中世紀的歐洲國家的貴族盛行賭博之風，賭博之方式倒是特別地簡單：擲骰子，或者拋硬幣。不過，如此簡單的賭具中卻蘊藏著不一般的數學，因為這兒涉及到的遊戲結果，是與眾不同的一類變量。
比如說拋硬幣吧，硬幣有正反兩面，拋丟的硬幣落下後的結果不確定，可能是“正”面，也可能是“反”面。結果的正反是隨機的，難以預料的，但卻按照一定的概率出現，因而被稱之為“隨機變量”。現在，我們把研究隨機變量及其概率之數學理論稱為“概率論”。
話說當年的法國有一位叫德·梅雷的貴族，在擲骰子游戲之餘，也思考一點相關的數學問題，苦思不得其解時，便向以聰明著稱的帕斯卡請教。
1654年，他向帕斯卡請教了一個親身經歷的“分賭注問題”。故事大概如此：梅雷和賭友各自出32枚金幣，共64枚金幣作為賭注。擲骰子為賭博方式， 如果結果出現“6”， 梅雷贏1分；如果結果出現“4”，對方贏1分。誰先得到10分，誰就贏得全部賭注。賭博如此進行了一段時間，梅雷已得了8分，對方也得了7分。但這時，梅雷接到緊急命令，要立即陪國王接見外賓，於是只好中斷賭博。那麼，問題就來了，這64枚金幣的賭注應該如何分配才合理呢？
這個問題實際上在15、16世紀時就已經被提出過，稱之為“點數分配問題”，意思就是說，當一場賭博半途中斷的情況下，應該如何分配賭注？人們提出各種方案，但未曾得到大家都認為合理的答案。
就上面梅雷和賭友的例子。將賭注原數退回顯然不合理，沒有考慮賭博中斷時的輸贏情況，相當於白賭了一場。將全部賭注歸於當時的贏家也不公平，比如當時：梅雷比對方多得一分，但他還差2分才贏，而對方差3分，如果繼續賭下去的話，對方也有贏的可能性。
帕斯卡對這個問題十分感興趣。直觀而言，上面所述的兩種方案顯然不合理，賭博中斷時的梅雷應該多得一些，但到底應該多得多少呢？也有人建議以當時兩人比分的比例來計算：梅雷8分，對方7分，那麼梅雷得全部賭注的8/15，對方得7/15。這種分法也有問題，比如說，如果甲乙雙方只賭了一局就中斷了，甲贏得1分，乙得0分。按照剛才的分法，甲拿走全部賭注，顯然又是極不合理的分法。
費馬和帕斯卡對點數分配問題的思路
帕斯卡從直覺意識到，中斷賭博時賭注的分配比例，應該由當時的輸贏狀態與雙方約定的最終判據之距離有關。比如說，梅雷已經得了8分，距離10分的判據差2分，賭友7分，還差3分到10分。
因此，帕斯卡認為需要研究從中斷賭博那個“點”開始，如果繼續賭博的各種可能性。為了儘快地解決這個問題，帕斯卡以通信的方式與住在法國南部的費馬討論。費馬不愧是研究純數學的數論專家，很快列出了“梅雷問題”中賭博繼續下去的各種結果。
梅雷原來的問題是擲骰子賭“6點”或“4點”的問題，但可以簡化成拋硬幣的問題：甲乙兩人拋硬幣，甲賭“正”，乙賭“反”，贏家得1分，各下賭注$10，先到達10分者獲取所有賭注。如果賭博在“甲8分、乙7分”時中斷，問應該如何分配這$20賭注？
上圖顯示了費馬的分析過程：從賭博的中斷點出發，還需要拋4次硬幣來決定甲乙最後的輸贏。這4次隨機拋丟產生16種等概率的可能結果，如圖中所列。因為“甲贏”需要結果中出現2次“正”，“乙贏”需要結果中出現3次“反”，所以，在16種結果中，有11種是“甲贏”，5種是“乙贏”。換言之，如果賭博沒有中斷，而是從中斷點的狀態繼續到底的話，可以如此算出甲贏的概率是11/16，乙贏的概率是5/16。
賭博的中斷使得雙方按照這種比例失去了最後贏得全部賭注的機會，因此，按此比例來分配賭注應該是合理的方法。所以，根據費馬的分析思路，甲方應該得$20×11/16=$13.75，乙方則得剩餘的，或$20×5/16=$6.25。
帕斯卡十分讚賞費馬思路之清晰，費馬的計算也驗證了帕斯卡自己得到的結論，雖然他用的是與費馬完全不一樣的方法。帕斯卡在解決這個問題的過程中提出了離散隨機變量之“期望值”的概念。期望值是用概率加權後得到的平均值。如上圖（b）所示，帕斯卡計算出從甲方的觀點，“期望”能得到的賭注分配為$13.75，與費馬計算的結果一致。
期望是概率論中的重要概念，期望值是概率分佈的重要特徵之一。它常被用在與賭博相關的計算中。例如，美國賭場有一種輪盤賭。其輪盤上有38個數字，每一個數字被選中的概率都是1/38。顧客將賭注（比如$1）押在其中一個數字上，如果押中了，顧客得到35倍的獎金（$35），否則賭注就沒了，即損失1美元。那麼，如何計算顧客“贏”的期望值呢？
賭場輪盤對賭徒而言的期望值
根據期望值之定義“概率加權求平均”進行計算，圖1-1-5顯示了計算結果：顧客贏錢的期望值是一個負數：約等於-0.0526美元。也就是說，對賭徒而言，平均起來每賭1美元就會輸掉5美分，相當於賭場贏了5美分，所以，賭場永遠不會虧！
從研究擲骰子開始，帕斯卡不僅僅引入了期望的概念，還發現了帕斯卡三角形（即中國古書中所記載的“楊輝三角”），雖然楊輝之發現早於帕斯卡好幾百年，但是帕斯卡將此三角形與概率、期望、二項式定理、組合公式等等聯繫在一起，與費馬一起為現代概率理論奠定了基礎，對數學作出了不凡的貢獻。
帕斯卡三角
1657 年，荷蘭科學家惠更斯在帕斯卡和費馬工作的基礎上，寫成了《論賭博中的計算》一書，被認為是關於概率論的最早系統論著。不過，人們仍然將概率論的誕生日，定為帕斯卡和費馬開始通信的那一天--1654年7月29日。
（摘自《從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率》，作者：張天蓉）
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