上一篇講到一般的無窮級數理論。就具體運用到的表達函數而言,由兩類特殊的函數項級數是十分重要的:冪級數與三角函數。
冪級數是多項式的推廣,是無窮次的多項式,它的收斂域很特別,是以某點為中心的區間,而且在收斂區間內,和函數是無窮次可微的。
三角級數是一種特殊形式的三角函數的無窮和,用三角級數表示的函數可以是不可微的,甚至不連續,因此表達的函數範圍廣。
由於冪級數使用簡單,以此冪級數與三角級數各有所長,不可互相替代。
冪級數的收斂域與和函數
- 冪級數:Σan(x-x0)^n = a0 +a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+...+an(x-x0)^n+... ;其中an屬於R,稱為冪級數的係數
- 冪級數的收斂性:
- 1)阿貝爾第一定理:若冪級數在x1收斂,則在x屬於|x1|下,該冪級數都絕對收斂;若級數在x2發散,則對一切x>|x2|,冪級數都發散
- 2)收斂半徑下的定理:冪級數收斂半徑R下,(-R,R)絕對收斂,[-R,R]外都發散,在正負R處可能收斂可能發散
- 3)給定冪級數Σan(x-x0)^n,如果lim |(an+1)/an| = p,或lim 3√|an| = p,則收斂半徑R =1/p
- 冪級數和函數的分析性質:
- 1)阿貝爾第二定理:關於收斂與一致收斂的定理
- 2)連續性
- 3)逐項求導與逐項積分
- 冪級數的運算:
- 1)兩個冪級數相等的概念,同次冪項係數相等
- 2)和函數是奇函數,則不出現偶次冪的項,反之亦然
- 3)兩個冪級數的和與乘積
- 函數冪級數的展開:
- 1)泰勒展開
- 2)麥克勞林展開
- 3)拉格朗日型餘項
- 4)柯西型餘項
- 5)常用的幾個初等函數的冪級數展開
閱讀更多 文話教育 的文章