函數,其中
為常數.
2、冪函數性質歸納.
(1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義並且圖象都過點(1,1);
(2)
時,冪函數的圖象通過原點,並且在區間
上是增函數.特別地,當
時,冪函數的圖象下凸;當
時,冪函數的圖象上凸;
(3)
時,冪函數的圖象在區間
上是減函數.在第一象限內,當
從右邊趨向原點時,圖象在
軸右方無限地逼近
軸正半軸,當
趨於
時,圖象在
軸上方無限地逼近
軸正半軸.
方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念:對於函數
,把使
成立的實數
叫做函數
的零點。
2、函數零點的意義:函數
的零點就是方程
實數根,亦即函數
的圖象與
軸交點的橫座標。
即:方程
有實數根
函數
的圖象與
軸有交點
函數
有零點.
3、函數零點的求法:
1 (代數法)求方程
的實數根;
2 (幾何法)對於不能用求根公式的方程,可以將它與函數
的圖象聯繫起來,並利用函數的性質找出零點.
4、二次函數的零點:
二次函數
.
(1)△>0,方程
有兩不等實根,二次函數的圖象與
軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.
(2)△=0,方程
有兩相等實根,二次函數的圖象與
軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.
(3)△<0,方程
無實根,二次函數的圖象與
軸無交點,二次函數無零點.
三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.
數量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點、方向、長度.
零向量:長度為
的向量.
單位向量:長度等於
個單位的向量.
相等向量:長度相等且方向相同的向量
&向量的運算
加法運算
AB+BC=AC,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB,以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對於零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。
減法運算
與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數乘運算
實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作λa,|λa|=|λ||a|,當λ > 0時,λa的方向和a的方向相同,當λ < 0時,λa的方向和a的方向相反,當λ = 0時,λa = 0。
設λ、μ是實數,那麼:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ μ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。
向量的數量積
已知兩個非零向量a、b,那麼|a||b|cos θ叫做a與b的數量積或內積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數量積為0。
a?b的幾何意義:數量積a?b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。
兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。
四、三角函數
1、善於用“1“巧解題
2、三角問題的非三角化解題策略
3、三角函數有界性求最值解題方法
4、三角函數向量綜合題例析
5、三角函數中的數學思想方法
15、正弦函數、餘弦函數和正切函數的圖象與性質:
圖象
定義域
值域
最值
當
時,
;當
時,
.
當
時,
;當
時,
.
既無最大值也無最小值
週期性
奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
單調性
在
上是增函數;在
上是減函數.
在
上是增函數;在
上是減函數.
在
上是增函數.
對稱性
對稱中心
對稱軸
對稱中心
對稱軸
對稱中心
無對稱軸
必修四
角
的頂點與原點重合,角的始邊與
軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱
為第幾象限角.
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在
軸上的角的集合為
終邊在
軸上的角的集合為
終邊在座標軸上的角的集合為
3、與角
終邊相同的角的集合為
4、已知
是第幾象限角,確定
所在象限的方法:先把各象限均分
等份,再從
軸的正半軸的上方起,依次將各區域標上一、二、三、四,則
原來是第幾象限對應的標號即為
終邊所落在的區域.
5、長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做
弧度.
口訣:奇變偶不變,符號看象限.
公式一:
設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
設α為任意角,π α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α與 -α的三角函數值之間的關係:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
其他三角函數知識:
同角三角函數基本關係
⒈同角三角函數的基本關係式
倒數關係:
tanα •cotα=1
sinα •cscα=1
cosα •secα=1
商的關係:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方關係:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
兩角和差公式
⒉兩角和與差的三角函數公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan(α+β)=——————
1-tanα •tanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)=——————
1+tanα •tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、餘弦和正切公式(升冪縮角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
2tanα
tan2α=—————
1-tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、餘弦和正切公式(降冪擴角公式)
1-cosα
sin^2(α/2)=—————
2
1+cosα
cos^2(α/2)=—————
2
1-cosα
tan^2(α/2)=—————
1+cosα
萬能公式
⒌萬能公式
2tan(α/2)
sinα=——————
1+tan^2(α/2)
1-tan^2(α/2)
cosα=——————
1+tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=——————
1-tan^2(α/2)
和差化積公式
⒎三角函數的和差化積公式
α+β α-β
sinα+sinβ=2sin—----•cos—---
2 2
α+β α-β
sinα-sinβ=2cos—----•sin—----
2 2
α+β α-β
cosα+cosβ=2cos—-----•cos—-----
2 2
α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin—-----•sin—-----
2 2
積化和差公式
⒏三角函數的積化和差公式
sinα •cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα •sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα •cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα •sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
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